3.ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

ИНЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН В ЗНАМЕНАТЕЛЕ ДРОБИ

§ 1. Некоторые сведения о многочленах

Рассмотрим кратко некоторые сведения о многочленах, которые необходимы в дальнейшем.

Имеет место следующая теорема, которую принимаем без доказательства. Теорема: Всякий многочлен степени n может быть представлен в

Числа 1 , 2 ,..., n очевидно являются корнями многочлена Р x .

Среди линейных множителей, на которые разложен многочлен, могут быть одинаковые. Объединяя в разложении (3.1) одинаковые сомножители, его можно записать в виде

P x a0 x a k1 x b k2 ... x l kS (3.2)

где все корни a, b, ..., различны и k1 k2 ... kS n .

Корень a многочлена Р x , для которого линейный множитель x a в разложении (3.2) встречается k1 раз, называется корнем кратности k1 . Корень кратности 1 называется простым.

В алгебре доказывается, что если многочлен с действительными коэффициентами имеет корнем комплексное число i кратности k , то

19

сопряжённое комплексное число i также является корнем многочлена той же кратности.

Отсюда следует, что если в разложении многочлена на множители имеется множитель x k , соответствующий сопряжённому корню

i , то в этом разложении имеется множитель x k , соответст-

вующий сопряжённому корню i . Перемножим эти два множителя, соответствующие сопряжённым корням:

x k x k x i k x i k

x i x i )k x2 2 x 2 2 k x2 px q k ,

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряжённым корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами.

Всё вышеизложенное позволяет высказать следующее окончательное предложение, с помощью которого удаётся избежать мнимых чисел при разложении многочлена на множители.

Всякий многочлен с действительными коэффициентами можно представить в следующей форме:

P x a0 x a t1 x b t2 ... x2 p1x q1 k1 x2 p2 x q2 k2 .

В этом разложении линейные множители соответствуют действительным корням, а квадратные трёхчлены – комплексным корням многочлена. Постоянные a0 , a, b,..., p1 , q1 , p2 , q2 ,... действительные числа.

20

§ 2. Рациональные дроби

Дробной рациональной функцией или просто рациональной дробью называется функция, равная частному от деления двух многочленов:

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя; в противном случае рациональная дробь на-

зывается неправильной.

Приведённая выше рациональная дробь – неправильная.

Отметим, что всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

В самом деле, пусть R x P x / Q x – неправильная рациональная дробь. Разделив числитель на знаменатель, получим тождество

21

Так как многочлен мы интегрировать умеем, то остаётся рассмотреть интегрирование правильных рациональных дробей.

Правильные рациональные дроби следующих четырёх типов:

имеет действительных корней (т. е. Д 0 ), называются простейшими дро-

бями I, II, III и IV типов.

Имеет место следующая теорема, которую приводим без доказатель-

ства.

22