книги / Численные методы в теории упругости и пластичности
..pdfН а зв а н и е |
И зо б р аж ен и е |
Х а р а к т е р и ст и ч е ск а я |
||
функция |
||||
|
|
|
||
О тр и ц ан и е |
-ОГ2 |
1 — «2 |
||
И м пликация |
Х 2 * |
Х х |
|
|
О тр и ц ан и е и м пли каци и |
4 * ! |
=> Х 2 ) |
е 1 ( 1 - е 2 ) |
|
О тр и ц ан и е им пли каци и |
ч (Л 2 => Х х) |
«2 (» “ «1> |
||
О тр и ц ан и е р ав н о зн ач н о сти |
Ч * х |
~ х 2 ) |
«1 +е2 —2ехе2 |
|
О тр и ц ан и е д и зъ ю н к ц и и |
- * Х Х У Х 2 ) |
1 — ех — е2 + ехе2 |
||
Упражнение 3.1. Показать, что булевым функциям (3.8), (3.9), (3.10) можно поставить в соответствие характеристические фун кции
е — €1в2» е = ех + е2 — е^г, с — 1 — ед |
(3.11) |
соответственно, где ех — характеристическая функция множества Х ь а е2 -характеристическая функция множества Х2. ■
Рассмотрим еще несколько булевых функций:
У = Га(Х1,Х 2) = Х 1 ~ Х 2, |
(3.12) |
У = ^ ( Х 1,Х 2) = Х 1 =>Х2, |
(3.13) |
У = Р10(Х1,Х 2) = Х1 |Х2. |
(3.14) |
Первая из них, (3.12), называется эквиваленцией (равнознач ностью): У — истина тогда и только тогда, когда ложь ~ ложь или истина ~ истина. Вторая, (3.13), называется импликацией: У — истина, если из истины следует истина, а из лжи может сле довать как ложь, так и истина; У — ложь, если из истины следует ложь. Последняя булева функция, (3.14), называется операцией Шеффера: У — ложь тогда и только тогда, когда Хх —истина и Х 2 — истина.
Упражнение 3.2. Показать, что булевым функциям (3.12)—(3.14) соответствуют характеристические функции
е = 1 + 2ехе2 —ех —е2, е = 1 —ех + е1е2, е = 1 —ехе2. (3.15)
Упражнение 3.3. Пользуясь характеристическими функциями,
показать справедливость правил де Моргана |
|
-н(Х1 V Х 2) = чХ1 А - Х 2, |
(3.16) |
-|(Х1 А Х 2) = ->Хх V ->Х2. |
(3.17) |
Упражнение 3.4. Показать, что остальные шесть булевых функций имеют вид, приведенный в табл. 3.1. ■
Из рассмотрения булевых функций видно, что существуют та кие независимые функции, через которые можно выразить осталь ные. Очевидно, что через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание можно выразить все остальные булевы функции. В самом деле
Х г\ Х 2 = Ч Ъ А Х 2), Хх => Х 2 = - Х х V Х 2, |
|
Х г ~ Х 2 = (-^Хх V Х 2) Л (Хх V Х 2). |
( ' |
Очевидно, что полной окажется всякая система булевых функций, с помощью которых можно построить конъюнкций, дизъюнкцию и отрицание. Но
-•(Хх V Х 2) = ->Хх Л 1 X 2, |
(3.19) |
т.е. дизъюнкция может быть построена с помощью конъюнкции и отрицания. Следовательно, конъюнкция и отрицание составляют полную систему.
Упражнение 3.5. Используя тождества
-X = X I X, |
Хх Л Х 2 = (Хх I Ха) |(Хх |Х 2), |
Х х У Х 2 = У | У , |
У = 2 \2, ^ = (Хх I Ха) |(Ха |Ха), 1 > |
показать, что полная система может состоять из одной функции Шеффера. ■
Существует теорема [101], согласно которой всякую булеву функцию можно представить в виде дизъюнкции конъюнкций (ди зъюнктивная нормальная форма) либо в виде конъюнкции ди зъюнкций (конъюнктивная нормальная форма), причем членами конъюнкций или дизъюнкций являются либо аргументы, либо их отрицания.
Введем обозначение: |
|
|
|
х („) _ Г х , |
если |
<т = |
1, |
\ 1 Х , |
если |
а = |
(3.21) |
0. |
Тогда каждую булеву функцию можно представить в виде
У = Р (Х и . . . , Х п)
1 |
Г |
к |
(*') *(•■) |
ДО,Х,к+Ь |
= V { |
Л |
|||
.= 1 |
( > =1 |
|
(3.22) |
|
|
|
|
|
|
где ^ — 2к, причем разным г соответствуют различные наборы
. . . , а^ш). Здесь к — число аргументов, по которым ведется разложение (3.22).
Пусть, например, требуется разложить функцию |
|
У = П *\ ,Х 2, Х3) = -(X , ,~ Х 2)=* (Х2 Л Х3) |
(3.23) |
по переменньш Х\, Х 2. |
|
Следовательно, в этом случае к = 2, д = 4. |
Тогда по формуле |
(3.22) имеем |
|
Р — Р\ V Р2 V Р3 V Рц, |
(3.24) |
т.е. » = 1,2,3,4.
Далее, составляем всевозможные различные наборы сг^, <т^\ г = 1,2,3,4:
^ ‘>= о , ^ ,) = о: |
<т(,2) = 0, <42) = |
1; |
(3.25) |
||
4 3> = 1. <43>= 0; |
<т<4>= 1,<т<4>= |
1; |
|||
|
|||||
Тогда получим для |
* = 1,2,3,4: |
|
|
||
|
Рг —~*Х1 Л -<Х2 Л С 1, |
|
|
||
|
/г = |
А Х 2 Л С2, |
|
(3.26) |
|
|
Р3 —Х\ Л ~<Х2 Л С?з, |
|
|||
|
|
|
|||
|
Р4 —Х\ Л Х 2 Л (?4, |
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
С\ = ->(0 ~ 0) =►(0 А Х3) = 1, |
|
|
|||
С2 = -.(0~1)=>(1ЛХз) = Хз, |
|
п т |
|||
С3 = ->(1 ~ 0) =►(0 Л Х3) = 0, |
|
1 ' ' |
|||
О, = ->(1 ~ 1) => (1 Л Х3) = 1. |
|
|
|||
Поэтому искомое разложение имеет вид |
|
|
|||
Р = (-«Х! Л - Х 2) V (-^Л-! Л Х2 Л Х3) V (XI Л Х 2). |
(3.28) |
||||
Пусть О есть область, определяемая неравенством о;(х) ^ 0, где ш(х) — некоторая функция. Обозначим характеристическую фун кцию, соответствующую этой области, через И = (о>(2) ^ 0). Располагая некоторой системой = (и/(х) ^ 0) характеристи ческих функций и булевой функцией У = Р(Х \,..., Х т ), можем построить предикат
О = Р(Г>1, ..., Д„) = ^[(ы > 0 ),..., (ыт ^ 0)], |
(3.29) |
определяющий некоторую область X, сконструированную из об ластей X,- по логическим правилам, определяемым булевой фун кцией Р.
& 1 = (а2 - *2 ^ 0),
(3.30)
0 2 = (62 - у 2 ^ 0)
по логической формуле
/) —0\ Л О}. |
(3.31) |
Упражнение 3.7. Показать, что область [У, заштрихованная на рис. 32, монсет быть сконструирована из областей
Д , = ( ( * - * о ) 2 + (у - У о ) 2 - с 2 ^ 0 ) ,
Г)4 = (<*2 - (* - *о)2 - (у - Уо)2 > 0)
по логической формуле
И ' = Г>3 Л Г>4- |
(3 33) |
Разобьем числовую ось К на две равные части: (—оо,0) и [О, оо). Введем обозначения:
если ^ е [0,оо),
если ^ € (—оо,0), |
(3.34) |
|
|
5(*) = (5(*1),...,5 (* п)), |
(3.35) |
где 2 — вектор в я-мерном евклидовом пространстве.
Функция у = /(2) называется /2-функцией (функцией В.Л. Рвачева), если существует такая булева функция У = Р(Х 1, . .. ,Х П),
что |
(3.36) |
5[/(5)] = Р [Б (х )]. |
Другими словами, функция /(2) будет являться /2-функцией, если
еезнак есть некоторая булева функция знаков аргументов. Упражнение 3.8. Показать, что функция х\х2 является
/2-функцией, причем ей соответствует булева функция
У = Р{Х и Х2) = Х1 ~ Х 2. Я |
(3.37) |
|
В.Л. Рвачев ввел три /2-операции. Это /2-конъюнкция: |
|
|
*1 Аах2 — 1 |
+ х2 - у]х\ + х \ - 2а * 1* 2^ , |
(3.38) |
1 + « |
|
|
У
Рис. 31 |
Рис. 32 |
|
Д-дизъюнкция: |
|
|
хх V ах2 = |
+ х2 + ^ х \ + х \ - 2аххх ^ |
(3.39) |
(здесь а — произвольная |
функция, —1 ^ а (х х,х 2) ^ |
1) и Д-от- |
рицание: |
- ч = —х . |
(3.40) |
|
Имеет место важная теорема [102].
Если области Б \ , Б 2, ... , Б т определяются соответствующими неравенствами
<*(*1.*2) ^ 0, |
г = 1,...,т, |
(3.41) |
а логика построения области Б |
задана булевой функцией Б = |
|
Р(Б\.......Ап)> то неравенство |
|
|
и (хх,х 2) = ш[ип(хх,х 2) , ... ,шт(х1,х 2)] ^ 0, |
(3.42) |
|
где ы(«1, ..., ит) — функция, соответствующая булевой функции Б = Р (Б Х, ... ,Б т), определяет область Б .
Другими словами, если в формуле (3.29), где Р есть сложная булева функция, построенная с помощью операций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, произвести формальную замену сим волов Д на ы,'(2), Л на Ла, V на Уа, то получим функцию ц>(я), такую, что Б = [и>(5) ^ 0].
Упражнение 3.9. Показать, что область Б , заштрихованная
на рис. 31, может быть задана неравенством |
|
ых = (а2 - х2) Л а(62 —у2) ^ 0, |
(3.43) |
т.е. |
|
а>1= ^ — [а2—я2+42—у2—\/(а 2—аг2)2+(&2—У2)2—2а(а2—г 2)(62—у2)]^0.
(3.43;)
ы2 = [</2 - |
(* - То)2 - ( у - 1Л»)2] |
[(* - Т о )2 + {у~ Уо)2 ~ <?] ^ 0 (3-44) |
||
или неравенством |
|
|
|
|
о»3 = [</2 - |
(яг - *о)2 - {у - Ю)2)[(* - то)2 + (Р - Ю>)2 “ |
^ |
(3-45) |
|
|
|
Упражнение 3.11. Показать, |
||
|
|
что область Л*, заштрихованная |
||
|
|
на рис. 33, может быть сконстру |
||
|
|
ирована из областей Ю (3.31), 1У |
||
|
|
(3.33) и области |
|
|
|
|
П"(и>4 = у - 6 ^ 0) |
|
(3.46) |
|
|
по логической формуле |
|
|
|
Рис. зз |
Л* = Л У (Р А Г У 1). |
■ |
(3.47) |
Поэтому область Л* может быть описана неравенством
и>* = V а (ыз Л 0^4) ^ 0. |
(3.48) |
Для построения функции у’о(т), принимающей заданное значе ние на контуре Г (3.2), воспользуемся следующим приемом [101]. Пусть контур Г разбит на элементы Гь ... , Гт и задано ана литическое выражение
Ф(2) = {ф('\х) на Г*}, |
(3.49) |
причем каждый контур задается уравнением /<(т) = 0. Точки элемента Г,, принадлежащие одновременно другим элементам, на которые разбит Г, называются концевыми точками [101]. Тогда функция
^ (2 ) (3.50)
будет равна 1 в точках элемента Г* и нулю в остальных точках. В концевых точках она не определена и ее можно доопределить, положив ее там равной 1. Тогда функция у>о(2) может быть выбрана в виде
М * ) = 5 2 <М2)Ф(,')(2). |
(3.51) |
1=1 |
|
1|2|к,(=) < Н311^(^) = ||3|кя- |
(4.9) |
Поэтому |
|
11%, < ^ (Н * 1 к я+ 1|3°11ад). |
(4-10) |
Отсюда следует, что если незначительно изменить |
объемные |
и поверхностные силы, то незначительно изменится и решение. Разумеется, можно повторить те же выкладки для разностных уравнений и воспользоваться разностным аналогом неравенства Корна [6], выбрав разностные аналоги норм в Н н и Ьк, например
N1 |
ЛГ2 |
|
(и, |
2 “О»»-,>Л1Л2- |
(4.11) |
«=0 ;=0 |
|
|
Итак, если мы воспользуемся вариационным принципом Лаг
ранжа и составим разностный аналог лагранжиана |
|
Р 1 = (рк _ А ^ н, |
(4.12) |
то получим функцию конечного числа аргументов. Для пря моугольной сеточной области ц = 0 , 1 , . . . , ^ , »2 — 0 ,1 ,..., ЛГ2 переменных 3,,,г будет 2(Ы\ + 1)(ЛГ2 + 1). Так как в положении равновесия лагранжиан имеет минимум, то разностную систему можно получить, приравнивая нулю производные лагранжиана по независимым переменным:
дСк = 0. |
(4.13) |
Говорят, что такая разностная схема получена вариационно разностным методом. Она будет заведомо устойчивой, что следу ет из приведенных выше соображений.
Рассмотрим прямоугольную область. Работу внешних массо вых сил запишем в виде
И » * = |
к ( ( ^ , щ ] ) |
+ [[*,« < ))}. |
*■= ^ |
(4Л4) |
||
|
* 12 |
21 |
12 |
21 |
|
|
работу внешних поверхностных сил |
в виде |
|
||||
(А'2)н = ^ {(5?, «,]/(„]+ |
[5?, «,)/[„)}, |
г,п — 1,2. |
(4.15) |
|||
п |
п |
п |
п |
|
|
|
Для изотропного тела упругий потенциал может быть записан, например, в виде
2И^{* = А{д„и„}2 + ц{дпитдпит + д„итдтип} |
(4.16) |
или |
|
2И^г = А{д~и„}2 + и { дп ит д~ ит + д ~ и тд ~ и п} . |
(4.17) |
Тогда разностный аналог потенциальной энергии деформаций фк можно, например, записать в виде
/ = ^ { [ № ) + ((^2Л]]}- |
(4-18) |
*12 21 12 21
Упражнение 4.1. Используя формулы (1.84)—(1.87) гл. 4, пока зать, что справедливы формулы
А((ДгТ/ц , дт Пт)) "Ь /1((^п^т,^п^т)) 4~ /1((^п11т, ^тИп)) —
12 |
21 |
12 |
21 |
|
12 |
21 |
|
А(<9пТ т/,1, Пт)^(т] “Ь м(^т^'дп) |
4" /*(^т, &п |
)^(п] |
|
||||
—А((Зп|9т Мп! мт)) —р((^т^п И»1) Ига)) |
р((Пщ| ЛПг»Ит))> ^ |
^ |
|||||
12 |
21 |
12 |
|
21 |
12 |
21 |
|
А((5"м„,<Э'ит )) + р((д“ ит ,д “ ит )) + р((д"ит ,д~и„)) = |
|
||||||
12 |
21 |
12 |
21 |
12 |
21 |
|
|
= А(дп Т ип ,и т)1^т^+ 1л(дтТ |
ип ,и т )/[п) + ц (и т ,д пИт)1[п) |
|
|||||
-А ((д“ 5т и„,«т )) - р ((3 “ 5„«„,«,„))- р ((« т ,Лпп«т)) (4‘20^ |
|||||||
12 |
21 |
12 |
|
21 |
12 |
21 |
|
|
|
(п ,т = |
1,2), |
|
|
|
|
где индексы у операторов сдвига Т |
и в |
однократных скобках |
|||||
опущены (они совпадают с индексом оператора I). |
|
|
|||||
Упражнение 4.2. Показать, что при дифференцировании сум |
|||||||
мы, содержащей выражения типа дп ит или д ~ и т , |
справедливо |
||||||
следующее |
правило: |
|
|
|
|
|
|
|
Ак((. •■, д~ит, ...)) = |
- 6 ткд„, |
(4.21) |
||||
где Ок = Другими словами, для того, чтобы продиффе ренцировать по щ указанное выражение, нужно смотреть на д„ как на число, но при дифференцировании выражения дпУт нужно дп заменить на —д ~ , а при дифференцировании 5“ ит заменить
д~ на - д п-