20070707

ности тела. Но влияние вязкости будет распространяться лишь на тонкий пограничный слой толщиной порядка r Re . Этот слой,

однако, не покрывает целиком поверхности плохо обтекаемого тела, каковым является шар, а отрывается от нее в некотором месте. Местоположение отрыва пограничного слоя от поверхности шара и определяет значение C при больших числах Re . Сочетание разнородных факторов, действующих при обтекании шара, приводит к зависимости С от Re , которая изображена в логарифмическом масштабе на рис. 1 по результатам различных опытов [2]. Прямолинейный участок кривой, лежащий при lg Re < −0.3, соответствует

формуле Стокса (2), которая, таким образом, достаточно точна в области Re < 0.5 .

Рис. 1. Коэффициент сопротивления шара в зависимости от числа Рейнольдса

Формула Стокса получила широкое применение в важных физических опытах: определение постоянной Больцмана методом Перрена, определение заряда электрона методом Милликена и др. В данной работе она используется для измерения коэффициента вязкости жидкости методом падающего шарика [3]. Уравнение движения падающего в жидкости шарика при Re < 0.5 имеет вид

41

где ρт, Vт – плотность и объём тела. Решая это уравнение с начальным условием v(0) = v0 , нетрудно получить закон изменения скорости шарика

где u – установившаяся скорость движения, τ - характерное время установления скорости:

после его входа в жидкость, которая при падении с небольшой высоты мала. Если положить v0 = 0 , то при t = 4τ отличие v от u со-

гласно (4) составит менее 2%, и процесс установления можно считать закончившимся. Путь s, пройденный шариком к этому моменту времени, составит величину

Она дает допустимое расстояние между свободной поверхностью жидкости и меткой начала отсчета времени в эксперименте. Разумеется, что для расчета пути установления s понадобится найденная из опыта величина u.

Для расчета коэффициента вязкости по опытным данным из первой формулы в (5) получим выражение

где B = 2(ρт − ρ )g9l – просто вычисляемый коэффициент, l – рас-

стояние между метками, t – время движения между ними.

Метод падающего шарика позволяет легко находить коэффициент сопротивления C. Для его расчета подставим в формулу (1) вместо силы сопротивления F уравновешивающую её при установившемся падении шарика результирующую силу (ρт− ρ )Vтg . По-

лученное выражение

42

применимо для любых чисел Re . Его можно использовать для отыскания по графику на рис. 1 числа Рейнольдса в интервале 0.5 ≤ Re ≤ 100 , а затем рассчитать коэффициент вязкости η за пределами Стоксовой области.

Методические особенности эксперимента

В качестве меток в работе используются резиновые колечки, охватывающие стеклянные цилиндры с исследуемой жидкостью (технический глицерин, вода). Колечки можно перемещать вдоль цилиндров, располагая их на требуемой высоте: верхнее – ниже уровня жидкости настолько, чтобы к моменту его прохождения скорость шарика успевала установиться; нижнее – на возможно большем расстоянии от верхнего колечка, чтобы уменьшить ошибку измерения величин l и t. Фиксируя момент прохождения шариком метки, глаз наблюдателя должен располагаться в плоскости колечка, которое при этом будет сливаться в отрезок прямой линии.

Радиусы шариков r определяются с помощью измерительного микроскопа. Рекомендуется проверить сферичность шариков, измеряя их диаметр d по разным направлениям. При ее нарушении в качестве r надо брать половину среднего значения d.

Плотность жидкости ρ определяется с помощью пикнометра или берется из справочника. Плотность шариков ρт находится по

их массе и объёму или берется из таблиц, как, например, для свинцовых дробинок.

Описанная методика определения коэффициента вязкости основана на формуле Стокса (2) и верна лишь при условии Re < 0.5 . Проверить последнее можно, даже не находя величины η , а ис-

пользуя выражение (8) и график на рис. 1.

Однако есть иной способ проверить приемлемость данной методики. Нужно провести опыты с разными по радиусу шариками. Если рассчитанные по формуле (7) значения коэффициента η не

обнаружат систематической зависимости от r, значит методика справедлива. В противном случае условия опыта надо поменять,

43

взяв другие шарики, или для нахождения η воспользоваться фор-

мулой (8) и графиком на рис. 1.

Разумеется, что всякий раз начальный участок пути l (до верхней метки) должен быть достаточным для установления скорости шариков: l ≥ s . Кроме того, во избежание влияния стенок сосуда на результаты опытов, необходимо бросать шарики вблизи осевой линии цилиндров.

Порядок выполнения работы

1.Отберите 2 или 3 группы тяжелых шариков (свинцовых дробинок) по 5 примерно одинаковых шариков в группе так, чтобы шарики из разных групп заметно отличались по диаметру. Измерьте диаметры шариков. Для каждой группы вычислите среднее значение радиуса <r> и его среднеквадратичную ошибку δr .

2.Бросая в сосуд с техническим глицерином наибольшие шарики, измерьте время их падения между двумя метками. По формуле (6) определите путь s установления скорости, проверьте выполнение условия l ≥ s , при необходимости переместите верхнюю метку. После этого побросайте в жидкость остальные шарики. Для каждой группы вычислите среднее время падения <t> и его среднеквадратичную ошибку δt .

3.Предварительно рассчитав коэффициент B, независящий от радиуса шариков, с помощью второй формулы в (7) для каждой группы шариков найдите среднее значение коэффициента вязкости

<η > жидкости. Его ошибку вычислите по формуле

Проверьте, лежит ли расхождение в средних значениях < η > , найденных для разных групп шариков, в пределах ошибки δη .

4.По найденному коэффициенту η и скорости u для каждой группы шариков рассчитайте число Re . Проверьте выполнение условия Re < 0.5 . Сделайте вывод относительно достоверности полученных значений коэффициента вязкости.

5.Используйте достоверное значение η для определения по графику на рис. 2 массовой доли воды в техническом глицерине.

44

Рассчитайте его плотность, внесите поправку в значение η, найденное по формуле (7).

6.Проведите аналогичные опыты, бросая самые легкие шарики

всосуд с водой. По формуле (8) найдите для каждого шарика коэффициент сопротивления C и число Re . Полученные результаты представьте на графике зависимости lgC от lg Re .

Рис. 2. Коэффициент вязкости водного раствора глицерина в зависимости

от массовой доли воды ζ в растворе при температуре 20 0С

Дополнительные задания

1.Выведите формулы (5), интегрируя уравнение (3).

2.Получите выражение (6), интегрируя (4) и используя (5).

3.Получите выражение (9) из общей формулы для ошибки косвенных измерений.

4.Пользуясь графиками на рис. 1, 2 и выражениями для величин C и Re , спланируйте эксперимент по выходу на возможно большие числа Re .

Литература

1. Сивухин, Д.В. Общий курс физики. Т. 1 / Д.В. Сивухин. –

М.: Наука, 1989. – §§ 98, 100, 101, 103.

2. Бэтчелор, Дж. Введение в динамику жидкости

/Дж. Бэтчелор. – М.: Мир, 1973. – 5.11.

3.Руководство к лабораторным занятиям по физике / под ред. Л.Л. Гольдина. – М.: Наука, 1973. – Р. 20.

45

Лабораторная работа 6

Изучение температурной зависимости коэффициента вязкости жидкости

с помощью капиллярного вискозиметра

Оборудование: капиллярный вискозиметр, аспиратор, стеклянный термостатирующий сосуд, электродвигатель с мешалкой, термометр, электронагреватель, секундомер, стакан для слива воды.

Общие представления

Феноменологически внутреннее трение в подвижных средах (жидкостях и газах) описывается законом вязкости Ньютона [1]

F =η (dvdy)S ,

где F – сила взаимодействия движущихся слоев на разделяющей их площадке S, а dv/dy – поперечный градиент скорости v их движения. Коэффициент пропорциональности η, стоящий в формуле, характеризует эффективность силового взаимодействия слоев. В системе СГС он измеряется в “Пуазах”, а именно 1 Пз = г/(см с).

Молекулярный механизм внутреннего трения в жидкости существенно иной, чем в газе. Это связанно с большой плотностью упаковки в ней микроскопических частиц (молекул): среднее расстояние между ними близко к размеру самих частиц. Поэтому для жидкости теряет смысл представление о длине свободного пробега молекул (силы взаимодействия между ними велики и оказывают постоянное влияние на их движение). Вязкость жидкости нельзя трактовать как результат свободного переноса в ней импульса макроскопического движения, поскольку импульс каждой частицы не остается постоянным даже на протяжении кратчайших интервалов времени, но непрерывно меняется.

Тепловое движение частиц в жидкости носит колебательнодиффузионный характер. Большую часть времени выделенная молекула проводит в тесном окружении соседних частиц, совершая малые колебания с периодом τ0 в пределах предоставленной ей по-

46

энергией активации. Далее, рассматривая миграцию многих частицы как процесс самодиффузии (см., например, [3], [4]) с коэффициентом D = δ 2 6τ , он получил выражение

С другой стороны, если представлять частицу как маленький шарик с радиусом a, что соответствует модели простых жидкостей, то можно записать формулу Стокса f = 6πaηu , где f – сила сопро-

тивления, действующая на частицу со стороны вязкой среды при её движении со скоростью u. Из этой формулы следует выражение для подвижности частицы

Подставляя его и выражение (3) в соотношение Эйнштейна

которая выражает зависимость коэффициента вязкости от температуры.

Данная формула хорошо описывает явление вязкости не только в простых (одноатомных), но и в более сложных жидкостях, находящихся при постоянном внешнем давлении. Область ее применимости, однако, ограничена условием τ > τ0, которое выполняет-

ся при относительно невысоких температурах.

Сравнение теоретической зависимости величины η от T с опытными данными позволяет найти важные микроскопические характеристики частиц жидкости W и τ0. Такое сравнение удобнее

рифмируя формулу (6), получим уравнение прямой

48

Её график на плоскости переменных x, y будет иметь коэффициент наклона к оси x равный W и будет отсекать на оси y отрезок

Описание измерительной установки

Установка для измерения коэффициента вязкости жидкостей в температурном диапазоне 20 – 90 оC изображена на рис. 1. Она включает в себя капиллярный вискозиметр B, термометр T и электронагреватель H, помещенные в стеклянный термостатирующий сосуд с водой. Погруженная в воду мешалка M, вращаемая электродвигателем Д, позволяет быстро устанавливать равномерную по всему объему сосуда температуру.

Рис. 1. Лабораторная установка для измерения коэффициента вязкости

жидкостей при разных температурах

Используемый в работе капиллярный вискозиметр Оствальда [5] представляет собой U-образную стеклянную трубку, одно колено которой имеет две полости П1, П2 и капилляр К. На нижней и верхней сторонах полости П2 нанесены кольцевые метки М1, М2,

49

ограничивающие некоторый объем V0, являющийся константой прибора. Другое колено вискозиметра представляет собой широкую трубку с полостью П3 и боковым отростком. В обычной практике, когда прибор держат в руках, этот отросток соединяется с резиновой грушей для закачивания исследуемой жидкости в узкое колено вискозиметра. Перед этим определенная порция её вливается в широкую трубку вискозиметра.

В данной работе вместо груши используется аспиратор А, соединенный с узким коленом вискозиметра через тройник. Засасывание жидкости в полость П2 вискозиметра производится разрежением воздуха, возникающим в аспираторе при вытекании из него воды при открытом кранике К1 и закрытом кранике К2. После того, как уровень воды в узком колене поднимется несколько выше метки М1, краник К1 перекрывают и открывают краник К2, соединяющий полость П1 с атмосферой.

Жидкость получает возможность свободно стекать через капилляр в нижнюю часть прибора и полость П3. При этом измеряется время t, за которое уровень жидкости в узком колене опускается от метки M1 до метки M2. Это время прохождения через капилляр определенного объема жидкости V0 связано с коэффициентом вязкости формулой

где ρ – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения, φ (t) – градуировочная функция вискозиметра. Последняя определяется геометрией прибора и полным объемом VΣ залитой в него жидкости.

Отыскание функции φ (t) представляет собой отдельную задачу, которая рассмотрена в Приложении 1. Её решение приводит к выражению ϕ (t) = Ct , где C – постоянная прибора.

Постоянную С для заданного объема VΣ находят из калибровочного опыта, проведенного с эталонной жидкостью, для которой известны величины η, ρ. Объем VΣ удобно фиксировать по метке M3, нанесенной на широкое колено вискозиметра (см. рис. 1), напротив которой должен находиться свободный уровень залитой жидкости.

50