Вопрос 30. Теорема Штейнера-Гюйгенса.

Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера : момент инерции   тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела   относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела   на квадрат расстояния   между осями:

где  - известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,  — искомый момент инерции относительно параллельной оси,  - масса тела,  — расстояние между указанными осями

Вывод

Момент инерции, по определению:

Радиус-вектор   можно расписать как сумму двух векторов:

,где   — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

Вынося за сумму  , получим:

Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен нулю:

Тогда:

Откуда и следует искомая формула:

,где   — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Вопрос 31. Момент сил, действующий на произвольную ось вращения.

Момент силы  — векторная физическая величина, равная векторному произведениюрадиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело. Измеряется в Н·м

Момент силы — производная по времени от момента импульса,

 ,где   — момент импульса. Момент импульса твердого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости.

 ,То есть, если I постоянная, то  ,где   — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду.

Свободной осью вращения называют такую ось вращения тела, поло­жение которой в пространстве сохраняется в отсутствие воздей­ствия на нее каких-либо внешних сил.

Свободная ось должна обязательно проходить через центр масс тела, так как в противном случае со стороны подшипни­ков должны действовать силы, заставляющие центр масс (как материальную точку массой т) двигаться по окружности.

Опыт и теория показывают, что для любого тела существуют три взаимно перпендикулярные свободные оси, пересекающиеся в центре масс. Эти оси обладают следующим свойством: момент инерции тела относительно одной из них максимален, относи­тельно второй — минимален, а относительно третьей он имеет промежуточное значение.

Три взаимно перпендикулярные оси, обладающие этим свой­ством, называют главными осями инерции. (Свободные оси сов­падают с ними.) Моменты инерции тела относительно этих осей называют главными моментами инерции.

Теория показывает, что устойчивое вращение тело получает около таких свободных осей, относительно которых момент инерции максимален или минимален. Вращение около свобод­ной оси, относительно которой момент инерции тела имеет про­межуточное значение, неустойчиво. При малейшем случайном отклонении оси вращения возникают силы, которые увеличи­вают возникшее отклонение.

Если на вращающееся тело действуют какие-либо внешние силы, то устойчивым вращение будет только относительно оси, имеющей наибольший момент инерции. Это можно показать на следующих опытах.

Опыт со стержнем. К вертикально расположенной оси элек­тродвигателя прикреплен на нити металлический цилиндр. После включения двигателя цилиндр начнет вра­щаться около свободной оси с наименьшим моментом инерции. Затем наблюдатель увидит, как цилиндр, вращаясь, закачается. «Качка» со временем все увеличивается, пока цилиндр не при­мет горизонтальное положение . В горизонтальном положении цилиндр вращается устойчиво, без качки. Ось вра­щения при этом проходит через центр масс перпендикулярно к цилиндру и является, таким образом, свободной осью, отно­сительно которой момент инерции имеет наибольшее значение. При вращении цилиндра около этой оси нить уравновешивает силу тяжести и сообщает ему небольшой вращательный момент, уравновешивающий момент сил сопротивления воздуха.

Опыт с цепочкой. К оси двигателя вместо стержня подвесим замкнутую цепочку . Вскоре после начала враще­ния цепочка «расправится» и примет вид кольца, расположен­ного в горизонтальной плоскости. Именно этой форме соответствует наибольший момент инерции цепочки отно­сительно вертикальной оси.

Главные оси инерции три взаимно перпендикулярные оси, проведённые через к.-л. точку тела и обладающие тем св-вом, что если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей будут равны нулю. Если тв. тело, закреплённое в одной точке, приведено во вращение вокруг оси, к-рая в данной точке явл. главной О. и., то тело при отсутствии внеш. сил будет продолжать вращаться вокруг этой оси, как вокруг неподвижной.