Так, например, большое значение в различных приложениях играет

Эта функция, в частности, встречается в теории вероятностей и называется интегралом вероятностей. Для неё составлены таблицы значений для различных значений аргумента х.

Если первообразная для некоторой функции не является элементарной функцией, то говорят, что интеграл «не берётся» в элементарных функциях.

Практическое занятие 5.

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок

Пример 1. Найти интеграл I1 = sin4 xdx

Решение. Для нахождения интеграла применим формулы понижения степени

к подынтегральной функции; проведем тождественные преобразования под знаком интеграла; применим свойства линейности, инвариантности, метод введения под знак дифференциала и табличные интегралы

dx x c , cos xdx sin x c.

39

I1= sin 4 xdx = (sin 2 x)2 dx

(12 (1 cos2x)2 dx 14 (1 2cos2x cos2 2x)dx 14 ( dx 2 cos2xdx cos2 2xdx)

=14 (x 2 cos 2xdx 1 cos2 4xdx) 14 (x sin 2x 12 ( dx cos 4xdx))

=14 (x sin 2x 12 x 81 sin 4x) c = 14 (32 x sin 2x 18 sin 4x) c

Пример 2. Найти интеграл I2 = cos3 xdx

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

I2= cos3 xdx = cos 2 x cos xdx (1 sin 2 x) cos xdx

Теперь применим метод введения под знак дифференциала, свойства линейности и инвариантности и табличные интегралы dx x c ,

Пример 3. Найти интеграл I3= cos 2x cos 3xdx

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию по формуле cos cos 12 (cos( ) cos( )),

а затем применим свойство линейности, метод введения под знак дифференциала и табличный интеграл cos xdx sin x c

I3= cos 2x cos 3xdx =

12 (cos x cos 5x)dx 12 ( cos x 15 cos 5xd (5x)) 12 sin x 101 sin 5x c

40

Преобразуем подынтегральное выражение к новой переменной t и найдем интеграл по новой переменной, применив метод введения под знак диффе-

Решение. Для интегрирования применим подстановку x=2sint, откуда

dx=2cos t dt, 4 x2 4 4sin2 t 2cost

Преобразуем данный интеграл к новой переменной t:

I5 4 x2 dx 2cost 2costdt 4 cos2tdt.

Для нахождения полученного интеграла применим формулу понижения степени:

cos2 12 1 cos2 .

I5 4 cos2t dt 4 12 1 cos2t dt 2 1 cos2t dt 2 dt cos2t dt

2 t 12 sin 2t c 2t sin 2t c.

41

Вернемся к первоначальной переменной интегрирования x. Применяя формулы тригонометрии, получим:

Из равенства sin t 2x получаем t arcsin 2x .

Окончательно имеем:

Практическое занятие 6.

Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

Решение. Преобразуем квадратный трехчлен ( x2 3x 10 ), а именно – выделим полный квадрат:

Применим метод введения под знак дифференциала, а затем свойство инвариантности и табличный интеграл:

42

9x2 6x 2

Решение. Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене:

Применим метод введения под знак дифференциала, а затем свойство инвариантности и табличный интеграл:

Решение. Найдем производную квадратного трехчлена и запишем ее в числителе, а затем проведем тождественные преобразования в числителе.

43

Для нахождения первого интеграла применим метод введения под знак

Для нахождения второго интеграла выделим полный квадрат в квадратном трехчлене ( 4x2 4x 17 ), а затем – метод введения под знак дифференциала, свойство инвариантности неопределенного интеграла и табличный интеграл

Решение. В числителе подынтегральной дроби выделим производную квадратного трехчлена знаменателя, а затем выполним тождественные преобразования в числителе дроби.

Для нахождения первого интеграла применим метод введения под знак

44

Для нахождения второго интеграла выделим полный квадрат в квадратном трехчлене

3 2x x2 :

3 2x x2 (x2 2x 3) ((x2 2x 1 1) 1 3) 4 (x 1)2 22 (x 1)2 ,

а затем – метод введения под знак дифференциала, свойство инвариантности неопределенного интеграла и табличный интеграл

45