книги / Численные методы в теории упругости и пластичности
..pdfОчевидно, что условия совместности удовлетворяются. Напря жения согласно формулам (1.1) и (1.2) имеют вид
|
А(С)С, |
|
|
|
(1.16) |
<ТЦ= КСбц + |
Л(С)С. |
|
Величина С находится из удовлетворения |
уя |
|
граничным условиям |
|
|
|
|
|
К С + ^ А {С )С = - р . |
(1.17) |
/ / |
|
|
/ / |
Упражнение 1.4. Показать, что для слу чая изотропной линейной упругой среды по стоянная С находится из уравнения (1.17) в следующем виде:
р(1+ !/)(!-21/)
(1.18)
Е{ 1 - и)
Упражнение 1.5. Показать, что для изот ропного линейного упругого стержня, находя щегося под действием собственного веса рд и закрепленного в начале координат (рис. 9), на пряжения, деформации и перемещения имеют соответственно вид
——рд(ха —
: ^ Ы [ - ^ + ( 1 + , ) и д
//
//
/
//
Рис. 9
(1.19)
( 1.20)
щ = |
- о - % К 1 + о а - |
®о)2 - а + «/)/2 + и |
|
|
Ь 21) |
где |
г2 = Х(Х,. |
( 1.22) |
|
\ /
§ 2. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА МДТТ
Бели в одном из направлений, например хз, компонента вектора перемещения «з = ы имеет вид
ш = С'1хз + С,2, |
(2.1) |
где С\ и С2 — некоторые постоянные (которые могут быть равны нулю), а две другие компоненты вектора перемещения зависят только от координат х\, х2:
«7 = н/(х1,*2), 1 = 1,2*, |
(2.2) |
то говорят, что имеет место плоское деформированное состояние. Чаще всего при плоском деформированном состоянии полагают в
(2.1) постоянную С\ равной нулю. |
В |
этом случае имеем |
|
в = е ц , еи -- ^ 77в/у + - в 2, |
е ц |
= 0, езз = -^ 0 . |
(2.3) |
Если считать справедливыми соотношения (1.1)—(1.3), то получим
|
07з = 0, |
«г33 = $<гц, |
|
Я = |
[ЗЯ - А(в, е„)] [6К + А{в, еи)]-х = |
|
|
= |
[ЪКВ{<т, <ти) - 1] [6КВ(<т, <ти) + I]" 1, |
(2.4) |
|
|
а = К в = (1 + 0)07/1 |
|
|
|
<ти = |
ви ви + в§з. |
|
Таким образом, если известны компоненты двумерных тензоров деформации е й , е л и напряжения в л , а л , то компоненты сзз, сгзз находятся по формулам (2.3), (2.4), т.е. становятся известными трехмерные тензоры деформаций и напряжений.
Упражнение 2.1. Показать, что в случае изотропной линейной
упругой среды справедливо соотношение |
|
<гзз = иап . |
(2.5) |
Упражиение 2.2. Показать, что в случае теории малых упру гопластических деформаций справедливо соотношение
3 # ф - 1К ) - 1
6 Я Ф - > Ю + 1 <Г//
У пражиение 2.3. Показать, что закон Гука для плоского деформированного состояния для изотропной среды может быть записан в виде двух взаимно обратных соотношений
077 = |
т - у |
) |
( е л + |
1 + »/ |
|
)• |
(2.7) |
|
(1 +*/)(1 — 2") |
\ |
|
|
|||
е л |
1 — */2 |
|
|
|
|
(2.8) |
|
= |
( ? л |
~ 1 |
ие1к€-11•О’к ь ) |
> |
|
||
|
Е |
|
|
||||
* Все индексы, обозначенные большими латинскими буквами, пробегают значения 1, 2.
где значение символов е/# описано в приложении IV. Если ввести обозначения
Е 1 = |
Е |
1/' = |
(2.9) |
|
1 — 1/2 ' |
||||
|
~ |
1 — 1/’ |
то соотношения (2.7), (2.8) можно переписать в виде
|
Е' |
(2.10) |
— 1 —и>‘■(е й + х/е1кел ,еК1,), |
||
еи = |
(<*и —х,,(1к €1ь (гк ь ) ■ |
(2 .1 1 ) |
Из уравнений равновесия.(2.35) гл. 1 следует, что
+ рЕг = О |
(2 .12) |
и, кроме того, компонента массовых сил Рз должна обращаться в нуль, если имеет место плоское деформированное состояние.
Граничные условия в напряжениях имеют вид
с ц п ] = 5°. |
(2.13) |
Наряду с вектором нормали п можно ввести единичный век тор г, касательный к контуру, ограничивающему тело (рис. 10). Компоненты этих векторов свя заны следующей зависимостью:
Т/ = |
п/ = С//Г/, (2.14) |
|
|
причем, очевидно, |
|
||
|
(2.15) |
|
|
где а — длина дуги контура. |
|
||
Единственное уравнение сов |
Рис. 1 0 |
||
местности |
плоского деформиро |
||
|
|||
ванного состояния можно записать в виде |
|
||
|
—0. |
(2.16) |
|
Разбивая тензор деформации на шаровую часть и девиатор и пользуясь формулой (1.3), получим
С/М*№[&(<?, <Ги)8н],ММ = 2^:Д<г. |
(2.17) |
Таким образом, квазистатическая задача М Д ТТ в случае плос кого деформированного состояния заключается в решении урав нений (2.12) и (2.17) при выполнении граничных условий (2.13), которые благодаря (2.14) можно записать в виде
0и *]кт к —5 ”. |
(2-18) |
Упражнение 2.4. Показать, что уравнение (2.17) можно за писать в виде
(IМеN^[В(<т,<ги)<ти]}мм = А | |д(<г,<г„) + |
<г| |
(2.19) |
Упражнение 2.5. Показать, что для изотропного линейного упругого тела уравнение (2.17) с учетом (2.12) можно записать в виде
А<г/ 7 |
= - р ( 1 - 1/')^ /,/, |
(2 .2 0 ) |
или если массовые силы обладают потенциалом |
|
|
|
/ ,/ = - р Г г , |
(2 .2 1 ) |
то |
(1 - и')/) = 0. ■ |
|
А(<т/; - |
(2.22) |
|
Иногда бывает удобно ввести функцию напряжения Эри Ф:
<?и —«гкОьФ.кх + /*>и- |
(2.23) |
Тогда, как нетрудно убедиться, уравнения равновесия (2.12) при условии (2.21) удовлетворяются тождественно, а основные вели чины, связанные с тензором напряжения, можно выразить через функцию напряжений (при отсутствии массовых сил)
<гзз = Я(ти |
= ОДФ, * = |(1 + Я ) ° и = ^(1 + 0)ДФ, |
|
= |
У я ц о ц — -(о// - 0<т//)2 + (Осг//)2 = |
(2.24) |
=- |[(! - 0)АФ]2 + (ОДФ)2.
Тогда остается единственное уравнение для функции напряже ния Ф:
[В(<т, *„)*,«],у = IД | [д(«т, <ти) + з ^ ] (1 + <5)Дф|. |
(2.25) |
Упражнение 2.6. Показать, что для изотропной линейной упругой среды уравнение (2.25) превращается в бигармоническое относительно функции напряжения Ф:
Д2Ф = 0. ■ |
(2.26) |
Обратимся теперь к граничным условиям (2.18). Подставив в них выражение напряжений через функцию напряжений, получим
«/лгТьФ,кх = 5 ”. |
(2-27) |
|
Следовательно, существует такая вектор-функция |
|
|
7> = «лсФ,к , |
(2.28) |
|
для которой |
|
|
АТг _ о |
(2.29) |
|
"57 _ 5 / ' |
||
|
||
Интегрируя эту функцию по длине дуги контура, |
получим 7/, |
а следовательно, частные производные Ф,# и саму функцию Ф, выраженную через 5°. В самом деле, из (2.28) следует, что
Ф,лг = Т/е1К. |
(2.30) |
Так как |
|
Т,1 = 1 5°1А8, |
(2.31) |
г |
|
то |
|
|
(2.32) |
г |
|
и поэтому |
|
Ф = |
(2.33) |
Кроме того, нормальная производная от функции Ф имеет вид |
|
^ = Ф'КПк = (■1кпк ^ 3° Ав. |
(2-34) |
г |
|
Итак, граничные условия для функции Ф из уравнения (2.25) име ют вид (2.33) и (2.34). Произвольная постоянная, возникающая при интегрировании по контуру, значения не имеет, ибо напря жения определяются двукратным дифференцированием функции Ф. Заметим, что все сказанное справедливо для односвязных об
|
|
ластей, ибо, как уже отмечалось |
|
|
|
в гл. 1 , для многосвязных облас |
|
|
|
тей уравнения совместности явля |
|
|
|
ются только необходимыми, но не |
|
|
|
достаточными. |
|
|
|
Легко установить |
физический |
|
|
смысл функции Эри. |
Пусть от |
|
|
счет длины дуги происходит от |
|
|
|
некоторой точки О, лежащей на |
|
|
|
контуре, и нас интересует значег |
|
|
|
ние функции Ф в точке М (х к1 ) при |
|
|
|
5 = в! (рис. 1 1 ). |
|
|
|
Применяя интегрирование по |
|
|
|
частям, получим |
|
|
»1 |
|
|
|
Ф = У й х к |
к 1 5 ? * = |
|
|
о |
О |
|
|
9=9\ |
«1 |
|
|
|
|
|
= ХК^1К I Ьт |
— / |
(к = С1к ^ (х к — х к ) - (2.35) |
|
о |
>=0 0 |
|
|
Таким образом, значение Ф в точке М {х1к ) — это момент отно сительно этой точки от нагрузок, распределенных по контуру от « = О ДО 5 = «!•
В заключение заметим, что плоское деформированное сос тояние практически осуществляется в длинных цилиндрических телах под действием нагрузок, ортогональных к оси цилиндра и не изменяющихся по его длине.
Плоским напряженным состоянием называется состояние, при котором компоненты тензора напряжений подчиняются условиям
|
<г,3 = 0 (» = 1 , 2 ,3), <ти - |
<ти{хх, * 2). |
В этом случае |
|
|
Г 77’ |
ги = ф «//*// + д(<7//)2, |
«13 = 0, 833 = —-<Тц. |
|
|
|
(2.36)
Коли и здесь считать справедливыми соотношения (1.1)—(1.3), то получим
|
с/з = 0, |
еаз = Р еп , |
|
Р = |
[1 - ЗВ(<т, <ти)К ] [2 + 3В (с, <ги)К ]~ 1 = |
|
|
= (А (в ,е и) - 3К ] [2А ( 0 ,е и) + ЗК]-\ |
(2'37) |
||
9 = |
^ = (1 + Р )еп , |
еи = у е ц е и + е^. |
|
Следовательно, и в этом случае, если известны компоненты дву мерных тензоров напряжений «//, с и и деформаций е й , е й , становятся известными и трехмерные тензоры напряжений и де формаций.
Упражнение 2.7. Показать, что в случае изотропной линейной упругой среды справедливо соотношение
|
и |
(2.38) |
гзз = —------- е ц . |
||
1 |
—V |
|
Упражнение 2.8. Показать, что в случае малых упругоплас тических деформаций справедливо соотношение
Ф(е„) - 3К
(2.39)
Е зз~ 2Ф(еи) + З К е 11
Упражнение 2.9. Показать, что закон Гука для плоского на пряженного состояния для изотропной среды может быть записан в виде двух взаимно обратных соотношений
|
~ ^ 1кец (т кь), |
(2.40) |
<Ти ~ ~ - и 2 |
+ |
(2.41) |
|
Заметим, что формально соотношения (2.40), (2.41) отличаются от соотношений (2.10), (2.11) только заменой упругих постоянных Е' и и' (2.9) на Е и и соответственно.
Заметим также, что в случае плоского напряженного состо яния уравнения совместности, которые не обращаются тождест венно в нуль, представляют собой помимо уравнения (2.16) еще и уравнения
= 0. |
(2-42) |
Уравнение (2.16) можно переписать, используя соотношения (1.1)— (1.3), в виде (2.17) или (2.19). Однако напряженные состояния,
удовлетворяющие уравнениям (2.42), редко осуществимы практи чески. Поэтому обычно вводится понятие обобщенного плоского напряженного состояния. Для этого состояния поверхностные и массовые силы 5° и рР{ распределены симметрично относитель но срединной плоскости (т.е. плоскости, проходящей посередине между двумя плоскостями, ограничивающими рассматриваемое тело, причем расстояние Н между этими плоскостями считается существенно меньшим по сравнению с другими линейными раз мерами рассматриваемого тела) и являются четными функциями от хз, а 5| = 0, рРз = 0. Такое тело называется диском. Заме тим, что это название дано не по геометрической характеристике тела, а по характеру распределения нагрузки. Если в том же теле силы действуют ортогонально срединной плоскости, то оно называется пластинкой. Введем усредненные по толщине диска характеристики, учитывая, что <ги — симметричные функции х, а- ^73 — антисимметричные. Тогда
. ь 1 ь .
-- 1
. Ж -
лТПТгч
ч ш ?
Рис. 12
|
* |
|
|
|
й. |
|
|
_ |
|
2 |
|
1 |
У |
< & з , |
1 |
Г |
|
|
|
р р [ |
= |
|
|
к |
} " ' |
* |
|
Н |
/ |
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
к |
(2.43) |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
1 |
} |
ё х ; |
|
о |
|
IX / |
||
|
|
• в ' |
= л |
/ |
|
причем компоненту из пока не определяем. Из третьего уравнения равновесия (2.35) гл. 1 вытекает, что
<гзз,з|*3=±^ = 0. |
(2.44) |
Будем считать плоскости х3 = ±Н/2 ненагруженными. Тогда
<т«|;Гз=±^ = 0. |
(2.45) |
Характер распределения напряжений <г33 и <г/з по толщине диска показан на рис. 12. Отсюда видно, что <г/3 = 0, и можно при нять с достаточной степенью точности, что д’зз = 0. Тогда уравнения равновесия име ют вид
+ рРг = 0. |
(2-46) |
ё и = |
+ «у,/), |
(2.47) |
а компоненту ёзз можно определить следующим образом:
|
* |
|
|
|
ёзз |
! «3,3 ^ 3 |
= ^ [из |
~ «3 ( * 1>Ж2>~0 |
] • (2-48) |
Тогда условия совместности (2.42) для усредненных величин |
||||
|
|
езз,I^ —О |
|
(2.49) |
будут выполнены, |
если положить |
|
|
|
|
из,/./ |
^ = «з,и |
^ |
(2.50) |
В дальнейшем будем опускать черту как обозначение усредненных величин. Тогда, очевидно, можно ввести функцию напряжения Ф по формуле (2.23). Уравнения равновесия будут удовлетворяться тождественно, а уравнение совместности (2.19) примет вид
[5(«т, «ти)Ф,/Д/., = |
| [в(<г,<г„) + д У Дф|, |
(2.51) |
где |
|
|
1 |
1 ДА |
|
<г = Г |
п = -АФ, |
|
(2.52)
= \!<ги&и - д(а-кк)2 = ^Ф,//Ф,/7 — -(ДФ)2
Граничные условия, как и в случае плоской деформации, имеют вид (2.34) и (2.35).
Упражнение 2.10. Показать, что для осесимметричного слу чая в полярной системе координат уравнение (2.26) имеет решение
Ф = С\ + Сг 1п г + С3г2 + С4Г2 1п г, |
(2.53) |
где С), Сг, Сз, Са — произвольные постоянные.!
Заметим, что в уравнение (2.26) и граничные условия (2.34) и (2.33) не входят упругие постоянные. Это означает, что для односнизной области тензор напряжений зависит только от нагрузки и
геометрии тела и не зависит от упругих постоянных. В частности, он одинаков для упругой и линейной вязкоупругой задач.
Упражнение 2.11. Показать, что решение задачи о трубе (задача Ламе) под действием внутреннего давления ра (на радиусе г = а) и внешнего давления ръ (на радиусе г = Ь) для изотропной линейной упругой и вязкоупругой сред представляется в полярной системе координат в виде
_ |
Раа2 ~РьЬ2 |
аЧ 2{ р ь - р д ) |
|
|
<Тгг“ |
62_ д2 + |
(6 2 _ а2)г2 |
- |
|
_ |
Ра« 2 - |
РьЬ2 |
а?Ь2(рь - Ра) |
(2.54) |
|
||||
авв |
Ь2 - |
о3 |
(Ь2 —а2)г2 |
’ |
причем единственное в этом случае уравнение Ламе имеет вид (для радиальной компоненты вектора перемещения и)
|
|
оРи |
1 йи |
|
(2.55) |
|
|
с1г2 |
г с1г |
|
|
|
|
|
|
||
Упражнение |
2.12. Обозначим |
|
|
||
|
о “1- Ь |
|
к |
2 = Г —К. |
|
= |
2 ’ |
Ь —а = к, ^ К' |
(2.56) |
||
Считая ^ малой величиной (так что квадратом ее можно пренеб речь по сравнению с первой степенью), показать, что из (2.54) следует
— (Ра |
„ ч 2 |
Ра+Рь |
: |
Рь)^ |
2 |
||
<Т00 = Ра ~РЪ |
Ра + РЪ |
|
(2.57) |
+ (РЪ ~ Р а )^ , |
|||
откуда видно, что |
|
|
|
|
< <Т00. |
|
(2.58) |
Труба, для которой выполняется свойство |
< 1, называется |
||
цилиндрической оболочкой. |
|
|
|
Упражнение 2.13. Показать, что для несжимаемых матери алов в теории малых упругопластических деформаций решение
задачи Ламе имеет вид [27] |
|
|
|
|
= 2х У |
&т—ра, |
|
|
|
<Т0 0 —2х |
• + / т |
Ра1 |
(2.59) |
|
|
|
|
||
а
<Ггг = ХСГи - ра + 2х ^ ~ <1г,