20070707

2.Проверьте готовность манометра, установите мениск спирта

вего измерительной трубке на нуль или на другое l0 деление шка-

лы. Открыв кран аспиратора на полный выпуск воды, убедитесь в том, что столбик спирта в манометре поднимается достаточно высоко, но не зашкаливает. В противном случае измените наклон стойки манометра. Имейте в виду, что недостаточный подъём спирта в измерительной трубке может быть связан и с негерметичностью лабораторной установки в целом.

3. Поставив мензурку под выпускной кран так, чтобы вода из аспиратора текла по её стенке и поверхность жидкости не дрожала, потренируйтесь в замерах объёмного расхода Q = V / t . Необходимо

засекать по секундомеру время t натекания в мензурку определённого объёма V воды (20, 40 или более мл). Его величину следует выбирать соответственно скорости натекания.

4. Поскольку аспиратор не очень широк, мениск спирта в манометре за время опыта (натекания определённого объёма воды) будет несколько опускаться. Поэтому при его проведении показания манометра требуется снять дважды – в моменты пуска и останова секундомера. Результирующий (искомый) перепад давления P следует находить, пользуясь формулами

P = ρс gkl , l = 12 (l'+l'') − l0 ,

где ρс – плотность спирта, k – коэффициент наклона стойки манометра, l', l'', l0 – соответственно начальная, конечная и нулевая

длина спиртового столбика.

5. Освоив изложенную выше методику измерений величин Q и

P , проведите несколько опытов при наибольшей скорости истечения воды из аспиратора. Если полученные значения P будут близки, то результаты можно осреднить и рассчитать среднеквадратичную ошибку измерений.

6. Восстановив уровень воды в аспираторе, проведите дополнительно серию из 4 – 6 опытов при разной длине l спиртового столбика в манометре. Её значения должны, по возможности, равномерно накрывать диапазон от l0 до lmax . Изменение длины спир-

тового столбика и соответственно скорости истечения воды из аспиратора можно производить грубо, путём частичного перекрыва-

11

ния отверстия выпускного крана. Более плавная регулировка достигается за счёт понижения уровня воды в аспираторе.

7. Результаты измерений представьте на графике зависимости величины Q от P . Расчёты выполняйте в системе СГС, единицы

которой соответствуют пространственно-временным масштабам явления. На том же графике интервалами у экспериментальных точек покажите ошибки измерений δQ и δ ( P) .

8.По начальной части графика проведите наилучшую прямую

иопределите её наклон. По известным размерам a, L отверстия капилляра (они даются лаборантом) рассчитайте коэффициент вязкости воздуха η . Сравните его величину с табличным значением.

9.При максимальной величине объёмного расхода Q рассчи-

тайте среднюю скорость u потока газа в капилляре. По формулам (5), (6) рассчитайте максимальные значения величин Re и b. Оцените возможность применения формулы Пуазейля к данному случаю.

Дополнительные задания и контрольные вопросы

1.С помощью функции распределения Максвелла φ(vz) получите выражения (1) для средних значений компоненты скорости vz

вгруппах молекул, движущихся соответственно в положительном и отрицательном направлениях оси z.

2.Проективным пробегом называют расстояние, которое пролетает молекула в данном направлении между её двумя последовательными столкновениями. Рассчитайте среднюю длину проективного пробега молекул в газе.

3.По формуле (3) и найденному коэффициенту вязкости η рассчитайте среднюю длину свободного пробега λ молекул воздуха. При каком давлении эта длина сравняется с диаметром капилляра? Каким будет характер движения газа в капилляре при столь низком давлении?

4.Насколько оправдано пренебрежение сжимаемостью газа в условиях лабораторного опыта?

5. Какой характер будет иметь зависимость величины P от Q

сучетом влияния начального участка потока газа в капилляре?

6.По данным измерений в опыте с коротким и широким капилляром постройте график зависимости величины b от произве-

12

дения a Re . Убедившись в его линейности, найдите значение постоянной c.

Литература

1.Савельев, И.В. Курс общей физики. Т. 1. / И.В. Савельев. –

М., 1982. – § 132.

2.Матвеев, А.Н. Молекулярная физика / А.Н. Матвеев. – М.:

Высшая школа, 1981. – §§ 51, 52.

3.Сивухин, Д.В. Общий курс физики. Т. 1. / Д.В. Сивухин – М., 1989. – § 97.

4.Руководство к лабораторным занятиям по физике / под ред. Л.Л. Гольдина. – М.: Наука, 1973. – Р. 21.

Лабораторная работа 2

Имитация броуновского движения, проверка закона Эйнштейна, термометрия в системе магнитных шариков

Оборудование: соленоид на регулируемой по высоте подставке, прозрачная плоская коробка с прямоугольной шкалой, магнитные шарики, немагнитный цилиндрик, лабораторный автотрансформатор, вольтметр.

Общие представления

Открытое в 1827 году ботаником Р. Броуном хаотическое движение мельчайших макроскопических частиц сыграло в истории науки выдающуюся роль. Именно его в 1908 году использовал Ж. Перрен со своими помощниками, чтобы на опыте подтвердить закономерности флуктуационных явлений, полученные за три года до этого А. Эйнштейном и М. Смолуховским. Тем самым наука получила надежный метод нахождения фундаментальных констант молекулярно-кинетической теории, а она сама – свое прямое экспериментальное доказательство.

Заметим, что успех опытов Перрена с броуновскими частицами связан с их пограничным (промежуточным) размером между макро- и микромиром. С одной стороны, эти частицы настолько малы, что их хаотическое (тепловое) движение уже наблюдаемо, а

13

его характеристики измеримы. С другой стороны, они все ещё велики настолько, что их окружение ведет себя как сплошная вязкая среда, для которой можно использовать макроскопическое описание. Поэтому подобные эксперименты в высшей степени познавательны.

Но воспроизвести опыты Перрена и получить закономерности реального броуновского движения в общем физическом практикуме не представляется возможным. Однако нечто подобное можно с успехом проделать на электромеханической модели с магнитными шариками, псевдотепловое движение которых поддерживается переменным магнитным полем соленоида с током. Броуновскую частицу в такой модели имитирует немагнитный цилиндрик (шайба), хаотическое движение которого подчиняется тем же закономерностям.

На описанной макроскопической модели нетрудно организовать визуальную съемку координат "броуновской" частицы в режиме непрерывного движения по методике Перрена, а затем проверить основной закон случайного блуждания (закон Эйнштейна), который в отсутствие внешнего силового поля выражается формулами [1]

температурой TM в системе магнитных шариков. Эта система (в

возбужденном состоянии) не находится в равновесии с окружающей средой, а потому их температуры TM и T могут сильно разли-

чаться.

Подобно Перрену мы воспользуемся соотношением Эйнштейна

где B – коэффициент подвижности частицы, определяемый как B = u/F. Здесь u – скорость упорядоченного движения частицы под

14

действием сторонней силы F, которая уравновешивается силой сопротивления FC , приложенной со стороны окружающей среды.

Реальная броуновская частица по линейным размерам на три порядка превосходит молекулы окружающей жидкости, а скорость её теплового движения сравнительно невелика. Поэтому действующую на неё силу FC можно находить по формуле Стокса.

На имитационной модели природа силы сопротивления FC ,

действующей на "броуновскую" частицу, иная, и рассчитать её теоретически, чтобы затем найти подвижность шайбы, затруднительно. Зато саму подвижность B можно найти экспериментально, измерив скорость сноса шайбы u при наклоне коробки на некоторый угол α по отношению к горизонту, например, в сторону оси x. В этом случае шайба будет испытывать действие составляющей силы тяжести Fx = mg sin(α ) .

Таким образом, перенося соотношение (2) на модель и используя найденные на опыте величины D и B, можно определить эффективную температуру системы TM . Заметим, что "броуновская"

частица в данном случае выступает в качестве термометрического тела.

Напоследок обратимся к вопросу о природе силы сопротивления Fc , действующей на шайбу.

Во-первых, система магнитных шариков в коробке подобна газу. При движении в нем большого тела среднее число ударов спереди N+ и сзади N− неодинаково. Величина N+ − N− в модели и

возникающая по этой причине сила сопротивления F1 пропорцио-

нальны скорости шайбы u (попробуйте обосновать).

Во-вторых, на непрерывно движущуюся шайбу со стороны основания коробки действует сила трения скольжения. Ее среднее значение F2 также пропорционально скорости шайбы (следует

обосновать).

Таким образом, мы получаем, что F1 = C1 u , F2 = C2 u , где C1, C2 – коэффициенты сопротивления соответственно со стороны

магнитных шариков и основания коробки. Поскольку полная сила сопротивления Fc = F1 + F2 , то для нахождения подвижности шайбы

имеем формулу 1/ B = C1 + C2 .

15

Вывести математические выражения для коэффициентов C1, C2 на первый взгляд затруднительно. Но, если это сделать, то, по-

видимому, станет возможным определение давления в системе магнитных шариков. Его можно и непосредственно измерить по методу [3], где использован пьезоэлектрический датчик, регистрирующий число ударов о площадку за единицу времени.

Описание лабораторной установки и методики эксперимента

Лабораторная установка для имитации броуновского движения показана на рис. 1. Основание (дно) и крышка коробки К для магнитных шариков вырезаны из толстого стекла, а ограничивающий их движение бортик – из плексигласа. К основанию коробки с внешней стороны крепится видимая сверху прямоугольная шкала. Коробка устанавливается на соленоид С соосно с ним. Соленоид запитывается током от лабораторного автотрансформатора (ЛАТР); подаваемое напряжение измеряется вольтметром V.

Для выравнивания коробки по горизонту служат регулировочные винты В подставки соленоида и большой металлический шар, который помещается в любом месте основания коробки, свободном от магнитных шариков (их нужно достать из коробки или сгрудить вдали от шара).

Рис. 1. Схема установки для имитации броуновского движения

Заметим, что металлический шар с гладкой (неповреждённой) поверхностью весьма чувствителен к наклону коробки. Его неподвижность гарантирует высокую точность горизонтальности её основания. Очевидно, что при данной проверке шар надо поворачивать и помещать в разные места коробки. Если шар неподвижен в

16

одном месте, но начинает катиться в другом, то это говорит о неплоском основании.

После выравнивания коробки по горизонту под ее левый край подкладывается линейка так, чтобы искусственно создать заданный наклон. Его величина определяется отношением толщины линейки h и расстояния l между точками опоры коробки на линейке и правом крае соленоида.

Для корректности измерений важно, чтобы прямая, проходящая через указанные точки, была параллельна оси x прямоугольной шкалы. Тогда снос шайбы под действием составляющей силы тяжести Fx будет происходить в определенном направлении.

Учитывая снос шайбы, перед началом опыта ее нужно положить ближе к левому краю коробки в произвольном месте. Далее следует вложить в коробку несколько десятков магнитных шариков (их число желательно записать) и установить крышку, которую во время опыта – не открывать. Напряжение, подаваемое с трансформатора на соленоид, выставляется по вольтметру так, чтобы магнитные шарики пришли в движение, не слипаясь в группы. Его величину (около 120 В) при повторении опыта следует воспроизвести.

Опыт повторяется, если серия полученных значений координаты xi , i = 0, 1, 2,…N, “броуновской” частицы окажется короткой

(N < 100). Это происходит, когда шайба прибивается шариками к бортику коробки. Полученные серии данных в дальнейшем могут склеиваться адекватно движению шайбы по неограниченной плоскости.

Значения координаты xi “броуновской” частицы определяются

визуально, например, по ее левому краю через равные шаги по времени τ = 5 – 10 секунд (выбор предоставляется экспериментатору).

Заметим, что производство измерений в условиях непрерывного опыта представляет значительную трудность. Поэтому рекомендуется распределить работу по отсечке моментов времени, считыванию и записи значений координаты xi между двумя студентами.

17

Метод статистической обработки результатов измерений

В опытах с наклонной коробкой к случайному смещению шайбы xc , которое происходит за некоторое время t , из-за ее посто-

Все они могут быть использованы для отыскания параметров u, D случайного блуждания частицы по графикам зависимости указанных характеристик от величины t .

Осреднение в формулах (3) – (6) должно проводиться по большому (строго говоря, бесконечному) числу одинаковых броуновских частиц или, как говорят, по ансамблю. Но в нашем распоряжении имеется лишь одна “броуновская” частица, так что осреднение по ансамблю мы будем заменять на осреднение по времени. Предположение о правомерности такой замены в статистической физике получило название эргодической гипотезы [4].

Конкретно в работе такое осреднение будет проводиться для однотипных смещений xi( j ), i = j,…N, совершенных частицей за равные промежутки времени t j = j τ , где τ – временной шаг из-

мерений, j – номер типа смещения. А именно, из полученного на опыте длинного ряда значений координаты xi , i = 0, 1, 2,…N, будут

вычисляться разности:

18

соответственно промежуткам времени t1 = τ , t2 = 2τ , t3 = 3τ и т.

д. Эти и последующие расчеты будут выполняться автоматически с помощью описанной ниже компьютерной программы.

Поскольку средние значения в формулах (3) – (6) при заданной величине t будут вычисляться по ограниченной серии (выборке) опытных данных xi , i=1,2...N, то им будет присуща некоторая

ошибка. По теории вероятностей её следует рассчитывать как среднюю квадратичную с использованием коэффициента Стьюдента tα,N, соответствующего взятой доверительной вероятности α и числу N осредняемых значений x i. Применяя упрощающие обозначения

M = < x > , S = < ( x)2 > , P = < ( x)4 > , Q = < ( x)2 > − < x >2 ,

дадим выражения для интересующих нас ошибок

вывод которых предоставляется читателю.

Данные ошибки определяют интервалы у экспериментальных точек на графиках зависимости величин M, S / t и Q от промежутка времени t , по которым должны проходить аппроксимирующие прямые (3), (5), (6). Если эти прямые действительно проходят по указанным интервалам, то задаваемая ими закономерность признается подтвержденной на опыте с выбранной вероятностью α . После чего графически могут быть определены искомые параметры u, D, а также (по разбросу экспериментальных точек около аппроксимирующей прямой) их погрешности δu , δD . Методика должна быть известна студентам.

Для более точного определения средних значений параметров движения u, D и их погрешностей δu , δD предлагается произвести дополнительное осреднение найденных из опыта величин (M / t) j ,

19

(Q / 2 t) j по ряду взятых в работе промежутков времени t j , j =

1,2…n. Согласно формулам (3), (6) имеем выражения

u = < M / t > , D = < Q / 2 t > , (7)

δu = [< (M / t)2 > − U 2 ]/ n , δD = [< (Q / 2 t)2 > − D2 ]/ n , (8)

которые рекомендуется получить самостоятельно.

Программа автоматической обработки данных

Описанный метод статистической обработки реализован в компьютерной программе, текст которой на языке Фортран представлен в Приложении 2. Она выполняет по выбору пользователя три рода действий:

во-первых, склеивает серии данных, полученные при одинаковом числе магнитных шариков и напряжении на соленоиде (без этого склейка теряет смысл);

во-вторых, моделирует случайное блуждание частицы, учитывая её постоянный снос;

в-третьих, производит обработку данных опыта или моделирования с выдачей таблицы значений величин M, Q и их ошибок δM , δQ , рассчитанных для заданного числа n определённых выше про-

межутков времени t j .

Проверка линейной зависимости величин M, Q от номера j взятого промежутка времени должна производиться графически (на миллиметровой бумаге или в компьютерных программах Grapher, Mathcad и др.) с учетом ошибок δM , δQ . При графическом под-

тверждении указанной зависимости величин M, Q правомерно воспользоваться выданными в конце таблицы значениями скорости сноса u и коэффициента диффузии D с их погрешностями δM , δQ ,

рассчитанными по формулам (7), (8).

Дополнительные задания

1. Пользуясь соотношением (2), найдите среднюю энергию kTM

плоского движения частиц в системе магнитных шариков. Рассчитайте эффективную температуру TM . Будьте внимательны к раз-

мерностям используемых величин.

20