книги / Численные методы в теории упругости и пластичности
..pdf<г" = ф( 1? |
) ' |
|
|
о • |
, |
/ . |
(2 60) |
РЬ — Р а = -2 8 1 $ п Л |
I — й г, |
|
|
а
X = 81$П А = 81вп(ра - Р ь),
а постоянная А определяется из первых двух соотношений (2.60). Упражнение 2.14. Показать, что если труба находится под внутренним давлением, а снаружи (при г = Ь) на нее надета тонкая упругая оболочка толщиной Л, имеющая упругие характеристики Е, и V*, то граничные условия для этой трубы при г = Ьимеют вид
Л 7Г*
<тГг|г=& = |
_ 1/2 ) и 1г=&- |
(2 -61 ) |
Такие граничные условия называются условиями контактного типа.
§ 3. ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕЛЕ
Рассмотрим уравнения движения изотропной упругой среды
(А + |
+ цАщ + |
= р ^ ~ |
(3.1) |
и воспользуемся теоремой Гельмгольца, по которой всякое одноз начное и непрерывное векторное поле а, обращающееся в нуль на бесконечности, может быть представлено в виде суммы градиента некоторой скалярной функции <р и ротора некоторой векторной
функции А, дивергенция которой равна нулю:
а = 8 г а с 1 < р - | - г о 1 А, с И у Л = 0 . |
( 3 . 2 ) |
|
Функция (р называется скалярным потенциалом поля а, |
а Л — |
|
векторным потенциалом. |
|
|
Разобьем поле перемещений и на два слагаемых: |
|
|
й = {$гас1^> + го! ф, |
&\уф = 0, |
(3.3) |
или в скалярной форме |
|
|
Щ = Р,1 + €ЦкФк,], |
фг,г = 0. |
(3.4) |
Р = §гас1 Ф + го! Ф, |
<Му Ф = О, |
(3.5) |
Тогда |
|
|
хИу 3 = 0 = |
= Д<р. |
(3.6) |
Подставляя (3.4)-(3.6) в уравнения движения (3.1), получим
(3.7)
Следовательно, имеем два неоднородных волновых уравнения
(3.8)
(3.9)
Уравнение (3.8) показывает, что часть перемещения, соответст вующая скалярному потенциалу <р, переносится со скоростью с\. Если взять оператор Лапласа от обеих частей уравнения (3.8), то получим, учитывая (3.6),
(3.10)
Волна, описываемая этим уравнением, имеет много названий. Она называется первичной волной, Р-волной, волной уплотненияразряжения, дилатационной волной. Эта волна связана с изме нением объема упругого тела.
Уравнение (3.9) показывает, что часть перемещения, соот
ветствующая векторному потенциалу Ф, переносится с другой скоростью С2, меньшей сх. Беря оператор го* от обеих частей уравнения (3.9), получим
(3.11)
Это уравнение описывает так называемую вторичную волну, или 5-волну, или волну сдвига, которая вызывает искажение элемента тела без изменения его объема.
Волны связаны с распространением возмущения какой-либо физической величины, например, деформации. Внешние тела, вызывающие эти возмущения, называются источниками волн.
Распространение упругих волн состоит в возбуждении коле баний все более и более удаленных от источника волн частиц среды, при этом распространение волн (при малых возмущениях) не связано с переносом вещества.
Бели направление колебаний частиц совпадает с направлени ем распространения волн, то такие волны называются продоль ными. Бели же направление колебаний частиц ортогонально направлению распространения волн, то такие волны носят назва ние поперечных. Следует отметить, что в бесконечной упругой изотропной среде, как мы видели, существуют два типа волн: по перечные и продольные, в то время как в жидкостях наблюдаются только продольные волны.
В анизотропных упругих средах скорость распространения волн зависит от направления, а для поперечных — еще и от поляризации, т.е. ориентации плоскости колебаний, которая об разована вектором перемещения и вектором скорости распрост ранения волны.
Продольная волна называется плоской, если потенциал <р и другие величины, характеризующие волновое движение среды, зависят только от времени и одной пространственной координаты:
<92у> _ |
1 <92у> |
д х 2 |
(3.12) |
с2 д12 |
Решение уравнения (3.12) состоит из суммы двух так называемых бегущих волн /1 и /2:
<р = / г(х - с1) + / 2(х + с(). |
(3.13) |
Первая из этих волн распространяется без искажения вправо, а вторая — без искажения влево.
От точечного источника в изотропной среде возникает сфе
рическая волна |
|
|
|
|
]_д_ |
/ 2ду>\ _ |
1 д 2<р |
(3.14) |
|
г2 д г |
\Г д г ) |
с2 д12 |
||
|
||||
Решение этого уравнения имеет вид |
|
|||
ч>= ~Мг - а ) + ~/2(г + с<). |
(3.15) |
|||
V |
Г |
|
|
|
Продольная волна называется гармонической (синусоидальной), если частицы среды колеблются с одинаковой частотой ш:
<р = а(2)5ш[а;( — а(т)], |
(3.16) |
где а — начальная фаза волны, а — амплитуда, ш1 — а(5) — фаза волны, ш = кс, причем с — скорость распространения волны, а к — так называемое волновое число.
Волновой поверхностью, или фронтом волны, называется ге ометрическое место точек среды, в которых в рассматриваемый момент фаза волны имеет одно и то же значение. Волновая повер хность, вообще говоря, деформируется. Скорость каждой точки волновой поверхности направлена по нормали к волновой повер хности. Иногда плоскую монохроматическую волну описывают в комплексном виде, имея в виду, что на заключительном этапе исследования необходимо взять действительную и мнимую части
от полученного выражения. |
Например: |
|
и = 30(2)е<<1' |
<р = <р0е * 1 * - шг\ |
(3.17) |
где к = 22-п — волновой вектор, А -длина волны, а п - единичный вектор нормали к волновой поверхности. Если подставим второе из соотношений (3.17) в волновое уравнение (3.12), то получим
с = Т> |
(3-18) |
где с — скорость распространения вол ны. Одна из возможных форм распрос транения волн называется модой. Так, например, соотношения (3.17) описыва ют синусоидальные моды. Вообще же можно представить соотношение между частотой и волновым числом (вектором) в виде кривой (рис. 13). Скорость вол ны (моды) определяется из (3.18) — это тангенс угла наклона кривой на рис. 13. Дисперсная мода — мода, для которой
скорость зависит от частоты. Если же для всех частот скорость одинакова, то дисперсия отсутствует. Если мода бездисперсионная, т.е. скорость всех синусоидальных составляющих с разными частотами одинакова, то они перемещаются вместе и начальное возмущение сохраняет свою форму. Скорость
(3.19)
называется групповой. Это та скорость, с которой перемещается
внаправлении х функция изменения амплитуды.
Вограниченной упругой изотропной среде могут возникать и другие типы волн кроме перечисленных выше. Рассмотрим одно
мерную динамическую задачу. Будем считать, что в однородном
упругом стержне распространяется продольная волна, например, к направлении ц = х. Из уравнений движения (2.9) гл. 1 вид но, что в случае, если осуществляется одномерное напряженное состояние, т.е. тензор напряжений имеет вид
= |
(3.20) |
то для <тсправедливо волновое уравнение
2д 2<г _ сРо
(3.21)
с~ Тн2 ’
Однако из уравнений совместности Бельтрами (1.53) гл. 2 сле дует, что напряженное состояние (3.20) осуществляется только при V — 0 .
Рассмотрим одномерное волновое уравнение относительно ком поненты вектора перемещения и вдоль оси распространения вол ны:
2д 2и _ д 2и
(3.22)
с дх* ~ 1н*'
Упражнение 3.1. Показать, что при выполнении граничных
условий |
|
|
|
|
«|х=о = Л(<), |
«|х=» = 0 |
(3.23) |
||
и начальных данных: |
|
|
|
|
при I = 0 « = |
п |
д и |
„ |
(3.24) |
0, |
^ |
= 0 |
||
уравнение (3.22) имеет решение |
|
|
|
|
им (х, |
|
|
|
(3.25) |
где индекс N обозначает число отражений волны от торцов стер жня. ■
Это означает, что волна бегает от одного конца стержня к другому, не затухая и не «размазываясь», т.е. сохраняет перво начальный импульс. Иначе обстоит дело, если стержень является вязкоупругим. Пусть, например, связь между напряжением <т и деформацией е имеет вид
<г = Е е + щ е . |
(3.26) |
(3.27)
получим уравнение
д 2и |
2д 2и |
д3« |
(3.28)
Ъ ? = ° дх * + Т,дх*Ш'
Упражнение 3.2. Показать, что волна, описываемая уравне нием (3.28) при граничных условиях (3.23) и начальных данных (3.24), будет затухающей и при I = оо и и(х,1) стремится к квазистатическому решению
(3.29)
§ 4. ВОЛНЫ В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМ С ТЕРЖ Н Е
Рассмотрим одномерное уравнение движения сплошной среды
д а _ д 2и |
(4.1) |
|
д И ~ р д ^ |
||
|
Будем считать что задан закон связи между напряжениями а и деформациями с:
а = а(е). |
(4.2) |
В частности, если эта связь соответствует упругому стержню, то
а = Ее. |
(4.3) |
Введем величину |
|
1 Лг |
(4.4) |
а(е) = |
|
р Ле ’ |
|
которая характеризует местную скорость звука. Тогда волновое уравнение (4.1) принимает вид
2 д 2и _ д 2и
(4.5)
а д ^ ~ д & '
Это уравнение можно заменить эквивалентной системой двух уравнений с двумя неизвестными, в качестве которых удобно принять скорость V и деформацию е:
_ |
ди |
ди |
(4.6) |
V ~ Ж ’ |
е = дх |
||
Тогда система имеет вид |
|
|
|
|
2 де _ |
дь |
|
° |
дх |
д1' |
(4.7) |
|
ди |
де |
|
|
|
||
|
дх |
д1 |
|
Пусть теперь вдоль некоторой линии |
|
||
х = |
аг(«), |
1 = *(«) |
(4.8) |
на плоскости х, < заданы значения |
|
||
€ —е(в), |
и = о(«). |
(4.9) |
|
Введем в рассмотрение четырехмерное евклидово пространс тво Нц с координатами х, е, и; уравнения (4.8), (4.9) задают в нем некоторую кривую Г. Решение же дифференциальных уравнений (4.7)
е = е(х,1), и = и(х,1) |
(4-10) |
образует некоторую поверхность (интегральную). Возникает воп рос: можно ли провести через заданную линию Г определенную интегральную поверхность (решить задачу Коши), или, что то же самое, можно ли провести к интегральной поверхности каса тельную плоскость вдоль Г? Этот вопрос связан с возможностью однозначного определения вдоль линии Г производных от г, V в силу самих дифференциальных уравнений. Как известно из тео рии дифференциальных уравнений, ответ на этот вопрос таков: можно, если Г не является характеристикой.
Рассмотрим очевидные соотношения
(4и)
Тогда имеем систему (4.7) и (4.11) для определения частных
производных Расширенная матрица этой системы имеет вид
а2 |
0 |
0 |
- 1 |
0 |
|
|
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
(4.12) |
|
Ах |
А1 |
0 |
0 |
Ае |
||
|
||||||
0 |
0 |
Ах |
А1 |
Аи |
|
а
Рис. 14
Равенство нулю определителя матрицы (4.12) дает нам уравнение характеристик
^ = ±а(е), |
(4.13) |
а условия совместности этой системы приводит кусловиям на
характеристиках |
|
а(е)Ае Т Аь = 0. |
(414) |
Введем функцию |
|
е |
|
?(?) = I а(е)& - |
(4.15) |
о |
|
Тогда соотношения (4.14) перепишутся в виде |
|
4 » т <р{е)] = 0. |
(4.16) |
Итак,рассматриваемая система дифференциальных |
уравнений |
(4.7) имеет два семейства характеристик и условий на них:
Ах — а(е) А = 0,
(4.17)
V —у>(е) = >; = сопя!,
Ах + а(е) А1 = О,
(4.18)
V+ 1р(г) = ^ = сопя*.
Соотношения (4.17) относятся к «прямой» волне, а (4.18) — к «обратной».
Фронт волны — это линия, отделяющая возмущенную область от невозмущенной. Говорят, что на фронте имеется слабый раз рыв, если величины г, V непрерывны, а их первые производные разрывны, и сильный разрыв, если терпят разрыв сами величины г, ь (такие волны называются ударными).
Рассмотрим полубесконечный стержень. Пусть при I = 0 он покоится, т.е.
при < = 0 и = О, V = 0. |
•(4.19) |
Граничные условия могут быть различными. Например, на торце могут быть заданы скорость или напряжения. Пусть, например,
при * = 0 (г(1) = о, [/*(<) - к(1 — <!)] |
(4.20) |
(рис. 14). Значение <т* (<тг) соответствует некоторой деформации (рис. 15). На рис. 15 <г3 — предел пластичности. Если <т* < <т3, то
|
|
|
|
(4.21) |
и решение волнового уравнения имеет вид |
|
|||
« = |
/ ! ( * - ооО + М х + |
“о*). |
(4.22) |
|
Xарактеристиками и |
условиями на |
них |
((4.17) и |
(4.18)) будут |
соответственно |
|
|
|
|
|
х —ао< = СхД |
|
(4.23) |
|
|
ь —а0г — г], |
) |
|
|
|
|
|
||
|
x+ао^ = С2,1 |
|
(4.24) |
|
|
ь + а0е = |
/ |
|
|
|
|
|
||
Пусть Р — произвольная точка на плоскости х, |
I. Проведем |
|||
две характеристики РМ и РИ (рис. 16). Вдоль РМ выполняется
условие V= а0е + г), а вдоль РЫ — условие V = —аое + |
Но при |
||||
( = 0 « |
= |
0 и е |
= |
0. Поэтому отсюда следует, что ( |
= ч = 0. |
Тогда |
в |
точке |
Р |
имеем V = а0е = —аоб, откуда следует, что |
|
V = 0 в |
точке Р. |
Следовательно, если С\ и С2 в (4.23) |
и (4.24) |
||
больше нуля, то соответствующая точка Р находится в области |
|
покоя. Посмотрим, |
что происходит на самой характеристике |
х —ао< = 0 (рис. 17). |
Вдоль РМ V = аце + т}, а вдоль РМ V = —аое. |
Следовательно, в точке Р будет V= —аоСр = — |
Но е = г* в |
точке М. Следовательно, всюду на М Р |
|
V= - а 0г,. |
(4.25) |
Однако это условие будет верным и тогда, когда точка М окажет ся на прямой х = 0 при тех 1, при которых 1 = 1,. Следовательно,
*
Рис. 18
область выше прямой х = с^1—ао<1 на плоскости х, I соответствует области покоя, ибо для этой области в (4.25) следует положить е*.
Таким образом, по картине характеристик можно графически определить распределение деформаций, скорости, перемещения в любой момент времени по длине стержня И в любой точке стержня распределение этих величин по времени (рис. 18). Таким образом, ступенька возмущения все время смещается вправо, а после прохождения возмущения в теле остается перемещение «х = —аоС«<1.