892

Рис. 5.38. Дифференциальная функция распределения

Наряду с законами распределения случайные величины, как известно, оценивают так называемыми числовыми характеристиками, среди кото-

рых используют математическое ожидание, дисперсию, начальные m центральные μ моменты, в частности:

где x x mx – центрированное значение случайной величины х.

Математическое ожидание mx является мерой положения случайной величины на числовой оси. Это то среднее значение х, к которому она приближается, если число измерений стремится к бесконечности.

Кроме важнейшей из характеристик положения – математического ожидания – на практике иногда применяются и другие характеристики положения, в частности, мода и медиана случайной величины.

Модой является то значение непрерывной случайной величины, в котором плотность вероятности максимальна. (Для прерывных, дискретных модой называют наиболее вероятное значение).

Если распределение имеет более одного максимума, то оно называется полимодальным, а в случае, когда экстремум функции определяет не максимальное, а минимальное значение – антимодальным.

Медианой случайной величины Х называется такое ее значение Ме, для которого

P( X Me ) P( X Me ) ,

т.е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Ме. Для непрерывных случайных величин медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.

Дисперсия является мерой рассеяния значений случайной величины относительно математического ожидания. Чем больше дисперсия, тем большими могут быть отклонения от mx до х.

Поскольку количество измерений на практике всегда ограничено, то приходится вместо математического ожидания и «теоретической» диспер-

Разумеется, чем больше число измерений, тем больше оценки приближаются к соответствующим теоретическим значениям.

131

При использовании дисперсии в качестве меры рассеяния следует иметь ввиду, что ее размерность равна квадрату размерности изучаемой величины, поэтому в ряде случаев более удобной характеристикой рассеяния считают среднее квадратическое отклонение:

Иногда в качестве числовых характеристик используют асимметрию и эксцесс распределения.

Коэффициент асимметрии, например, равен:

Sx 3 (x) ,

x3

и эксцесс, являющийся мерой заостренности кривой f(x), вычисляется по формуле:

Ex 4 (x) 3 .x4

С помощью коэффициентов асимметрии и эксцесса изучаемые распределения можно сравнить с наиболее распространенными и хорошо исследованными.

В настоящее время известно и широко используется большое количество законов распределения случайных величин.

Часто их разделяют на две группы:

-теоретические (стандартные);

-выборочные (эмпирические).

К разработке основ теории вероятностей и построению теоретических распределений на основе доказательств закона больших чисел и центральной предельной теоремы для непрерывных и целочисленных случайных величин относятся труды многих выдающихся ученых, начиная с Д.Кардана, Б.Паскаля, П.Ферма, Х.Гюйгенса, Я.Бернулли, до таких корифеев, как П.Лаплас, К.Гаусс, С.Пуассон, Р.Фишер, Н.Винер и наших соотечественников А.Маркова, П.Чебышева, А.Ляпунова, А.Колмогорова и др., вклад которых оказался настолько значительным, что теорию вероятностей за рубежом стали называть русской наукой.

Согласно центральной предельной теореме случайная величина, представляющая собой сумму большого числа независимых случайных величин, максимальная из которых мала по сравнению со всей суммой, имеет нормальное распределение. Термин «нормальное распределение» ввел К.Пирсон. Более старые наименования – Гаусса-«закон», Гаусса-Лапласа-

«распределение».

Кстати, классическим примером возникновения нормального распределения как точного принадлежит К.Гауссу при исследовании им закона распределения ошибок наблюдений.

132

Функция нормального распределения выражается формулой:

C уменьшением кривая плотности становится все более островершинной. Изменение mx при постоянном не меняет формы кривой, а вызывает лишь ее смещения по оси абсцисс. С вероятностью менее 0,003 все значения случайных величин с этим законом укладываются в интервал

±3 – т.н. правило трех сигм.

Коэффициент асимметрии и эксцесс нормального распределения равны нулю.

Исторически первой теоремой, простейшей формой закона больших чисел было исследование схемы независимых испытаний Я. Бернулли, приведшее к обоснованию биноминального и пуассоновского распределений.

Биноминальное распределение определяет вероятность события А, которое в n испытаниях появится ровно m раз, выражается формулой:

где Р – вероятность появления события А; q = 1 - P;

Cnm – бином Ньютона.

Распределение Пуассона. Говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение m, выражается формулой:

где а – некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона (математическое ожидание, mx).

Природа Пуассоновского распределения как точного распределения вероятностей наиболее полно раскрыта в теории случайных или стохастических процессов.

В рамках этой теории (пуассоновские, марковские, ветвящиеся про-

цессы и др.) разработана большая группа теоретических распределений, а также методология их обоснования. Оперируя такими понятиями, как события, их вероятности, случайные величины, их законы распределения и числовые характеристики, теория вероятностей дает возможность теоретическим путем определять вероятности одних событий через вероятности других, законы распределения и числовые характеристики других. Такая

133

методология успешно освоена в новых и своеобразных методах прикладной теории вероятностей, появление которых связано со спецификой исследуемых технических проблем. Речь идет, в частности, о таких дисциплинах,

как теория информации, теория массового обслуживания, статистическая механика, статистическая физика и др.

Интересен и тот факт, что работы в области теории вероятностей имели большое мировоззренческое значение. В свое время Б.Наполеон своеобразно отозвался о книге П.Лапласа: «Ньютон в своей книге говорил о Боге. В вашей же книге, которую я уже просмотрел, я не встретил имени Бога ни разу». Лаплас якобы ответил: «Гражданин Первый консул, в этой гипотезе я не нуждался».

Эта тенденция оказалась продолженной замечательным русским ученым А.А. Марковым, который обратился в русский православный Синод с просьбой об отречении его от церкви.

Обоснование схемы очистки семян сельскохозяйственных культур

Одной из первых вероятностных моделей организации технологических процессов в механизации сельскохозяйственного производства стало составление схемы очистки семян в работах М.Н. Летошнева [39]. Прежде всего в его трудах была показана непротиворечивость гипотезы о том, что размеры семян (впрочем, как и другие физико-механические свойства)

имеют нормальное распределение.

В качестве примера сопоставимости фактических значений случайной величины с расчетными, определяемыми по нормальному закону распределения, приведены результаты измерений длины пятисот семян ржи Вятка и теоретический ряд, построенный по уравнению (5.72) [39].

Таблица 5.7

Распределение размеров семян ржи Вятка, среднее значение 7,86 мм, среднеквадратическое отклонение 0,717 мм

Числовые характеристики физико-механических свойств семян многих культурных растений и сорняков приводятся в многочисленных литературных источниках по очистке и сортированию семян. Это дает возможность построения вариационных кривых свойств основной культуры и сопутствующих примесей, что позволяет обоснованно подойти к выбору принципа разделения смеси, размеров рабочих элементов.

Для составления схемы (или последовательности) очистки семян необходимо, прежде всего, определить рабочие признаки, по которым воз-

134

можно разделение смеси и размер рабочих элементов, способных отделить один компонент от другого. Часто предлагается несколько способов разделения смеси. В этом случае предпочтение отдают тому, при котором разделение компонентов произойдет с большей скоростью (производительностью). Так, разделение смеси по толщине производится решетами с продолговатыми отверстиями, а они обеспечивают более высокую производительность, чем, скажем, решета с круглыми отверстиями, и тем более триер, ячейки которого ведут поштучный отбор семян. Поэтому, если возможно разделение и по толщине, и по ширине, и по длине, то предпочтение необходимо отдать первому варианту.

Но чтобы получить наглядное представление о возможностях разделения по тому или иному признаку, прежде всего, необходимо построить вариационные кривые всех компонентов смеси. Взаимное расположение вариационных кривых основной культуры и засорителей может показать вероятную степень разделения и позволяет определить размеры рабочего элемента для отделения сорняков.

Если, например, вариационные кривые, построенные для толщины семян, не перекрываются (рис. 5.39а), то отделить крупные примеси можно решетами с размером продолговатых отверстий от 4 до 4,5 мм, а мелкие – от 2 до 2,5 мм.

При частичном перекрытии вариационных кривых (рис. 5.39б) полное отделение примесей возможно лишь при условии отхода части семян основной культуры с примесями.

Рабочие размеры решет в этом случае подбирают так, чтобы обеспечить требуемую чистоту семян и не допустить больших потерь зерна. Когда вариационные кривые полностью перекрываются (рис. 5.39в), то отделение примесей по данному признаку невозможно, и следует перейти к построению кривых по другому физико-механическому свойству.

Для построения вариационных кривых используется уравнение (5.72), в которое нужно подставить числовые характеристики (хср и ζ) для каждого компонента смеси. Числовые характеристики могут быть определены экспериментальным путем, но чаще их берут из литературных источников. Для поиска значений числовых характеристик успешно может быть использована база данных ЭВМ.

После построения вариационных кривых можно перейти к выбору верхнего (хв) и нижнего (хн) значений рабочего элемента, разделяющего смесь (рис. 5.40). Два значения (хв и хн) выбирают потому, что примеси (крупные и мелкие) оказываются обычно и по левую, и по правую сторону от основной культуры. Но если даже вариационных кривых сорных примесей с какой-либо стороны от основной культуры не окажется, то, тем не менее, оба рабочих органа с элементами хв и хн будут нужны. Дело в том, что в состав смеси обычно входят частицы постороннего сора (комки почвы, головки сорняков, обмолоченные колоски и т.п.). Построить вариационную кривую для них невозможно, но отделять необходимо. Для этой цели, в частности, часто используются решета А, Б и Б2 (рис. 5.41), которые подбирают так, чтобы почти все зерна основной культуры проходили через

135

их отверстия. Тогда все частицы крупнее хв будут отделены от основной культуры.

Верхние и нижние значения рабочего элемента стремятся выбрать так, чтобы лучше освободить смесь от примесей и меньшее количество семян основной культуры направить в отходы (вместе с примесями). Разумеется, до окончательных результатов, к которым приведет выбор хв и хн, нельзя быть уверенным в том, что определение произведено правильно. Если очистка семян окажется неудовлетворительной (либо по засоренности, либо по уровню потерь зерна), то необходимо изменить выбранные значения хв и хн так, чтобы устранить обнаруженные недостатки. После выбора хв и хн по всем предполагаемым признакам разделения смеси можно приступать к расчету результатов очистки семян.

а

б

в

Рис. 5.39. Характерные соотношения между размерами семян основной культуры и примесей: а – вариационные кривые не пересекаются; б – частичное пересечение вариационных кривых; в – полное пересечение кривых

136

Za, Zв и т.д. найти массу отдельных засорителей в конечном продукте, а затем, учитывая массу 1000 зерен каждого вида семян, и их число, например:

где Nв – число семян компонента В в 1 кг конечного продукта; δв – масса 1000 зерен компонента В.

После расчета вероятных значений Nj для всех компонентов появляется возможность определения общего количества посторонних семян N0 в конечном продукте:

j 1

где m – число компонентов, засоряющих конечный продукт. Большое хозяйственное значение имеет такой показатель, как выход

конечного продукта (в процентах от обрабатываемого по предложенной схеме вороха):

Если результаты расчетов удовлетворяют требованиям, предъявляемым к семенам той или иной культуры, и выход конечного продукта приемлем, то с предложенной схемой очистки можно согласиться, а если нет, то следует изменить значения хв и хн по тому или иному признаку разделения или ввести рабочие органы для отделения от того сорняка, который не отделится по анализируемой схеме.

Практическое использование данной модели процесса очистки семян было затруднено в связи с трудоемкостью «ручного» построения большого количества вариационных кривых. На кафедре сельскохозяйственных машин Пермской ГСХА разработана компьютерная программа, с помощью которой реализация данной модели не представляет труда. В компьютер можно ввести состав исходной смеси и числовые характеристики компонентов. Если они не известны, то можно воспользоваться обширной базой данных, сформированной заранее.

В качестве примера приведена схема очистки семян ржи от сопутствующих сорняков – вьюнка, гречихи, костера и василька.

Можно обратить внимание на последовательное снижение количества семян сорняков в конечном продукте с отделением сорняков по тому или иному признаку (рис. 5.42…5.46).

На экранах компьютера представлены вариационные кривые, числовые характеристики семян, результаты расчетов очистки после выбора разделительных параметров хв и хн.

Если результаты расчетов не удовлетворяют агротехническим требованиям или хозяйственным условиям (например, может оказаться недостаток или избыток семян, необходимость изменения в объемах фуражной фракции и т.д.), то возможно изменение значений xв и xн по любому признаку разделения смеси и повторение вычислений.

139