книги / Численные методы в теории упругости и пластичности

Упражнение 4.1. Получить аналитически рассмотренное ре­ шение:

Пусть теперь на границе стержня задана плавно меняющаяся деформация (рис. 19). Деформации е = е, на плоскости х, < будет соответствовать характеристика х —ао1 = —а01,- При зависи­ мости напряжения от деформации, изображенной на рис. 15, для больших деформаций, превышающих ег, будет меньшая скорость звука а(е). Рассмотрим теперь точку Р, лежащую выше харак­ теристики х — ао1 = —ао*» и проведем из нее две характеристики РМ и Р И , которые, вообще говоря, могут не являться прямыми. Вдоль РМ имеем V = <р(е) + 77, а вдоль РМ имеем V = —<р(е) + При этом в точке N V= 0, е = 0, а значит, ^ = 0. Тогда в точке Р

V = <р(ер)+т) = —<р(ер). Поэтому в точке М V = <р(ем)+Ч = —<р(ем)-

Следовательно ер = ем- Значит, вдоль каждой положительной характеристики М Р в области х —а01 < —а0<» (рис. 19) сохра­ няют постоянные значения V и С, причем е = е м , т.е. значению деформации при х = 0. Отсюда вытекает, что М Р — прямо­ линейная характеристика и ее наклон определяется выражением

ам = \ !^ ^ (ем )- Поэтому можно нарисовать полную картину и

для этого случая (рис. 20), подобную картине распространения волн в упругом стержне.

Рассмотрим теперь задачу о внезапной деформации е* > ег (рис. 21). На каждой характеристике е — сопз!, а следова­ тельно, а(е) = сопз!. Значит, значения на характеристиках

Рис. 21

х —а(е)2 = —а(е^к при фиксированном 2* < 2х таковы: V = —а(е)е. Между характеристиками х - ао2 = 0 и х — а(е»)2 = 0 имеется

нуле имеется так называемый веер характеристик, которые соот-

ветствуют волнам Римана. В области между характеристиками х —а(е,)1 = 0 и х — а(е,)1 = —а(е*)<х скорость распространения волн одна и та же и равна а , = а(е„).

В области волн Римана можно построить аналитическое реше­ ние. Уравнение характеристики для какой-нибудь волны Римана имеет вид х = а1 а* < а(е) < ао, но а(е) является известной величи­

Все сказанное проиллюстрировано на рис. 22. В момент < = <х начинает распространятся новая волна — волна разгрузки (волна Х.А. Рахматулина).

Рис. 22

Упражнение 4.2. Доказать, что волна разгрузки распрост­ раняется со скоростью упругой волны, и показать, что полная картина распространения импульса, изображенного на рис. 21 при е* > е3, имеет вид, изображенный на рис. 23.

§ 5. СВЯЗАННЫЕ ЗАДАЧИ М ДТТ

Связанная задача М ДТТ заключается в решении трех урав­ нений движения

Если среда обратимая, то в уравнении (5.9) или (5.10) IV* = 0. Если в обратимой среде величина а не изменяется со временем, то уравнение притока тепла (5.9) будет иметь вид

Уравнение (5.12) с граничными условиями (5.4) и начальными данными (5.6) может в этом случае быть решено отдельно от системы уравнений (5.1), и рассматриваемая задача механики сплошной среды будет несвязанной.

Предположим теперь, что свободную энергию можно пре­ дставить в виде суммы двух слагаемых, одно из которых зависит только от температуры, а другое является квадратичной функци­ ей параметров состояния р.. Очевидно, тогда можно записать

N

Пример 5.2. Рассмотрим анизотропную среду, в которой опе­ ратор Т является линейным по времени. Тогда

«

о

В этом случае согласно «основной» гипотезе параметры состоя­ ния р являются линейными операторами от ет т.е.

где д'(* - г) = ^д.(1 —т). Подставляя значения (5.16) и (5.17) в соотношения (5.17), (5.18) гл. 1 и учитывая (5.13) и (5.14), получим

N* *

+Я{( * - п ) ч ^ - т 2)(1ет(п )а ет(т2),

'=1 о о

откуда имеем

Бели, например, в выражении (5.13) положить N — 1, т© вместо (5.18), (5.19) и (5.20) имеем соответственно

где ПуЫ(1) — тензор ядер, обратных к ядра** йуы(*) из соо™°- шений (5.14), т.е.

где IV* выражается формулой (5.21) или (5.24).

Бели рассматриваемая среда является изотропной, то каждый из тензоров К, П, ^ будет составлен из единичных тензоров,

Пример 5.3. Рассмотрим квазилинейную изотропную среду, которая при мгновенном нагружении ведет себя как линейный упругий материал. В такой среде определяющие уравнения имеют вид

где Г и Гх являются функционалами от величин ет = е(г) — ад(т) и ет= еу(т1)е^(г2), причем Г(0,х,у) = Гх(0,х,у) = 0. Если рассматривается главная квазилинейная теория, то

Г(* - т, е ? , ет) = Г(< - т)/(е^, ет),

где / — функция указанных аргументов.

Будем считать, что и в этом случае свободная энергия имеет вид (5.13). Пусть параметры состояния квазилинейно зависят от

дущем примере, заключаем, что и в этом случае справедливы формулы (5.28) и (5.30).

Как видно из (5.30), если шаровые части тензоров напряжений и деформаций пропорциональны (как это имеет место в линейной упругости), то функция рассеивания не зависит от температуры: