20070707

результирующая сил давления на входе и выходе капилляра

Fp = π R2 (P1 − P2 ).

Давление P1 на входе в капилляр определим из уравнения Бернулли, применяя его к линии тока 0-1, проходящей по полости П2 (см. рис. 1 в работе № 6):

u02 + gy + P0 = u2 + P1 .

2 ρ 2 ρ

Здесь u0 – скорость движения свободной поверхности, P0 – атмосферное давление, y – высота столба жидкости в полости П2 над уровнем входного сечения капилляра. Далее заметим, что площадь поперечного сечения S0 в полости П2 значительно превышает площадь поперечного сечения капилляра S = π R2 . Поэтому из условия

Аналогично, применяя уравнение Бернулли к линии тока 2-3, проходящей по нижней части прибора (см. рис. 1), получим давление на выходе из капилляра

где z – высота столба жидкости в широком колене над уровнем выходного сечения капилляра. Из формул (2), (3) имеем

P1 − P2 = ρg(y − z).

Учитывая, что средняя скорость жидкости в капилляре u будет меняться со временем, запишем уравнение второго закона Ньютона для выделенной массы m в виде

Постановка сюда полученных выше выражений приводит к дифференциальному уравнению, анализ которого весьма сложен. Поэтому будем считать, что в условиях опыта инерционным членом, стоящим в левой части уравнения, можно пренебречь. Тогда из (4) получим

61

жидкости в левом и правом коленах вискозиметра (см. рис. 1). Заметим, что уравнение (5) можно получить и более простым

путем, из формулы Пуазейля, формально полагая в ней P = ρgh .

Последнее не очевидно, хотя и может быть обосновано тем, что продавливание жидкости через капилляр осуществляется именно гидростатическим давлением столба.

Используя уже записанное ранее условие сплошности и кинематическую связку u0 = − dydt , преобразуем уравнение (5) к виду

где S0(y), h(y) – функции, определяемые геометрией прибора, причем последняя зависит еще от объема жидкости VΣ, залитой в вискозиметр.

Интегрируя (6) на временном интервале (0, t), в течение которого уровень жидкости в полости П2 опускается с высоты y0, отвечающей метке М1, до метки М2, получим

Таким образом, введенная формулой (8) в работе № 6 градуировочная функция вискозиметра будет линейной:

ϕ (t)= C t,

где коэффициент С – величина обратная выражению, стоящему в правой части соотношения (7). Для данного прибора градуировочный коэффициент С зависит только от объема VΣ и не зависит от рода жидкости и её температуры (если пренебречь тепловым расширением стекла).

Для оценки величины C из уравнения (5) или уравнения (7), положив h = const , нетрудно получить выражение

62

где V0 – объем жидкости ограниченный метками М1, М2 (см. рис. 1). Значение величин R, l, V0 обычно указаны на приборе. В качестве h следует взять разность высот уровней жидкости в вискозиметре при нахождении одного из них в середине полости П2. Очевидно, что при таком определении величина h и, следовательно, C будет зависеть от VΣ. Отсутствие указаний на зависимость коэффициента C от объема VΣ, допускаемое в некоторых учебных изданиях, представляет собой методическую погрешность, ведущую к ошибкам измерений.

Задания и контрольные вопросы

1.Убедитесь в справедливости формулы (1).

2.Выведите соотношение (5) из формулы Пуазейля.

3.Получите для градуировочного коэффициента C приближенное выражение (8). Предварительно измерив высоту h, оцените значение C для находящегося в вискозиметре объема жидкости. Сравните найденное значение с паспортными данными.

4.Условием, обеспечивающим ламинарность потока в капил-

ляре, является критерий Рейнольдса: ρuRη <103 . Используя фор-

мулу (5), оцените критическое значение кинематического коэффициента вязкости ν =η ρ . Достигается ли оно в проведенных опы-

тах?

5. Какие условия обеспечивают малость инерционного члена в уравнении (4)? Выполняются ли они в проведенных опытах?

Приложение 2

* Программа автоматической обработки данных в лабор. работе № 2 dimension x(0:1000),dx(1000),xa(0:200)

integer*2 is real*4 rnd

real M

7 write(6,*)'Чтобы нарастить серию данных x(i), введи 1' write(6,*)'Чтобы обсчитать серию данных x(i), введи 2' write(6,*)'Чтобы смоделировать броуновское движение,введи 3'

read(5,*) key

if(key-2) 10,20,30

* Подклейка дополнительной серии данных

10write(6,*)'Метка 10'

write(*,*)'Введи имя файла с данными первоначальной серии'

open(3,file=' ')

write(*,*)'Введи имя файла с данными дополнительной серии'

63

open(4,file=' ') do 9 i=0,1000

9 read(3,*,end=11) x(i)

11n = i-1 backspace(3) read(4,*) xa(0) dex = xa(0) – x(n) do 12 i = 1,200

read(4,*,end=6) xa(i) x(i+n) = xa(i) – dex

12write(3,*) x(i+n)

6 close(4) close(3)

goto 7

* Моделирование броуновского движения

30write(6,*)'Метка 30'

write(6,*)'Введи установочное целое число для процедуры Seed' write(6,*)'и число шагов частицы N (не более 1000)'

read(5,*) is,N

call Seed(is)

write(6,*) 'Введи максимальный случайный шаг dxm и' write(6,*) 'величину dis постоянного смещения частицы'

read(5,*) dxm,dis x(0) = 0.

do 4 i=1,N

call Random(rnd)

4x(i) = x(i-1) + (2*rnd-1)*dxm + dis goto 21

* Обсчёт серии данных

20write(6,*) 'Метка 20'

write(6,*) 'Введи имя файла с данными опыта' open(4,file=' ')

do 3 i=0,1000

3 read(4,*,end=5) x(i)

5 N = i-1

21write(*,*) 'Введи имя файла для результатов обсчета'

open(7,file=' ')

write(6,*)'Введи число временных шагов ntime, для которых будут' write(6,*)'вычисляться средние характеристики процесса'

read(5,*) ntime

write(6,*) 'Ввeди коэффициент Стьюдента TalfaN' read(5,*) TalfaN

write(6,*) ' k ',' M ',' Q ',' deltaM',' deltaQ' write(7,*) ' k ',' M ',' Q ',' deltaM',' deltaQ' SU = 0.

SU2 = 0. SD = 0. SD2 = 0.

do 2 k=1,ntime Sdx = 0.

Sdx2 = 0. Sdx4 = 0.

64

do 1 i=k,N

dx(i) = x(i)-x(i-k) Sdx = Sdx + dx(i) Sdx2 = Sdx2 + dx(i)**2

1Sdx4 = Sdx4 + dx(i)**4 adx = Sdx/(N+1-k) adx2 = Sdx2/(N+1-k) adx4 = Sdx4/(N+1-k)

M = adx S = adx2 P = adx4

Q = S – M**2

deltaM = TalfaN*sqrt(Q/(N-k))

deltaQ = TalfaN*sqrt((P-(Q-M**2)**2)/(N-k))

write(6,8) k,M,Q,deltaM,deltaQ write(7,8) k,M,Q,deltaM,deltaQ

8format(i3,f7.2,f7.2,f7.2,f7.2) U = M/k

SU = SU + U SU2 = SU2 + U*U D = Q/(2*k)

SD = SD + D

2SD2 = SD2 + D*D aU = SU/ntime aD = SD/ntime aU2 = SU2/ntime aD2 = SD2/ntime

deltaU = sqrt((aU2 – aU**2)/ntime) deltaD = sqrt((aD2 – aD**2)/ntime) write(6,14) aU,aD,deltaU,deltaD

14format('U=',e8.2,'D=',e8.2,'deltaU =',e8.2,' deltaD =',e8.2) write(6,*)'Размерность величин U, deltaU – деление шка

!лы/временной шаг'

write(6,*)'Размерность величин D, deltaD – квадрат деления !шкалы/временной шаг'

write(*,*) 'Введи имя файла для аппроксимирующих прямых' open(8,file=' ')

write(8,*) ' k ',' M ',' Q ' do 13 k=1,ntime

13 write(8,15) k,aU*k,2*aD*k

15format(i3,e9.2,e9.2)

write(*,*) 'Обсчет закончен – дайте ввод' read(5,*)

close(4)

close(7)

close(8) stop end

65