20070707

2.Рассчитайте в системе СГС среднюю квадратичную скорость хаотического движения шайбы (знать её массу для этого не обязательно). Соотнесите полученное значение со скоростью сноса u.

3.Найдите среднюю квадратичную скорость магнитных шариков (их массу надо найти взвешиванием). Оцените давление, оказываемое ими на бортик коробки.

Контрольные вопросы

1.Можно ли найти подвижность реальных броуновских частиц путем эксперимента?

2.Почему жидкость по отношению к взвешенной в ней броуновской частице выступает как сплошная среда?

3.Для броуновской частицы диаметром d = 0.4 мкм, взвешенной в воде при комнатной температуре, найдите среднюю квадратичную скорость теплового движения. Рассчитайте число Рейнольдса. Правомерно ли применение к данному случаю формулы Стокса?

4.Какие косвенные доказательства справедливости молеку- лярно-кинетической теории и способы нахождения её фундаментальных констант вам известны?

Литература

1.Сивухин, Д.В. Общий курс физики. Т. 2 / Д.В. Сивухин. –

М.: Наука, 1990. – §§ 64, 91, 93.

2.Кассандрова, О.Н. Обработка результатов наблюдений

/О.Н. Кассандрова, В.В. Лебедев. – М., 1970. – § 3.

3.Булкин, П.С. Общий физический практикум. Молекулярная физика: учеб. пособие / П.С. Булкин, И.И. Попова. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. – Лаб. раб. 7.2, 7.3.

4.Матвеев, А.Н. Молекулярная физика: учеб. пособие для вузов / А.Н. Матвеев. – М.: Высшая школа, 1981. – §§ 4, 13.

21

Лабораторная работа 3

Определение показателя адиабаты методом Клемана и Дезорма

Оборудование: стеклянный баллон, поршневой насос, жидкостный манометр, сосуд для сбора спирта, секундомер.

Общие представления

Отношение молярных теплоемкостей газа при постоянном

которое описывает равновесный адиабатический процесс. Измерение величины γ позволяет с помощью уравнения Майера СP – СV = R легко находить теплоемкости СP, СV.

Предложенный Клеманом и Дезормом в 1819 году метод определения показателя адиабаты основан на различной длительности процессов установления термического и механического равновесия, происходящих в достаточно большом объеме газа. За его кажущейся простотой скрывается интересная физика, и он по сию пору служит образцом термодинамического эксперимента.

Для реализации метода предварительно не сильно сжатый в баллоне газ резко соединяют с атмосферой, в результате чего происходит быстрое адиабатическое расширение газа и его охлаждение (см. процесс 2→3 на рис. 1). После закрытия баллона оставшийся в нем газ медленно нагревается до температуры наружного воздуха (см. процесс 3→4 на рис. 1). Отношение избыточных давлений газа в баллоне P1 = P1 − P0 и P2 = P2 − P0 , измеренных соот-

ветственно до расширения газа в атмосферу и после его нагревания в закрытом баллоне, однозначно определяет искомую величину согласно формуле

22

Обычно [1, 2] при выводе данной формулы используют уравнение равновесной адиабаты в переменных P и T, чтобы исключить из рассмотрения неизвестный объем газа V после его расширения. А затем применяют уравнение изохоры в тех же переменных и справедливые в условиях лабораторного опыта неравенства:

где T – падение температуры газа в промежуточном состоянии 3, а P0 , T0 – параметры наружного воздуха. В итоге получают при-

ближенно верную формулу (2).

Иногда в качестве более верной дается формула

которая получается из уравнения равновесной адиабаты без допущений (3). Для сильно сжатого газа ( P1 − P0 ~ P0 ) эта формула, во-

обще, не соответствует действительности.

Рис. 1. Процессы, происходящие с газом в ходе лабораторного опыта

Показаны схематически 0→1 – накачка воздуха в баллон, 1→2 – изохорное охлаждение,

2→3 – сброс давления в баллоне,

3→4 – изохорное нагревание. Линия 0→2 – изотерма T = T0.

Дело в том, что сброс давления в баллоне происходит резко и представляет собой существенно неравновесный процесс, потому и показанный на рис. 1 пунктиром 2→3. Применение к нему уравнения равновесной адиабаты неправомерно. Задача отыскания конечной температуры T3 в процессе должна решаться без этого уравнения.

23

Такое решение дается в учебнике [1], § 21, задача 7. Его мы приводим здесь, сменив обозначения соответственно рис. 1, вместе с необходимым для вывода уравнением изохоры 3→4.

Исключая из этих уравнений температуру T3, после несложных преобразований имеем окончательное выражение для показателя адиабаты

которое должно применяться вместо формулы (4) в опытах с немалым избыточным давлением P1 ~ P0 .

В приближении (3) из выражения (6) получается все та же знаменитая формула (2). Величина γ в ней выражается через отношение избыточных давлений, а потому безразлично в каких единицах их подставлять. Ясно, что проще всего измерять эти давления как длины L1, L2 спиртового столбика, непосредственно считываемые со шкалы манометра, а именно, пользоваться формулой

Описание измерительной установки

В данной работе метод Клемана и Дезорма применяется для определения показателя адиабаты воздуха.

Измерительная установка, показанная на рис. 2, состоит из стеклянного баллона Б емкостью 22.3 л, жидкостного манометра М и поршневого насоса Н, соединенных друг с другом резиновыми шлангами. Расположенный сразу за насосом кран К позволяет отсекать насос от остальной части установки после накачки воздуха в баллон. В горловину баллона Б впрессована толстая пробка с двумя отверстиями, одно из которых используется для соединения баллона с манометром и насосом через тройник. Другое отверстие О, закрываемое небольшой резиновой пробкой, служит для сброса из-

24

быточного давления в атмосферу. Для удаления из воздуха паров воды на дно баллона Б брошены гранулы силикагеля. Для предотвращения разлива спирта из манометра его измерительная трубка соединена с небольшим сосудом С.

Для измерения избыточного давления в баллоне применяется строенный дифференциальный микроманометр ЛТА – 4, функциональное описание которого дается в лабораторной работе № 1. Его следует внимательно прочитать.

Для правомерности использования формулы (2) или (7) в опыте Клемана и Дезорма критичным является соблюдение условий

tP < t << tT ,

где tP и tT – соответственно времена установления механического

и термического равновесия газа в баллоне, а ∆t – временной промежуток, в течение которого отверстие О должно быть открытым. Другими словами, процесс выравнивания давления в баллоне должен происходить гораздо быстрее, чем процесс установления температуры. И, как только первый из них закончится, следует сразу закрыть баллон. Только тогда можно пренебречь теплоотдачей от стенки баллона в процессе 2→3, иметь в состоянии 3 необходимое для корректного опыта атмосферное давление и не допустить потери газа в процессе 3→4.

Рис. 2. Схема измерительной установки

Предполагая, что условие tP << tT уже выполнено, дадим неко-

торые методические рекомендации, касающиеся величины ∆t и достоверности результатов измерения величин L1, L2.

С одной стороны, следует убедиться в том, что давление газа в процессе 2→3 действительно сброшено до атмосферного – спирто-

25

вой столбик манометра должен остановиться на нулевой отметке. С другой стороны, нельзя запаздывать с закрытием баллона. Даже несколько секунд задержки закрытия отверстия О могут внести заметную погрешность в измеряемую величину L2 и, следовательно, в искомую – γ.

Серьёзную погрешность в конечные показания манометра L1, L2 может внести также негерметичность измерительной установки. Очевидно, что эти показания должны сниматься по достижении термического равновесия в баллоне, то есть после остановки мениска спиртового столбика в процессах 1→2 и 3→4. Если мениск в этих процессах безостановочно ползёт, то установка негерметична.

Временные характеристики процессов

К вопросу о соблюдении условия tP << tT можно подойти чис-

то эмпирически. Для данного большого баллона с широким и коротким отверстием величину tP грубо можно оценить по звуку, который издает воздух при выходе из баллона в процессе 2→3, а величину tT – по времени подъема спиртового столбика в процессе

3→4.

Однако узнать, насколько хорошо указанное условие выполняется в данном опыте, найти систематическую ошибку, связанную с его недостаточным соблюдением, и учесть её в окончательном результате весьма полезно. Априорная оценка величин tP и tT важна

ещё для планирования технически более совершенного эксперимента по методу Клемана и Дезорма. Кроме того, она приводит к решению интересных задач и более глубокому пониманию характера протекающих процессов.

Сначала заметим, что теплоемкость самого стеклянного баллона CБ велика по сравнению с теплоемкостью CV заключенного в нем воздуха (в лабораторных условиях в него помещается примерно 1 моль газа). Поэтому при накачке или выпуске воздуха из баллона температура его стенки остается практически неизменной – такой же, как у наружного воздуха. В интересующем нас изохорном процессе 3→4 теплота от баллона сначала поступает в пристенный слой газа, а затем передается к его внутренним слоям за счет движения частиц газа.

26

При действии только молекулярного механизма теплопередачи процесс термической релаксации 3→4 в баллоне был бы медленным. Его длительность оценивается с помощью формулы

где κ – коэффициент теплопроводности газа, V – молярный объем, совпадающий у нас с объемом баллона, l – характерный линейный размер релаксирующей части газа (в данном случае – среднее расстояние от центра баллона до его стенок). Выражение (8) можно получить из решения соответствующей задачи теории теплопроводности, которая выходит за рамки данного курса.

Опыт, однако, показывает, что термическая релаксация газа в баллоне занимает гораздо меньше времени, чем по оценке (8), что свидетельствует об ином (конвективном) механизме теплопередачи. При конвекции частицы, осуществляющие теплоперенос в газе, макроскопические. Это относительно небольшие завихрения газа, которые обладают высокой подвижностью и эффективно переносят кинетическую и тепловую энергию. Конвективные потоки возникают во всем объеме газа сразу при резком сбросе давления в баллоне и постепенно затухают вследствие внутреннего трения (вязкости).

Чтобы получить временную зависимость давления P в баллоне или, что то же, длины спиртового столбика L в процессе 3→4, будем полагать его равновесным (как он и показан на рис. 1), определяя температуру T по уравнению состояния PV = RT в расчете на один моль газа. Строго говоря, данный процесс таковым не является, поскольку, по крайней мере в пристенном слое газа имеется перепад температуры T0 − T , порождающий тепловой поток со стенки

баллона. Он определяется эмпирическим законом внешней теплопроводности (теплоотдачи) Ньютона [1]

где α – коэффициент теплоотдачи, S – площадь внутренней поверхности баллона. Коэффициент α можно найти априори, решая специальную задачу о пограничном слое, но она выходит за рамки данного курса.

27

Но мы прибегнем к общепринятой идеализации: заменим тонкий (в данном случае) пристенный слой скачком температуры на внутренней поверхности баллона. Таким образом, полагая температуру газа одинаковой по всему объему баллона, запишем для него дифференциальное уравнение баланса внутренней энергии в виде

dU = Q dt ,

где U = CV T . Подставляя выражение (9) в данное уравнение и интегрируя его с начальным условием T t =0 = T3 , легко получить формулу

описывающую изменение температуры в процессе 3→4. Переходя с помощью уравнения состояния в формуле (10) от значений температуры T0, T3, T к давлениям P2, P0, P, а затем к непосредственно измеряемым величинам – длинам спиртового столбика L2 и L, получим окончательно

где τ = CV αS – характерное время процесса. С помощью данной

формулы можно на опыте проверить закон (теплоотдачи) Ньютона и достаточно точно определить время термической релаксации в баллоне, например, положив tT = 4τ , что соответствует примерно

2% отличия L от L2 .

Ещё более интересной в методическом отношении представляется возможность экспериментального определения неизбежной временной задержки tзап (времени запаздывания) в начале про-

цесса 3→4, связанной с инерционностью жидкостного манометра и человеческим фактором. Величина tзап определяется по графику

временной зависимости логарифма, стоящего в левой части формулы (11). Она берётся как отрезок, отсекаемый на оси t прямой линией, построенной по опытным данным. С помощью tзап можно

28

найти вызванную запаздыванием погрешность величин L2 и γ и

внести поправку в окончательный результат, определяемый по формуле (7).

Обратимся теперь к оценке длительности процесса 2→3 сброса избыточного давления в баллоне. Его расчет – сложная газодинамическая задача. Чтобы не перегружать и без того большое описание работы, сообщим лишь исходные предпосылки для её упрощённого решения.

При мгновенном выдергивании пробки П (рис. 2) по газу в баллоне прокатывается волна возмущения, которая за ничтожное время tакус = 2lc , где с – скорость звука, устанавливает в нём и

ближней зоне отверстия О газодинамически согласованные поля (локально усреднённых) давления и скорости. Дальнейший процесс можно считать квазистационарным. Его усреднённые динамические характеристики будут уже меняться в соответствии с параметрами состояния газа во внутренней части баллона (делается предположение о локальном термодинамическом равновесии).

Учитывая, что отверстие О представляет собой относительно короткий и широкий канал, в области движения можно пренебречь вязкостью газа и конвективным переносом импульса в поперечном направлении. Записывая интеграл Бернулли для линии тока, начинающейся в середине баллона и оканчивающейся на выходе газовой струи из отверстия О, с учетом сжимаемости газа и адиабатического характера движения можно получить для текущего объемного расхода выражение

где σ – площадь поперечного сечения отверстия, ∆P – текущий перепад давления, ρ – плотность газа. Учитывая характер зависимо-

29

Порядок выполнения работы

1.Проверьте правильность соединения шлангов и горизонтальность основания манометра по закреплённому там круглому уровню. При открытом отверстии О вращением головки регулировочного винта В (см. рис. 2) установите спиртовой столбик в измерительной трубке на ноль.

2.Для проверки герметичности установки увлажните боковую поверхность пробки П и вращательно притирающими движениями закройте ею отверстие О. Насосом накачайте воздух в баллон до давления L0 = 15 – 25 см спиртового столба (по манометру) и пере-

кройте кран К. Проследите, как меняется с течением времени t избыточное давление L в баллоне. Можно построить график зависимости величины L от t и по нему определить время tT необходимое для установления теплового равновесия. Оно не должно превышать двух минут. Если по их истечении давление в баллоне будет понижаться, следует найти и устранить течь.

3.Убедившись в том, что установка достаточно герметична,

запишите установившееся в баллоне избыточное давление L1. Затем на короткое время выдерните пробку П и, как только спиртовой столбик упадет до нуля, сразу закройте отверстие O. Выждав время tT , спишите с манометра избыточное давление L2.

4.Повторите описанный выше опыт 5 – 10 раз. Для каждой па-

ры значений L1 , L2 по формуле (6) найдите величину γ. Рассчитай-

те среднее значение показателя адиабаты γ и его случайную ошибку δγ.

5. Снимите временную зависимость величины L в изохорическом процессе 3→4. Для повышения точности измерений рекомендуется произвести накачку воздуха 0→1 при вертикальной стойке манометра, а после его выпуска из баллона (состояние 3) сразу придать стойке минимальный наклон 0.25. Очевидно, что длину спиртового столбика L в данном эксперименте следует отсчитывать от нулевого уровня, выставленного для этого (наклонного) положения стойки. Обратите внимание на возможность проведения измерений с равными шагами t ~ 10 с по времени или с равными

шагами L ~ 1см по шкале манометра. Обоснуйте свой выбор варианта измерений.

30