38. Энергия колебаний. Средняя кинетическая и потенциальная энергия.

По определению кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью   равна

Потенциальная энергия равна

Полная энергия равна

 Квазиупругая сила является консервативной, поэтому полная энергия гармонического колебания остается постоянной. В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно. Колебания W_К и W_П происходят с частотой 2ω₀, т.е. в два раза превышающей частоту гармонических колебаний.

39. Гармонический осциллятор. Фазовая плоскость.

Гармонический осциллятор (в классической механике) — система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F, пропорциональной смещению x (согласно закону Гука):

где k — коэффициент жёсткости системы.

Если F — единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором. Свободные колебания такой системы представляют собой периодическое движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды.

Если имеется ещё и сила трения (затухание), пропорциональная скорости движения (вязкое трение), то такую систему называют затухающим или диссипативным осциллятором. Если трение не слишком велико, то система совершает почти периодическое движение — синусоидальные колебания с постоянной частотой и экспоненциально убывающей амплитудой. Частота свободных колебаний затухающего осциллятора оказывается несколько ниже, чем у аналогичного осциллятора без трения.

Если осциллятор предоставлен сам себе, то говорят, что он совершает свободные колебания. Если же присутствует внешняя сила (зависящая от времени), то говорят, что осциллятор испытывает вынужденные колебания.

Механическими примерами гармонического осциллятора являются математический маятник (с малыми углами отклонения), груз на пружине, торсионный маятник и акустические системы.

В качестве модели консервативного гармонического осциллятора возьмём груз массы m, закреплённый на пружине жёсткостью k.

Пусть x — смещение груза относительно положения равновесия. Тогда, согласно закону Гука, на него будет действовать возвращающая сила:

Используя второй закон Ньютона, запишем

Обозначая   и заменяя ускорение a на вторую производную от координаты по времени   напиши Это дифференциальное уравнение описывает поведение консервативного гармонического осциллятора. Коэффициент   называют циклической частотой осциллятора. (Здесь имеется в виду круговая частота, измеряющаяся в радианах в секунду. Чтобы перевести её в частоту, выражающуюся в Герцах, надо разделить круговую частоту на  )

Будем искать решение этого уравнения в виде: Здесь A — амплитуда, ω — частота колебаний (пока не обязательно равная собственной частоте), φ — начальная фаза.

Подставляем в дифференциальное уравнение.

Амплитуда сокращается. Значит, она может иметь любое значение (в том числе и нулевое — это означает, что груз покоится в положении равновесия). На синус также можно сократить, так как равенство должно выполняться в любой момент времени t. Таким образом, остаётся условие на частоту колебаний:

Отрицательную частоту можно отбросить, так как произвол в выборе этого знака покрывается произволом выбора начальной фазы.

Общее решение уравнения записывается в виде: где амплитуда A и начальная фаза φ — произвольные постоянные. Эта запись исчерпывает все решения дифференциального уравнения, так как позволяет удовлетворить любым начальным условиям (начальному положению груза и его начальной скорости).

Итого, консервативный гармонический осциллятор может совершать чисто гармонические колебания с частотой, равной его собственной частоте, с амплитудой любой величины и с произвольной начальной фазой.

Кинетическая энергия записывается в виде

и потенциальная энергия есть

тогда полная энергия имеет постоянное значение