36. Математический маятник.

Математический маятник – массивное маленькое тело, подвешенное на длинной нерастяжимой нити.

Математический маятник - материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, и совершавшая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Материальная точка - тело, масса которого сосредоточена в центре масс и размерами которого в условиях данной задачи, можно п ренебречь.

Математический маятник при колебаниях совершает движение по дуге окружности радиуса  . Его движение подчиняется законам вращательного движения.

Основное уравнение вращательного цветения запишется в виде

                                             (1)

М – момент сил, I – момент инерции, ε – угловое ускорение.

Равнодействующая сил   и  равна  .

Из треугольника АВС

т.е.

таким образом, колебания математического маятника происходят под действием квазиупругой силы - силы тяжести.

Тогда (1) запишется в виде

                                  (2)

Знак минус учитывает, что векторы   и  имеют противоположные направления (угол поворота можно рассматривать, как псевдовектор углового смещения  , направление вектора   определяется по правилу правого винта, из-за знака минус   направлен в противоположную сторону).

 Сократив в (2) на m и   получим

При малых углах колебаний  α = 5 ÷6° , , получим

Ввода обозначения 

получим дифференциальное уравнение колебаний математического маятника

Его решение:

- уравнение математического маятника.

из которого видно, что угол α изменяется по закону косинуса.  α₀ -  амплитуда, ω₀ - циклическая частота, φ₀ - начальная фаза.

37. Физический маятник.

Физический маятник – твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, не проходящей через его центр масс.

Точка пересечения ее А с вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс маятника, называется точкой подвеса маятника. Положение тела в каждый момент времени можно характеризовать

углом отклонения его из положения равновесия ср. Угол <р играет

роль обобщенной координаты q. Кинетическая энергия качающегося

физического маятника определяется выражением

где I — момент инерции маятника относительно оси А. Потенциальная энергия равна Епот = mgh, где h — высота поднятия. центра масс С над его самым нижним положением.

Обозначим а расстояние между центром масс С и точкой подвеса А. Тогда

В случае малых колебаний синус угла можно приближенно

заменить самим углом. В этом приближении

Таким образом, для малых колебаний потенциальная и кинетическая энергии приводятся к виду D0.8), причем . Отсюда следует, что малые колебания физического маятника

будут приблизительно гармоническими с циклической частотой

и периодом

Если период колебаний не зависит от амплитуды, то такие колебания называются

изохронными. Мы видим, что малые колебания физического маятника изохронны. Колебания приближенно изохронны, когда угловая амплитуда колебаний не превышает нескольких градусов. При

больших амплитудах изохронность нарушается. На свойстве изохронности колебаний маятника основано его применение в часах.

Частным случаем физического маятника является математический маятник. Так называется маятник, вся масса которого практически сосредоточена в одной точке — в центре масс маятника С.

Примером математического маятника может служить шарик, подвешенный на длинной нити. В случае математического маятника

длина маятника, и формула переходит в

Физический маятник колеблется так же, как математический маятник с длиной

которая называется приведенной длиной физического маятника.

Мы доказали это утверждение только для малых колебаний маятников. Но оно справедливо и для колебаний с конечными амплитудами, когда колебания не изохронны. Требуется только, чтобы угловые амплитуды физического и математического маятников были одинаковы.

2. Отложим от точки подвеса А вдоль прямой АС отрезок АА', длина которого равна приведенной длине физического маятника (см. рис. 85). Точка А' называется центром качания. Центр качания можно определить как математическую точку, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы период его колебаний остался без изменений. По теореме Гюйгенса — Штейнера — момент инерции маятника относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С. Подставив это выражение в формулу , придадим ей вид

Отсюда следует, во-первых, что , т. е. точка подвеса А и центр качания А' лежат по разные стороны от центра масс С и, во-вторых, что всем точкам подвеса, одинаково удаленным от центра масс маятника, соответствует одна и та же приведенная длина , а следовательно, один и тот же период колебаний Т. Точка подвеса и центр качания являются взаимными или сопряженными точками в следующем смысле. Если маятник подвесить за центр качания А', то его период не изменится и прежняя точка подвеса А сделается новым центром качания. Это положение называется теоремой Гюйгенса. Для ее доказательства обозначим а' длину отрезка А'С и допустим, что маятник подвешен за точку А'. Тогда его приведенная длина будет

Но а' = — а, или в силу соотношения 41.5 . Подставив это значение в предыдущую формулу, получим . Таким образом, , т. е. приведенная длина, а с ней и период колебаний физического маятника остались без изменения. Это и доказывает теорему Гюйгенса.

Физический маятник - твердое тело, колеблющееся под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести тела, называемой осью качания маятника.

О сновное уравнение – вращательного движения для физического маятника запишется в виде

При малых углах колебаний   и уравнение движения имеет вид

Тогда положив

получим

- дифференциальное уравнение физического маятника.

- период колебаний физического маятника

Приравняв Т_физ = Т_мат:

следовательно, математический маятник с длиной

имеет такой же период колебаний, как и данный физический маятник.   - приведенная длина физического маятника -  это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.