- •Вопрос 30. Теорема Штейнера-Гюйгенса.
- •Вопрос 31. Момент сил, действующий на произвольную ось вращения.
- •Вопрос 32. Тензор инерции.
- •Вопрос 33. Колебания
- •34. Представление колебаний с помощью векторной диаграммы.
- •35. Сложение колебаний. Одномерный случай.
- •2. Два гармонических колебания x1 и x2 называются когерентными, если разность их фаз не зависит от времени:
- •4. Сложение сонаправленных колебаний с неравными, но близкими частотами.
- •36. Математический маятник.
- •37. Физический маятник.
- •38. Энергия колебаний. Средняя кинетическая и потенциальная энергия.
- •39. Гармонический осциллятор. Фазовая плоскость.
Вопрос 32. Тензор инерции.
Будем считать, что тело состоит из отдельных материальных точек с массами . Закрепим тело в точке . Пусть - радиус-векторы точек относительно точки , а - мгновенная угловая скорость тела, тогда скорость точки: . Момент импульса всего тела относительно точки :
. (10.106)
Рассмотрим проекции на оси координат: ;
; .(10.107)
Учитывая, что , (10.108)
имеем: ; ; . (10.109)
Здесь: ; ; . (10.110)
Очевидно, что ; ; и тд. Потому из 9 величин являются различными лишь 6. Величины , , - называются осевыми моментами инерции; а величины , , - центробежными моментами инерции. Таким образом, момент импульса весьма сложно зависит от распределения масс в теле и его направление, вообще говоря, не совпадает с направлением угловой скорости вращения тела. Поэтому в общем случае нельзя писать , а необходимо приводить уравнение для проекций на соответствующую ось (ось вращения). Совокупность величин называются тензором инерции. Величины называются диагональными элементами тензора, а остальные – недиагональными элементами. В данном случае элементы, расположенные симметрично относительно диагонали, равны. Такой тензор называется симметричным.
Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Те системы, по отношению к которым выполняется первый закон Ньютона, называются инерциальными системами отсчета.
Вопрос 33. Колебания
Процессы, повторяющиеся во времени называются колебаниями.
В зависимости от природы колебательного процесса и механизма возбуждения бывают: механические колебания (колебания маятников, струн, зданий, земной поверхности и т.д.); электромагнитные колебания (колебания переменного тока, колебания векторов и в электромагнитной волне и т.д.); электромеханические колебания (колебания мембраны телефона, диффузора громкоговорителя и др.); колебания ядер и молекул в результате теплового движения в атомах.
Рассмотрим отрезок [ОД] (радиус-вектор), совершающий вращательное движение вокруг точки 0. Длина |ОД| = A. Вращение происходит с постоянной угловой скоростью ω0. Тогда угол φ между радиус-вектором и осью x меняется со временем по закону
где φ0 - угол между [ОД] и осью х в момент времени t = 0. Проекция отрезка [ОД] на ось х в момент времени t = 0
а в произвольный момент времени
(1)
Таким образом, проекция отрезка [ОД] на ось х совершает колебания, происходящие вдоль оси х, и эти колебания описываются законом косинуса (формула (1)).
Колебания, которые описываются законом косинуса
или синуса
называется гармоническими.
Гармонические колебания являются периодическими, т.к. значение величины х (и у) повторяется через равные промежутки времени.
Промежуток времени, за который совершается одно полное колебание, называется периодом колебаний Т. Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний ν.
Промежуток времени, за который совершается одно полное колебание, называется периодом колебаний Т. Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний ν.
Свободными или собственными называются колебания, которые происходят в системе предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения равновесия или после того как ей был сообщен толчок.
Виды колебаний
Вынужденные — колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия. Примеры: листья на деревьях, поднятие и опускание руки. При вынужденных колебаниях может возникнуть явление резонанса: резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении собственной частоты осциллятора и частоты внешнего воздействия.
Свободные (или собственные) — это колебания в системе под действием внутренних сил после того, как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие). Простейшими примерами свободных колебаний являются колебания груза, прикреплённого к пружине, или груза, подвешенного на нити.
Автоколебания — колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии, расходующейся на совершение колебаний (пример такой системы — механические часы). Характерным отличием автоколебаний от вынужденных колебаний является то, что их амплитуда определяется свойствами самой системы, а не начальными условиями.
Параметрические — колебания, возникающие при изменении какого-либо параметра колебательной системы в результате внешнего воздействия.
Случайные — колебания, при которых внешняя или параметрическая нагрузка является случайным процессом.