4. Свойство линейности.

Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов от слагаемых функций; постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интегра-

ла, т. е. k1 f1 x k2 f2 x dx k1 f1 x dx k2 f2 x dx .

5. Свойство инвариантности (постоянства) формул интегрирования. Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от неё,

т. е. если f x dx F x С, то и f u du F u С,

то u x – любая дифференцируемая функция от x.

Доказательство

Из того, что f x dx F x С, следует F x f x .

Возьмём теперь функцию F u F x ; для её дифференциала в силу теоремы об инвариантности вида первого дифференциала функции

имеем: d F u F u du f u du .

Отсюда f u du d F u F u С .

§ 3. Таблица основных интегралов

9

Замечание. Таблица основных интегралов в силу свойства инвариантности формул интегрирования оказывается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой дифференцируемой функцией от неё.

Пример. Sin5xd5x Cos5x C .

10