2.2. Передаточные функции и частотные характеристики типовых звеньев

В теории автоматического управления кроме дифференциальных уравнений широко используются передаточные функции, временные и частотные характеристики. Последние отличаются наглядностью и возможностью экспериментального определения.

Передаточной функцией звена (третья форма записи дифференциальных уравнений) по какому-либо внешнему воздействию называется отношение преобразования Лапласа выходной величины звена к преобразованию Лапласа рассматриваемого внешнего воздействия. При этом все другие воздействия полагаются равными нулю.

Следовательно, для звена с одной выходной величиной число передаточных функций равно числу внешних воздействий:

 - по входной величине (задающему воздействию);

 - по возмущению (возмущений может быть несколько).

В этих выражениях р - комплексная переменная. Изображение приведенных функций по Лапласу

Для того чтобы понять эти записи, приведем некоторые; сведения из операционного исчисления.

В основу операционного исчисления может быть положен метод, примененный О. Хевисайдом к решению задач электротехники, когда рассматривается любая вещественная или комплексная функция f(t) действительного переменного t, которая при t < 0 равна нулю, а при t > 0 возрастает не быстрее показательной функции  .

С помощью этой функции f(t) и измененного интеграла Лапласа можно всегда сконструировать функцию F(р), где   - комплексное число.

Функция f(t) называется оригиналом, а F(р) - изображением по Карсону или Хевисайду.

В теории автоматического управления чаще применяют изображение по Лапласу

.

Оригинал и изображение связываются обозначением

Иногда используется другая символическая запись:   .

Практическая ценность операционного исчисления состоит в том, что дифференцированию и интегрированию оригиналов соответствуют простейшие операции умножения и деления их изображений на р.

Изображение функции F(р) по Лапласу соответствует преобразованию   по Карсону.

При нахождении изображения всегда предполагается:

1) функция f(t) определена и кусочно-дифференцируема на всей положительной числовой полуоси [0;∞];

2) функция F(t) = 0 при t < 0 и существуют такие положительные числа М и с, что f(t) £ Меct при 0 < t < ∞.

Если известна функция F(р), то соответствующий ей оригинал определяется формулой

Обратное преобразование иногда записывают в символической форме

где L-1 - обратный оператор Лапласа.

В ряде случаев при исследовании САУ используются и преобразования Фурье.

Изображение по Фурье

.

Оригинал

Однако передаточная функция может быть легко получена из записи дифференциального уравнения в символической форме, для чего формально надо разделить многочлен (множитель) символической формы записи правой части на многочлен символической формы записи левой части.

Для уравнения

 - по входной величине;

 - по возмущению.

В этом случае символ р заменяется на комплексную переменную р.

Многочлен, фигурирующий в знаменателе передаточной функции звена, называется характеристическим полиномом этого звена, а уравнение G(p)=0 - характеристическим уравнением звена.

Для звена, описываемого дифференциальным уравнением n-го порядка, характеристическое уравнение представляет собой алгебраическое уравнение n-й степени и имеет n корней, среди которых могут быть как вещественные, так и комплексные сопряженные. Корни многочлена, стоящего в числителе передаточной функции, называются нулями этой передаточной функции, а корни многочлена, стоящего в знаменателе передаточной функции, называются полюсами.

Частотные характеристики отражают зависимости амплитуды и фазы от частоты синусоидальных колебаний при прохождении этих колебаний через звено или систему.

Если на вход элементарного звена действует сигнал х=аSinwt, то на его выходе устанавливаются синусоидальные колебания, но с другой амплитудой и сдвинутые по фазе на угол j: у=bSin(wt-j).

Частотные характеристики подразделяются на амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики.

Амплитудно-частотная характеристика отражает зависимость отношения амплитуды колебаний на выходе к амплитуде колебаний на входе элемента или системы от частоты приложенного входного воздействия:

Фазо-частотной характеристикой называют зависимость разности фаз между входными и выходными колебаниями от частоты приложенного входного воздействия:

В теории автоматического регулирования используется совмещенная амплитудно-фазо-частотная характеристика (АФЧХ), которая выражает соотношение между амплитудами выходного и входного колебаний и сдвигом фаз в зависимости от частоты. В общем случае амплитудно-фазо-частотная характеристика состоит из вещественной R(w) и мнимой jJ(w) частей частотной характеристики:

,

где   - модуль функции W(jw);

 - фаза или аргумент функции W(jw).

На плоскости комплексного переменного амплитудно-фазо-частотная характеристика изображается кривой, которая называется годографом вектора W(jw) при изменении w от -¥ до +¥.

Для облегчения расчетов и лучшей наглядности целесообразно строить логарифмические частотные характеристики, которые отличаются от частотных характеристик только масштабом. По оси абсцисс вместо величины w откладывают величину lgw в логарифмических единицах (декадах или октавах), а по оси ординат – вместо величины b/a откладывают величину 20lg b/a, единица измерения которой называется децибелом (дБ).