Примеры решения задач.

1. Механика.

Задача 1. Определить скорость течения реки и скорость катера в стоячей воде, если известно, что катер проходит расстояние 300000 метров по течению за 14 400 секунд, а против течения – за 21600 секунд.

Дано: L=300000 м; t₁=14400 с; t₂=21600 с

Найти: v_p — ?; v_k — ?

Решение:

Скорость катера по течению реки относительно берега определяется по формуле

,

а против течения по формуле

. Тогда

,

.

Решив уравнения относительно v_p и v_k, получаем формулу для расчета скорости течения реки и формулу для расчета скорости катера.

Скорость течения реки

м/с

Скорость катера

м/с.

Ответ: скорость течения реки равна 3,47 метров в секунду, скорость катера равна 17,36 метров в секунду.

Задача 2. Два поезда движутся на встречу друг другу по параллельным рельсам. Скорость первого поезда 10 метров в секунду, длина первого поезда 500 метров. Скорость второго поезда 20 метров в секунду, длина второго поезда 100 метров.

Определить в течение какого времени второй поезд будет ехать мимо первого.

Дано: v₁=10 м/с; v₂=20 м/с; L₁=500 м; L₂=100 м

Найти: t — ?

Решение:

Время, в течение которого поезда будут проходить мимо друг друга, можно определить, разделив общую длину  поездов на их относительную скорость. Скорость первого поезда относительно второго определяется по формуле

Формула для определения времени принимает вид

c

Ответ: второй поезд будет ехать мимо первого в течение 20 секунд.

Задача 3. Определить среднюю скорость движения человека на протяжении всего пути, если первую половину пути он шел пешком со скоростью 4 километра в час, а вторую половину пути проехал на велосипеде со скоростью 16 километров в час.

Дано: v₁ = 4 км/ч; v₂ = 16 км/ч; s₁ = s₂ = s/2

Найти: v_cp — ?

Решение:

Исходя из того, что средняя скорость переменного движения равна отношению всего пути ко времени движения, получим формулу средней скорости . Общее время движения человека складывается из времени движения пешком и времени движения на велосипеде .

Средняя скорость переменного движения

км/ч.

Ответ: средняя скорость переменного движения человека равна 6,4 километров в час.

Задача 4. Определить ускорение автомобиля при торможении и длину пути торможения, если автомобиль за время торможения равное 5 секундам снизил скорость с 10 метров в секунду до 5 метров в секунду.

Дано: v₀=10 м/с; v₁=5 м/с; t=5 с

Найти: a — ?; L — ?

Решение:

Ускорение при торможении определяем по формуле

м/с²

Путь при торможении определяем по формуле

м.

Ответ: ускорение автомобиля при торможении составило -1 метр в секунду в квадрате, путь при торможении равен 37,5 метрам.

Задача 5. Определить ускорение и путь, пройденный автомобилем за 20 секунд, если его скорость за это время увеличилась с 8 метров в секунду до 16 метров в секунду. Считать движение автомобиля равноускоренным.

Дано: v₁=8 м/с; v₂=16 м/с; t=20 c

Найти: a — ?; L — ?

Решение:

Ускорение определяем по формуле

м/с²

Путь, пройденный автомобилем, определяем по формуле

м.

Ответ: автомобиль за 20 секунд проехал путь равный 240 метрам с ускорением 0,4 метра в секунду в квадрате.

Задача 6. Машинист поезда, движущегося со скоростью десять метров в секунду, начал тормозить на расстоянии пятьсот метров от железнодорожной станции.

Необходимо: определить положение поезда через двадцать секунд, если при торможении его ускорение равно 0,1 м/с².

Дано: v₀ = 10 м/с; s = 500 м; t = 20 с; a = 0,1 м/с².

Найти: x — ?

Решение:

Формула уравнения движения поезда, записывается следующим образом

,

где x₀ = 0; v₀ = 20 м/с; a = -0,1 м/с², так как движение поезда равнозамедленное.

Определим положение поезда, подставив числовые значения в уравнение движения

м.

Ответ: x = 180 м.

Задача 7. Определить скорость, ускорение и координату x точки в момент времени равный 5 секундам, если уравнение движения материальной точки имеет вид , где А равно 4 метрам, В равно 3 метрам в секунду, С равно (-0,6) метрам в секунду в квадрате.

Дано: ; А=4 м; В=3 м/с; С=-0,6 м/с²; t=5 c

Найти: v — ?; a — ?; x — ?

Решение:

Определяем координату x, подставив в уравнение движения материальной точки значения коэффициентов

м

Определяем мгновенную скорость материальной точки, как первую производную координаты по времени

м/c

Определяем ускорение материальной точки, как первую производную от скорости по времени

м/c²

Ответ: координата x равна 4 метра, скорость материальной точки равна (-3) метра в секунду, ускорение материальной точки равно (-1,2) метра в секунду в квадрате.

Задача 8. Определить угловую и линейную скорость вращения окружности колеса, если известно, что угол поворота колеса радиусом пол метра изменяется по закону φ=5t.

Дано: r=0,5 м; φ=5t

Найти: w — ?; v — ?

Решение:

Формулы угловой и линейной скорости вращения имеют вид и

Угловая скорость вращения

c^-1

Линейная скорость вращения

м/с.

Ответ: угловая скорость вращения окружности колеса равна 5 с^-1, линейная скорость вращения окружности колеса равна 2,5 метрам в секунду.

Задача 9. Определить скорость движения поезда, если известно, что ведущее колесо электровоза диаметром 1,2 метра совершает 600 оборотов в минуту.

Дано: d=1,2 м; w=600 об/мин=10^-1 с

Найти: v — ?

Решение:

Формула скорости вращательного движения имеет вид v=2πrw=πdw

Скорость движения поезда

v=3,14×1,2×10=37,68 м/с

Ответ: скорость движения поезда равна 37,68 метров в секунду.

Задача 10. Шкив диаметром 1 метр делает 500 оборотов за 300 секунд.

Определить угловую и линейную скорости точки на ободе шкива, период вращения шкива.

Дано: D=1 м; N=500; t=300 с.

Найти: w-?; v-?; T-?

Решение:

Период вращения шкива определяется по формуле

c.

Угловая скорость шкива определяется по формуле

рад/с.

Линейная скорость шкива определяется по формуле

м/с.

Ответ: период вращения шкива 0.6 секунд, угловая скорость 10.5 рад/с, линейная скорость 5.25 м/с.

Задача 11. Человек массой семьдесят килограмм бежит со скоростью семь метров в секунду, догоняет тележку, движущуюся со скоростью четыре метра в секунду, и вскакивает на неё. Масса тележки пятьдесят килограмм. Необходимо: определить с какой скоростью будет двигаться тележка?

Дано: m₁=70 кг; m₂=50 кг; v₁=7 м/с; v₂=4 м/с. Найти: v — ?

Решение

Формула закона сохранения импульса в нашем случае имеет вид:

.

Получаем формулу для расчета скорости тележки, после того как в неё вскочил человек

.

Подставим числовые значения величин и рассчитаем скорость тележки

м/с.

Ответ: тележка станет двигаться со скоростью пять целых семьдесят пять сотых метров в секунду.

Задача 12. Известно, что груз массой десять килограмм падает с некоторой высоты и достигает поверхности земли через 5 секунд. Необходимо: определить работу силы тяжести.

Дано: m=10 кг; t=5 сек. Найти: A-?

Решение:

Запишем формулу для определения полной работы силы тяжести

,

где – действующая на груз сила тяжести;

Формула работы принимает вид

.

Так как , получим следующую формулу для определения работы силы тяжести

Вычисляем работу силы тяжести

Дж.

Ответ: работа силы тяжести равна двенадцать тысяч пять джоуль.

Задача 13. Известно, что снаряд массой двадцать килограмм со скоростью пятьсот метров в секунду вылетает из орудия за две тысячных секунды. Необходимо: определить среднюю силу давления пороховых газов.

Дано: m=20 кг; v=500 м/сек; t=0,02 сек. Найти: F-?

Решение:

Работа, выполняемая пороховыми газами, равна изменению кинетической энергии снаряда

, тогда

,

где s – длина ствола орудия.

Так как движение снаряда равноускоренное, формула для определения длины орудия будет следующей , где , значит .

Итоговая формула для определения силы давления пороховых газов

Рассчитаем силу давления пороховых газов

Н.

Ответ: средняя сила давления пороховых газов равна пятьсот тысяч ньютон.

Задача 14. Известно, что груженая клеть массой четыре тысячи килограмм, равноускорено поднимается из шахты глубиной сто двадцать метров за сорок секунд. Необходимо: определить мощность двигателя.

Дано: m=4000 кг; h=120 м; t=40 сек; g=9,8 м/сек². Найти: P-?

Решение

Формула для определения мощности двигателя

Формула для определения работы, совершаемой двигателем

, где

, где

F₁ — сила для равномерного поднятия груза, равна

,

F₂ — сила, сообщающая грузу ускорение, равна

, тогда

Ускорение найдем из формулы

Запишем итоговую формулу работы

В результате получим формулу для расчета мощности двигателя

Выполним расчет мощности двигателя

Вт.

Ответ: мощность двигателя равна сто девятнадцать тысяч четыреста ватт.

Задача 15. Известно, что ракета массой тысячу килограмм, под действием ракетного двигателя, со скоростью тысяча сто метров в секунду поднимается на высоту 35000 метров. Необходимо: определить работу, выполняемую ракетным двигателем (изменение величины ускорения свободного падения с высотой в расчет не принимаем).

Дано: m=1000 кг; v=1100 м/сек; h=35000 м; g=9,8 м/сек². Найти: A-?

Решение:

Запишем формулу для определения работы, совершаемой ракетным двигателем

,

где , сила служит для равномерного подъёма ракеты, а сила сообщает ракете ускорение.

Формула работы принимает вид .

Из формулы , найдем ускорение .

Итоговая формула для расчета работы, выполняемой ракетным двигателем

Дж.

Ответ: ракетный двигатель совершает работу равную девятьсот сорока восьми миллионам джоуль.

Задача 16. Известно, что грузовой автомобиль массой пять тысяч килограмм движется по горизонтальному пути со скоростью семьдесят два километра в час (20 метров в секунду). Необходимо: определить силу и время торможения автомобиля, если тормозной путь составил пять метров.

Дано: m=5000 кг; v=20 м/сек; s=5 м. Найти: F-?; t-?

Решение:

Исходя из того, что работа силы торможения численно равна изменению кинетической энергии движущегося автомобиля , получаем формулу для определения силы торможения

Подставив в формулу численные значения, рассчитаем силу торможения грузового автомобиля

Н.

Из формулы , при условии, что v_t=0: , где , получаем формулу времени торможения

Время торможения автомобиля

сек.

Ответ: сила торможения автомобиля составила двести тысяч ньютон, время торможения равно половине секунды.

Задача 17. Необходимо: определить работу двигателя, равноускорено движущегося автомобиля. Известно, что на участке пути равном ста метрам, автомобиль развил скорость сто восемь километров в час (тридцать метров в секунду), масса автомобиля две тысячи килограмм, коэффициент трения равен ноль целых пять сотых.

Дано: s=100 м; v=20 м/сек; m=2000 кг; κ=0,05. Найти: A-?

Решение:

Запишем формулу для определения работы

,

где F – сила тяги, а s – путь.

Сила тяги состоит из силы , необходимой для равномерного перемещения автомобиля и силы придающей автомобилю ускорение

Формула для определения работы двигателя автомобиля принимает вид

Ускорение a найдем из формулы

Получаем итоговую формулу работы и производим расчет

Дж.

Ответ: работа двигателя равноускорено движущегося автомобиля равна 128000 джоуль.

Задача 18. Считая деформации упругими определить работу, которую необходимо совершить, чтобы сжать пружину на 0.3 метра. Жесткость пружины 2,94×10³ Н/м.

Дано: x₁=0 м; x₂=0.3 м; k=2,94×10³ Н/м Найти: A-?

Решение:

Определяем работу по сжатию пружины по формуле

,

Дж.

Ответ: работа, необходимая для того, чтобы сжать пружину на 30 сантиметров, равна 132.3 Дж.

Задача 19. Определить: на какой высоте h ускорение свободного падения вдвое меньше его значения на поверхности Земли?

Дано: g′=g/2; R_Z=6.37×10⁶ м. Найти: h=?

Решение:

,

,

,

,

,

м.

Ответ: на высоте 2.61×10⁶ метров ускорение свободного падения вдвое мень­ше его значения на поверхности Земли.