892

где у = ∆ψ; х = f(t).

В преобразованиях Лапласа уравнение может быть представлено как

Т12 P2 Y (P) T2 P Y (P) Y (P) kX(P) .

Передаточная функция этого динамического звена будет равна:

Свойства динамического звена могут в этом случае быть представлены в виде схемы:

Рис.5.25. Схема функционирования динамического звена в комплексной области (P = α + i ω)

Свойства передаточной функции

Передаточные функции обладают рядом свойств, позволяющих существенно облегчить анализ сложных динамических систем.

Если система состоит из отдельных узлов и элементов с различными связями, то при определении передаточной функции всей системы возникает необходимость преобразования многозвенной системы с целью ее упрощения или замены одним сложным звеном. Такие преобразования выполняют обычно с помощью структурных схем.

Структурная схема динамической системы представляет собой графическое изображение системы в виде совокупности динамических звеньев с обозначением их передаточных функций и изображений входных и выходных переменных (рис. 5.26).

Рис. 5.26. Структурная схема возможного соединения элементарных динамических звеньев

111

Свойства передаточных функций можно сформулировать следующим образом.

1.Если динамическая система может быть представлена в виде последовательно соединенных звеньев, то передаточная функция системы равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

n

W(P) W1(P) W2 (P) ...Wn (P) Wi (P) .

i1

2.При параллельном соединении звеньев их передаточные функции алгебраически складываются:

n

W(P) W1(P) W2 (P) ...Wn (P) Wi (P) .

i1

3.При наличии обратной связи передаточную функцию системы нахо-

при отрицательной, а «–» – при положительной обратной связи. Составление структурной схемы и определение общей передаточной

функции позволяет не только упростить процесс решения систем дифференциальных уравнений, но и способствует получению оценок динамических свойств исследуемых объектов. Так, заменяя в выражении передаточной функции переменную Р на (iω), находят частотную характеристику системы.

Для примера с сошниковой группой это будет

С математической точки зрения, частотная характеристика представляет собой комплексную функцию. Четные степени величины (iω), содержащие i2 = -1, i4 = 1 и т.д. равны ±ω, а нечетные, содержащие мнимую еди-

112

Известно, что любое комплексное число может быть представлено в виде вектора в координатах U(ω) и V(ω).

Абсолютное значение или модуль А(ω) частотной характеристики определяется как геометрическая сумма U(ω) и V(ω), а угол (ω) наклона вектора к оси U(ω)

arctg V ( ) .U ( )

Рис. 5.27. Числовые характеристики частотной функции А(ω) и (ω)

при фиксированном значении ω

При изменении ω в широких пределах вектор А(ω) будет изменять величину и одновременно поворачиваться, изменяя наклон луча, соединяющего начало координат комплексной плоскости и данную точку кривой, описываемой концом вектора А(ω).

Такая кривая представляет собой амплитудно-фазовую частотную характеристику системы.

С точки зрения физики и механики, частотная характеристика отражает реакцию системы на внешние воздействия в виде гармонических коле-

баний.

Представим себе движение сошника сеялки по поверхности поля, имеющего неровности в виде, например, синусоиды (рис. 5.28а). Если амплитуду колебаний неровностей обозначить Х, а колебаний У, то их соотношение будет изменяться при различных скоростях VМ и соответствующих частот ω.

Рис.5.28. Схема, характеризующая реакцию динамической системы внешних воздействий в виде гармонических колебаний

Если скорость VМ ничтожно мала, то очевидно сошник повторит колебания профиля поверхности поля, т.е. совершит колебания с той же частотой ω и амплитудой Увых = Хвх.

В случае увеличения скорости сошник не будет успевать копировать

113

поверхность, и его движение будет представлять синусоиду той же частоты но с меньшей амплитудой и сдвинутой по фазе (рис.5.29б), а при некоторой скорости (VМ) (если продолжить мысленный эксперимент) перестанет реагировать на внешние возмущения (рис.5.29в) (известный афоризм шоферов «больше скорость – меньше ям»).

Сдвиг фаз θ в этом случае будет увеличиваться.

При анализе и синтезе динамических систем используются и операторы других видов, определяющие свойства этих систем при воздействиях различного типа.

Важным оператором динамической системы является импульсная характеристика h(t), определяющая реакцию системы на так называемую дельта-функцию (t) (единичная импульсная функция), причем,

Если единичный импульс подается в момент t = t0 (рис.5.29), то его записывают в виде:

Рис. 5.29. Типовые входные воздействия

Эти выражения определяют математическую модель идеализированного импульса, длительность которого равна нулю, а уровень – бесконечности. При уровне, равном единице, импульсное воздействие конечной длительности η будет иметь вид:

Зависимость между воздействием f(t) и реакцией на него y(t) может быть представлена интегральным уравнением:

t

y(t) f (t )h( )d .

0

Между импульсной характеристикой h(t) и передаточной функцией W(P) существует связь, определяемая преобразованием Лапласа,

114

W (P) L h(t) h(t)е Ptdt .

0

С характеристикой h(t) связана и переходная характеристика системы Yn(t), определяющая переходный процесс на выходе системы. Переходная характеристика является реакцией системы на воздействие f(t) = 1(t) в виде скачка, равного по величине единице (рис.5.29в). Практически единичный скачок означает мгновенное и резкое изменение входного воздей-

ствия, причем, δ(t )= d[1(t)]/dt.

Связь между импульсной и переходной характеристиками выражается равенством:

h(t) = d[yn(t)]/dt.

Таким образом, для линейных динамических систем основными операторами, определяющими соответствующее преобразование входных воздействий, являются передаточные функции, частотные, импульсные и переходные характеристики. Они являются наиболее полными динамическими характеристиками системы, определяющими ее свойства в области комплексной переменной, частотной и временной областях.

Если обратить внимание на то, что в основе всех характеристик находятся дифференциальные уравнения движения тел, в свою очередь являющиеся тем или иным выражением законов физики, таких как законы сохранения массы и энергии, то становится, во всяком случае, объяснимым, что самые разнообразные процессы могут иметь совершенно схожие модели и их характеристики. Это дало возможность унифицировать отдельные системы по их динамическим свойствам и свести их к так называемым типовым звеньям.

Такой подход облегчает анализ динамических свойств систем. Наиболее часто в исследованиях используются такие типовые звенья,

как

-безинерционное;

-апериодическое (инерционное);

-колебательное;

-дифференцирующее;

-интегрирующее;

-звено с запаздыванием.

Безинерционное звено (то же самое пропорциональное, идеальное, усилительное) при переходном процессе постоянно сохраняет пропорциональную зависимость между отклонениями входной и выходной координаты.

Связь между входом и выходом такого звена выглядит в виде алгебраического уравнения:

y = k x,

где k – коэффициент усиления.

Передаточная функция, частотная и переходная характеристики определяются выражениями W(P) = k; W(iω) = k; yp(t) = k.

115

Примерами такого звена могут быть рычажные соединения, механические редукторы, электронные усилители и т.п.

Апериодические (инерционные) звенья могут иметь первый или второй порядок.

У апериодического звена первого порядка дифференциальное уравнение имеет вид:

T dydt y kx ,

где Т – постоянная времени, k – коэффициент усиления. Передаточная и частотная функции соответственно равны:

Переходная характеристика представляется в виде экспоненты (рис.

5.30).

Рис. 5.30. Переходная характеристика апериодического звена первого порядка

Примеры таких звеньев:

1.Тракторный дизель. Если скачкообразно изменить подачу топлива, то обороты плавно изменятся до нового значения.

2.Электродвигатель. При изменении напряжения плавно изменяется температура.

3.Зерноуборочный комбайн с системой автоматического регулирова-

ния подачи хлебной массы.

Апериодическое второго порядка и колебательное звенья описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями:

Различаются они лишь соотношениями коэффициентов Т1 и Т2 и видом переходных характеристик.

У апериодического звена второго порядка Т2 ≥ 2Т. Это вызвано тем, что силы вязкого трения превышают инерционные. Из-за большого поглощения энергии при трении колебания в системе не возникают (рис. 5.31).

116

Это приводит к тому, что ворох проскальзывает относительно барабана, и за время нахождения колосьев в зазоре по ним наносится несколько ударов бичей.

Если выбрать на барабане фиксированный радиус, проходящий через входную планку деки, то за время t он повернется на угол ψ. За это же время поступившая в подбарабанье порция растительной массы повернется на угол φ относительно оси барабана, при этом и .

Для определения скорости необходимо прежде всего установить взаимосвязь между скоростями растительной массы и барабана, а также определить функцию (t) , т.е. характер изменения скорости

порции во времени или по углу охвата.

Пусть углы поворота барабана ψ и хлебной массы θ будут использованы в качестве обобщенных координат системы барабан - хлебная масса.

С известным приближением можно полагать, что средние скорости барабана и порции вороха за время t могут быть выражены полусуммами величин скоростей на границах интервала, тогда

б t / 2 ;

1 t / 2 ,

где ωб – угловая скорость барабана на холостом ходу; ω1 – угловая скорость порции массы в подбарабанье;

, – текущие угловые скорости барабана и порции растений. Из этих уравнений следует, что

2 б t ; 2 t .

можно приравнять правые части формул и получить уравнение связи для θ и ψ:

Одним из наиболее общих способов описания динамики системы механических элементов является составление уравнения Аппеля:

где S – энергия ускорений;

S – независимая обобщенная координата;

Qμ – обобщенная сила, соответствующая независимой обобщенной координате.

Применительно к движению барабана и хлебной массы в молотильном зазоре энергия ускорений может быть представлена уравнением:

S 12 I 2 12 mR2 2 ,

118

где I – момент инерции барабана; m – масса порции вороха.

Частная производная энергии ускорений по независимой обобщен-

i 1

где Fi - внешние активные силы, приложенные к элементам системы; Ai - вектор Аппеля –

Ai ri ,

S

где ri – путь, проходимый элементами системы.

К молотильному барабану приложен внешний активный крутящий момент, расходуемый на ускорение барабана Му и порций хлебной массы Мм, причем,

Му = FyR, MM = N f1 R,

где Fy – сила, затрачиваемая на ускорение барабана, отнесенная к его бичам.

Внешней силой, тормозящей движение вороха в молотильном зазоре, будет только N f2 – сила трения стеблей о деку, которая направлена в противоположную по отношению к скорости соломы сторону (рис. 5.33).

Рис. 5.33. Силы, действующие на порцию хлебной массы

в молотильном зазоре

119

С учетом этих значений уравнение для определения обобщенных сил можно записать в таком виде:

Q Fy Nf1 A1 Nf2 A2 .

Полагая разницу между величинами радиусов барабана и деки несу-

Принимая во внимание эти значения и соотношение по уравне-

нию (5.34), можно определить векторы Аппеля:

А1 r1 R R ;

А2 r2 R R ,

и тогда уравнение примет вид:

Q Fy N f1 R N f2 R .

Уравнение Аппеля для исследуемой системы запишется тогда в сле-

Полученное уравнение содержит сомножитель ψ/θ, учитывающий проскальзывание барабана относительно порции вороха. При отсутствии скольжения, т.е. когда ψ = θ, формула (5.37) превращается в обычное уравнение динамики, составленное на основе второго закона Ньютона.

Это уравнение можно преобразовать на основе соотношений (стр.

118):

При нормальном рабочем режиме барабана колебания его угловой скорости не превосходят 3…4%, влиянием которых на величину скорости порции стеблей в подбарабанье можно пренебречь. В этом случае

и заменяя переменную ω1 + θ = у, можно получить

120