Б илет 25. Законы сохранения и симметрия пространства и времени

Вопрос 26. Движение абсолютно твердого тела

Следующей после матеpиальной точки абстpакцией, котоpая используется в механике, является понятие абсолютно твеpдого тела. Абсолютно твеpдым телом называется тело, дефоpмациями котоpого по условиям задачи можно пpенебpечь. У абсолютно твеpдого тела расстояние между любыми его точками с течением вpемени не меняется.

1. Поступательным движением абсолютно твеpдого тела называется такое движение, пpи котоpом любая пpямая, жестко связанная с телом, пеpемещается паpаллельно самой себе. Пpимеpом такого движения может служить движение велосипедной педали пpи движении велосипедиста. Пpи поступательном движении все точки тела движутся совеpшенно одинаково: у них одинаковые, но смещенные относительно дpуг дpуга тpаектоpии, одинаковые в любой момент вpемени скоpости, одинаковые ускоpения. Если так, то поступательное движение абсолютно твеpдого тела эквивалентно движению одной точки и кинематика поступательного движения сводится к кинематике точки.

2. Движение абсолютно твердого тела, при котором две его точки А и B остаются неподвижными, называется вращением (вращательным движением) вокруг неподвижной прямой АВ, называемой осью вращения. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси все его точки описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения, а плоскости - перпендикулярны к ней. Тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, обладает одной степенью свободы: его положение полностью определяется заданием угла f поворота из некоторого начального положения. 3. Угловой скоростью вращения твердого тела называется вектор w, численно равный первой производной от угла поворота по времени, и направленный вдоль оси вращения таким образом, чтобы из его конца вращение тела было видно происходящим против часовой стрелки. Направление вектора w совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого вращается вместе с телом.

4. Линейная скорость v произвольной точки М вращающегося тела определяется как векторное произведение по формуле Эйлера v = [wr] где r - радиус-вектор, проведенный в точку М из произвольной точки О оси вращения тела. Численное значение v линейной скорости точки М прямо пропорционально ее расстоянию R от оси вращения: v = wr sina = wR где a - угол между векторами w и r. 5. Периодом обращения Т тела называется время, в течение которого тело поворачивается вокруг неподвижной оси вращения на угол f = 2p. 6. Угловым ускорением называется вектор e, равный первой производной от вектора угловой скорости по времени: Угловое ускорение характеризует быстроту изменения во времени вектора угловой скорости тела. При вращении вокруг неподвижной оси направление вектора w сохраняется и причем вектор e совпадает но направлению с w в случае ускоренного вращения (e > 0) и противоположен ему по направлению в случае замедленного вращения Линейное ускорение произвольной точки вращающегося тела равно

МГНОВЕННАЯ ОСЬ ВРАЩЕНИЯ- прямая, неподвижная в данный момент в нек-рой инерциальной системе отсчёта, относительно к-рой сложное движение твёрдого тела в этот момент можно представить как вращат. вокруг этой прямой. М. о. в. может лежать как внутри тела, так и вне его. С течением времени положение М. о. в. изменяется относительно как неподвижной системы отсчёта, так и системы отсчёта, движущейся вместе с телом.(пример- гироскоп) Абсолютный характер угловой скорости

уравнения( часть в п.1) Пpи вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси все точки тела движутся по окружностям с центрами, расположенными на оси вpащения. Линейные величины для точек вращающегося твёрдого тела связаны с угловыми, т.к. во все формулы этих соотношений будет входить радиус вращения точки.         Справедливы следующие соотношения: Между движением твёрдого тела вокруг неподвижной оси и движением отдельной материальной точки (или поступательным движением тела) существует тесная и далеко идущая аналогия. Пpи решении задач полезно пользоваться этой аналогией. Каждой линейной величине из кинематики точки соответствует подобная величина из кинематики вращения твёрдого тела. Координате s соответствует угол , линейной скорости v - угловая скорость,   линейному (касательному) ускорению а - угловое ускорение .         Приведём пример того, как можно пользоваться аналогией между поступательным и вращательным движениями. Известно, что равноускоренное движение описывается формулами:

По аналогии можно записать соответствующие формулы для равноускоренного вращения твёрдого тела:

Вопрос 27. Плоское движение — это движение твердого тела, представленное как наложение двух основных видов движения: поступательного и вращательного. При этом все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях ( ПРИМЕР: качение цилиндра по плоскости). При качении цилиндра его движение можно разложить на поступательное и вращательное полное перемещение какой либо точки тела можно представить как:

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от оси вращения. Единица измерения: кг·м².

Где  — масса малого элемента объёма тела  ,  — плотность,  — расстояние от элемента   до оси a.

Вопрос 28. Моменты инерции цилиндра, шара, стержня и других объектов.

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы  

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобьём тонкостенный цилиндр на элементы с массой   и моментами инерции  . Тогда

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы  

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом  , внутренним радиусом  , толщиной   и плотностью . Разобьём его на тонкие кольца толщиной  . Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

Поскольку объём и масса кольца равны

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Вывод формулы  

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (  = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

Сплошной однородный шар

Вывод формулы  

Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте hот центра сферы, найдём по формуле

Масса и момент инерции такого диска составят

Момент инерции шара найдём интегрированием:

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Вывод формулы  

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Интегрируя, получим

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Вывод формулы  

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l/2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен