Билет 20. Уравнение движения тела переменной массы

      Получим уравнение движения тела переменной массы (например, движение ракеты сопровождается уменьшением ее массы за счет истечения газов, образующихся от сгорания топлива).       Пусть в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v; тогда по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m–dm, а скорость увеличится до величины v+dv. Изменение импульса системы за время dt будет равно: где u - скорость истечения газов относительно ракеты. Раскрывая скобки в этом выражении, получим: Если на систему действуют внешние силы, то   или  . Тогда  , или (2.12), где член   называют реактивной силой  . Если вектор  , то ракета ускоряется, , то тормозится. Таким образом, уравнение движения тела переменной массы имеет следующий вид:  (2.13)называется уравнением И.В. Мещерского.       Применим уравнение (2.12) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Тогда, полагая F = 0 и считая, что ракета движется прямолинейно (скорость истечения газов постоянна), получим: ⟹ или где   – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент времени  , а стартовая масса ракеты составляет  , то  . Следовательно, (2.14) формулой К.Э. Циолковского. Из выражения (2.14) следуют следующие практические выводы:       а) чем больше конечная масса ракеты  , тем больше должна быть стартовая масса m₀;       б) чем больше скорость истечения газов  , тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.       Уравнения Мещерского и Циолковского справедливы для случаев, когда скорости v и u намного меньше скорости света  .

Реактивное движение. В настоящем параграфе говорится о медленном движении тел, масса которых меняется за счет потери или приобретения вещества. Уравнения движения тел с переменной массой являются следствиями законов Ньютона. Тем не менее, они представляют большой интерес, главным образом, в связи с ракетной техникой.

Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты.

Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой, в свою очередь, действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться во времени. На этом положении и основана теория движения ракет.

Несложные преобразования закона изменения импульса приводят к уравнению Мещерского:

Здесь m – текущая масса ракеты, – ежесекундный расход массы,  – скорость газовой струи (т.е. скорость истечения газов относительно ракеты),   – внешние силы, действующие на ракету. По форме это уравнение напоминает второй закон Ньютона, однако, масса тела m здесь меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе   добавляется дополнительный член   , который может быть истолкован как реактивная сила. Применив уравнение Мещерского к движению ракеты, на которую не действуют внешние силы, и проинтегрировав уравнение, получим формулу Циолковского:

Релятивистское обобщение этой формулы имеет вид 

где c – скорость света. При малых скоростях v оно переходит в формулу Циолковского.

Билет 21. Момент импульса частицы, системы частиц. Момент внутренних, внешних сил.

Механическая система. Силы внешние и внутренние.

 Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой точки (или тела) зависит от положения и движения всех остальных.

Материальное абсолютно твердое тело мы также будем рассматривать как систему материальных точек, образующих это тело и связанных между собой так, что расстояния между ними не изменяются, все время остаются постоянными.

Классическим примером механической системы является солнечная система, в которой все тела связаны силами взаимного притяжения. Другим примером механической системы может служить любая машина или механизм, в которых все тела связаны шарнирами, стержнями, тросами, ремнями и т.п. (т.е. различными геометрическими связями). В этом случае на тела системы действуют силы взаимного давления или натяжения, передаваемые через связи.

Совокупность тел, между которыми нет никаких сил взаимодействия (например, группа летящих в воздухе самолетов), механическую систему не образует.

В соответствии со сказанным, силы, действующие на точки или тела системы, можно разделить на внешние и внутренние.

Внешними называются силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел, не входящих в состав данной системы.

Внутренними называются силы, действующие на точки системы со стороны других точек или тел этой же системы. Будем обозначать внешние силы символом -  , а внутренние -  .

Как внешние, так и внутренние силы могут быть в свою очередь или активными, или реакциями связей.

Реакции связей или просто – реакции, это силы которые ограничивают движение точек системы (их координаты, скорость и др.). В статике это были силы заменяющие связи. В динамике для них вводится более общее определение.

Активными или задаваемыми силами называются все остальные силы, все кроме реакций.

Необходимость этой классификации сил выяснится в следующих главах.

Разделение сил на внешние и внутренние является условным и зависит от того, движение какой системы тел мы рассматриваем. Например, если рассматривать движение всей солнечной системы в целом, то сила притяжения Земли к Солнцу будет внутренней; при изучении же движения Земли по её орбите вокруг Солнца та же сила будет рассматриваться как внешняя.

Внутренние силы обладают следующими свойствами:

1. Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равняется нулю. В самом деле, по третьему закону динамики любые две точки системы (рис.31) действуют друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными силами   и  , сумма которых равна нулю. Так как аналогичный результат имеет место для любой пары точек системы, то

2. Сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил системы относительно любого центра или оси равняется нулю. Действительно, если взять произвольный центр О, то из рис.18 видно, что  . Аналогичный результат получится при вычислении моментов относительно оси. Следовательно, и для всей системы будет:

 или  .

Из доказанных свойств не следует однако, что внутренние силы взаимно уравновешиваются и не влияют на движение системы, так как эти силы приложены к разным материальным точкам или телам и могут вызывать взаимные перемещения этих точек или тел. Уравновешенными внутренние силы будут тогда, когда рассматриваемая система представляет собою абсолютно твердое тело. Пусть частица движется по некоторой траектории и в данный момент времени ее радиус-вектор равен , а импульс  . Кроме импульса, существует еще одна векторная характеристика движения (динамическая переменная) -- момент импульса. Моментом импульса частицы относительно точки (центра) О называется векторное произведение радиус-вектора на импульс частицы: . Согласно определению,   и  , а его направление определяется по правилу правого винта. Заметим, что величина   зависит от выбора точки О; вообще говоря, ее можно выбрать где угодно, но обычно выбирают на оси вращения (если таковая имеется в наличии).