книги / Аналитическая геометрия.-1

ОТВЕТЫ

2 6 1

— З у — 9 =

0.

3 .

а)

у = х; б)

у = — х; в)

у =

0. 5 .

4х— 3 у — 12 =

0.

7 .45°.

, 0 ‘

f

+

f

=

1-

T

+ i -

=

, *

f +

4

=

! -

l

; |

- |

=

l

!

или

+

-

£

=

. ,

__ | У_

■1

i + J L — _ i

ь

J L

У -

1

If.

20

кв. ед.

12.

45л/8

кв. ед.

3 ^ 4

•

з

+

4 ““

з

~

Т ~

'

13.

а) а =

— b;

б)

а =

ъУъ

в)

а = 6 .

15.

х —

у +

1 =

0.

16.

7х — 2у —

;

— 20 = 0.

17.

Зх +

//— 5 =

0.

>8-

(45/12i*.

24/п)/и;-.

19- а)

б) 0;

в)

г)

0;

Д)

~Q~*» е)

ж)

tg 6 =

— 7; з)

tg б = - ! • ;

и)

tg 0 =

(если

рассматривать

каждую

пару

прямых

в

порядке

их

задания).

20.

90°. 21. 9* + # — 30 =

0,

х — 9// +

24 =

0.

22. 26°30';

71°30';

-82°.

23.

1,

УК,

+

2,

135°,

arete1/,;

arctgVa-

24.

(4,

1).

25. а) у =

2х;

б)

г/ +

3х = 0;

в)

2у =

х и у==—2х.

26.

а) 0 =

3;

б)

/, =

х +

5;

в)

*/=

4 х + 1 1 ;

г) (2 -

/ 3

) * -

(1 + 2 У З ) у +

+

7 +

4 / 3

=

0,

или

(2 +

/ 3 ) х - ( 1

- 2 / 3 ) f /

+

7

- 4

/ 3

=

0;

д)

р +

2х +

+

1 = 0 .

х

2 7 .

5х +

2оу +

1 = 0 ;

х + 5г/ — 5 =

0.

2 8 .

Ь х - А у -

16 =

0.

2 9 .

3у — 1 —;0.

3 0 .

53х -}—202у — 0.

31.

х -|—у — 6 =

0*

х — у =

0.

3 2 .

Ах— 3// — 17 =

0.

3 3 .

Зх — 2у — 7 =

0.

3 4 .

х +

*/=

0.

3 5 .

by — 9 =

0;

9 х — 18r/— 8 =

0;

9х — Зу — 35 =

0.

3 6 .

х — 7у + 1 0 =

0;

х +

3 =

0;

х — // +

4 = 0;

( — 3,

1).

3 7 . у +

2х — 2 =

0;

х +

2// =

2;

t/ =

x.

3 8 . х — г/ +

3 =

0;

х-\-2у — 4 =

0;

7 х - / / +

7 =

0;

( -

2/3,

7/3).

39* .

Из

уравнений

сторон

треугольника

находим

координаты

его

вершин

А (3,

1),

В (0,

4),

С ( — 1,

0).

Определяем,

далее,

середину

стороны АВ\ координаты

этой

точки

равны (s/2,

*/2).

Так

как

медианы

треугольника

пересекаются

в одной

точке,

которая

делит каждую медиану

в отношении

2:1

(считая от

вершины),

то

для

нахождения

точки

пересечения медиан пользуемся форму­

пересечения

медиан ( * / .. 5/,)-

Теперь

остается

провести прямую

через (0,

0)

и (2/а,

5/3),

для

чего следует

применить

уравнение прямой,

проходящей через

две данные точки. Следовательно,

окончательно имеем:

= т г " » или 5х —

— 2у =

0.

40. Зх — Ау =

0.

41*. (2,

0). Указание.

Iз

/а

является

Искомая

точка

точкой

пересечения с данной

прямой

перпендйкуляра,

восстановленного к от­

резку,

соединяющему данные точки,

в его се£едине.

42. (1,

1). 43. (n/f

44.

х - \ - у — 11= 0;_ Зх — у — 16 =

0.

45. (2

2 УЗ,

3).

47. * — У 3//+-

+ 14 =

0. 48. * +

V 3 у -

10 =

0.

50*. 3, (2 »/.„ -

17/„); 7, ( -

5*/,. -

4*/*)-

Указание.

Приведя уравнение данных прямых к нормальному

рнду,

полу­

чаем: 15/17х — ®/17# — 3 = 0 и

— 4/5х —гalsy — 7 =

0, откуда видим,

что искомые

длины

перпендикуляров

равны

соответственно

3 и 7.

Так

как cosa =

х

и

—

sm a =

У

где х и у суть координаты

основания перпендикуляра р, опущен­

-j^-,

ного из

начала

координат

на

прямую, и

a — угол,

образуемый

перпенди­

куляром

с

осью

Ох, то искомые

координаты

будут

найдены

из

формул

х =

р cos a,

у =

р sin а.

Значит,

в

нашем

случае

координаты основании бу-

дут:

* = 3 - » / „ =

21,/1,;

у =

3-( — •/„)= = — 17/„;

* = 7-( — */,) =

— 5’/,;

- 4 * /,. 51. 5, 2. 5 2 . ( 1 , — J-J Д ( —

+

5 3 **

— 4у —25 = 0

и Зх — Ау-\- 5 =

0.

Указание.

Прежде

всего

очевидно,

что

ОТВЕТЫ.

263

Угловые коэффициенты

1

и — 1

найденных

прямых

удовлетворяют условию

перпендикулярности.

61.

3* — # +

55 =

0;

5х+15г/ +

3 =

0.

62.

х + у = 0.

63. (1, —4)

и (З у ,

—1 у ) .

64.

* + Зу+ 7 =

0;

Зх — у +

9=

0 и Эх —

— у — 3 = 0.

65.

Зх + у — 14 =

0

и х + 2у— 2 =

0; х — Зу + 2 = 0

и х +

+ 2у — 14 =

0. 66.

Прямая, перпендикулярная к прямой, соединяющей

задан­

ные точки.

67. Прямая.

К

стр. 99— 105

(гл. IV,

ч.

1)

I. а)

(х + 2)2 +

(</ +

3)2 = 9;

б)

(х -

2)2 +

(у +

З)2 =

25;

в)

( х - 5 ) 2 +

+ (У — 6)

=

13.

2*.

(х — З)2 +

(у +

5)2 =

100.

Указание.

Уравнению

окруж­

ности

(х — а)2+

(у - -

Ь)2=

г2,

должны

удовлетворять

координаты

данных

точек.

Подставляя

последовательно

вместо

текущих

координат координаты

этих

точек*

получим три уравнения относительно неизвестных

величин о, Ь

и г2;

решив

эту

систему,

найдем

искомое

уравнение.

3* .

В = 0,

С= А,

D = — 6Л, £ =

— 4Л,

F =

— 12Л. Указание. Уравнение окружности радиуса 5

с центром

в

точке

(3,

2)

может

быть

написано в

виде (х — З)2 +

(у — 2)2 =

= 25, или, раскрывая скобки и

перенося

все

члены в

левую часть уравне­

ния:

х2-}- у* — 6х — 4у — 12 =: 0.

Так

как

уравнение

Лх2 +

£хг/ +

С//2 +

+ D x + £*/ +

£ =

0

должно выражать

эту же

окружность, то коэффициенты

Еыше

уравнения. 4*.

а)

(2,

— 1),

г =

2;

б)

(—s/4, */*)» г =

5 ^

2 ;

в)

(3,

0),

/•=

4;

г)

^0,

—

, г =

-|-. Указание,

а) Приведя данное

уравнение

к виду

(х— 2)2 +

(// +

1)2 =

4,

заключаем,

что

координаты

центра

(2, —

1) и

радиус

равен 2. б) Предварительно разделить

уравнение на 2, а затем поступить

подобно

тому,

как

это

сдельно

в

п.

«а».

5 . х2 + Уг — 2ах — 2ау +

сг =

0.

6.

х2 +

//2 _ 6 х = 0.

9.

7.

х2 + у 2 +

8у =

0.

8.

(x + 5)2 +

Q / -

3 ) 2 =

9

и

(х +

5)2 +

(у +

З)2 =

9*. (х — 4)2 +

(у — 7)2 = 9.

Указание.

Длина радиуса

равна расстоянию центра окружности от данной прямой.

10*. (х — а)(х0— а) +

+

(// — Ь) (i/0 — b) =

r2.

Указание.

Возьмем

искомое

уравнение

касательной

в форме:

у — y0 =

k (х — х0). Для

того чтобы определить угловой коэффи­

циент k

касательной,

дифференцируем уравнение

окружности:

2(х — c)dx +

+

2 (у — b) dy = 0,

откуда ^ | = —

»

следовательно: k =

( ^ j x__x =

У = У о

d= __ х°

в. . Подставляя найденное

значение

коэффициента

k

в уравнение

касательной, приводя все члены уравнения

к

общему знаменателю и прибав­

ляя к левой части сумму (х0 — а)2+

(yQ— b)2, а к правой — равную этой сумме

величину

г2 (точка

(х0, #0) лежит

на

окружности,

а

потому

координаты ее

получим

уравнение

касательной:

(х — а) (х0 — а) + (у — Ь) (у0— Ь) = г .

II.

х0х +

у0у =

г2.

12.

4x +

3j/ — 30 =

0.

13*.

х — Зг/ — 10 =

0 и

3х — у +

+

10 =

0.

Указание. Уравнение касательной

возьмем

в

форме

х0х +

усу =

10,

где (х0, у0) суть координаты

точки касания.

Значения

этих координат найдем

из

двух

условий:

1) координаты

(х0,

у0)

должны

удовлетворять

уравнению

окружности

(точка касания лежит

на окружности) и 2) точка (—5, —5) лежит

на касательной,

а потому ее

координаты должны

удовлетворять

уравнению

касательной.

Таким

образом,

получаем

систему

двух

уравнений относительно

*0,

у0:

Хд +

г/д= 10, 5х0 + 5г/0 =

— 10.

Решив

эту

систему, найдем

две

пары

значений:

х0= 1 ,

У0 =

— 3

и х0 = — 3,

yQ=

1.

Подсгавляя

эти

значения

264

ОТВЕТЫ

в уравнение касательной,

получим касательные:

х — Зу — 10 = 0

и З х — f/ +

+ 10 = 0.

14. х + 2// + 5 =

0 и 2х — 11^ + 25

=

0.

15*. а) 2х +

3у±: 13 = 0.

У казан и е.

Координаты точки касания найдутся

из

двух условий:

1) эта точка

1) в центре окружности,

2) в данной

точке М и

3)

в

точке касания. Поэтому величина d2 определится как раз­

ность между квадратом гипотенузы (расстояние между

центром окружности и данной точкой М) и квадратом

радиуса окружности. Таким образом, будем иметь:

d2 =

=[(7 — 2)2 +

(8 — З)2] — 14, откуда d =

6.

17.

а) Окруж­

ность (х — З)2 + у2=

9.б)Окружность (х — 2а)2 +

уг = 4а2.

,8- а) й

+ Г б = 1:

m

— 1.

и\

Т

_

1.

б>

о 5 Т - о — *• ®) Т5 +

—

'•

.

_

+ ^ =

е)

* + £ - 1 .

Г'

ЮО-* 64 ~

*' Д)

100

^

ЯИ-- 1»

ORT п -- 1»

1

3 6 ~ " ’

25

1

9

X2

f/2

. 19. 3) Большая ось эллипса равна 10, а ма­

ж)- - + ^ = 1

лая

ось

8;

Fx (3,

0);

Fz (—3,

0);

е =

0,6.

б)

Боль­

шая ось

эллипса

равна

12,

а

малая

ось

4;

F,

(0,

4 У~2);

F, (0,

? — 2 / 2

—4 УТ) (рис. 148), е =

3

20.

21^2.

22.

tn .

6)

;

в)

=

У

1 - е г.

(х — 5)2

’

„

; г) 0,8. 2 1 . -

1 2

(х — 5)*

.

уг

о

а

25

+

Y g= 1, или

1

в зависимости от того, лежит ли на оси Оу

25

1 (25/4)!

( х - 8)2

,

(у + 5)2

( х - 8 ) 2

малая или большая ось

эллипса.

2 3 .

:1.

24.

■(У ~ 5 )

64

1

25

-----

64

1

1.

25. Ни одной;

две;

одну.

26.

х — 3 // + 1 2 =

0.

27. (5,

—4).

1

9t9lи

0

и

х — Ъу — 9 = 0.

Указание.

Обозначим

координаты

28*.

х-\-у — 3 =

точки

касания

через

xlf ух.

Тогда

уравнение

касательной

будет иметь

вид:

^О- + - =о^ = 1 .

Таким

образом,

задача

сводится

к

нахождению

координат

точки касания. Так

как

касательная

проходит

через

точку

(4, —1), то коор-

динаты Х|, ух должны удовлетворять уравнению

4*|

ух

,

^

другой

сто-

О

— - ^ = 1 .

С

и

"роны,

координаты

х„

ух должны

удовлетворять

уравнению

эллипса:

—1+

+

у г

Решая

полученную

систему

уравнений

относительно

х„

ух,

нахо­

- ^ = 1 .

дим координаты точек касания (2,

1)

и (*/„— */,).

Подставляя

найденные

значения координат xlt

ух в

уравнение

касательной,

получаем

касательные

х-\-у — 3 =

0 и х — Ъу — 9 =

0. 29. х +

3 =

0 и х — 6# + 9 =

0. 30*. Зх —

—У"±z7 = 0.

Указание.

Координаты точки

касания

можно

определить

из

ОТВЕТЫ

265

или

£

+ £ - \

^ I

У* __ *

35.

v

r

36.

* . + £ = и

34. -5 +

4 - 1 .

~

9

4 0 ^2 4

144 ‘ 80

37.

Xs

ус

38*. Ьх-\-§у _ л — 0.

Указание. Если обозначим через fc,

25”Ь 'д ':::=^

угловой

коэффициент

искомой

хорды,

а

через

kz — угловой

коэффициент

диаметра,

имеющего

направление kz, можно представить в виде

y = k2x.

Вследствие

того,

что

диаметр

должен

проходить

у

через

точку (1,

1)

(он сопряжен

хордам,

имею­

щим направление klt и следовательно, должен прохо­

дить

через

середину

искомой

хорды),

координаты

(1, 1) должны удовлетворять уравнению

y = ktxt

откуда получаем: kz=

1 и kx=

— 5/в. Следовательно,

уравнение искомой хорды будет: у — 1 =

— 5/в (х— 1),

или 5х + 6у — 1 1 = 0 .

39. 5х — 4у — 14 =

0.

40. ^ \

• 41*. Концы диаметра симметричны от­

носительно начала координат,

т. е. координаты концов

одинаковы по абсолют­

ной

величине,

но

противоположны

по

знаку.

Поэтому, если

координаты

одного из концов диаметра обозначим через х,,

уи

то

координаты

другого

конца будут — х„

— ^.Следовательно,

уравнения

касательных,

проведенных

в концах диаметра,

*

хх.

.

уу*

,

и

хх,

.

уу.

,

будут иметь в

и

д

=

1

+

от­

куда видим, что угловые коэффициенты_этих прямых

равны.

42. y = 2z Зх.

43. 60°. 44. kt =•/,;

ft,= — 1; 4 ] / | - ;

у = .

45. 2 /3,

4УТ.46* .у=

= ±

— х.

Указание.

Пусть

y = ktx

и

y = k^

будут

уравнения

искомых

а

осей.

Следовательно,

kt =

— kv

Поэтому

kxkz=

— k\ — —

,

откуда

Л, = 4 -

—

и k. =

— — . 47. у = ±

Зх. 48.

о

49*.

Эллипс.

Указание.

1

1

а

а

принимаем

за

оси

Стороны

прямого

угла

координат. Цолагаем АМ = а и

ВМ = Ь.

Из

рис.

149

мы

имеем:

х

sinMA/V,

и

cos/VMW, откуда

— =

-|- =

yl

/|1

т. е. точка

М описывает1эллипс. Если

точка М совпадает с

се-

—-—I—=- = 1,

аг

1

Ьг

АВ,

то

а =

Ь,

и

мы

имеем

окружность:

хг -\-уг=

а\

сединой

отрезка

50.

г

5

_я

ч

х8

уг

,

хг

уг _. . х*

уг

:3 - / Г с о 5 ф '

5,‘ Э)

2 5 _

1 б

36

13

’

25

24'

- 1>

- 1: б) м

9 л

г) Ж

-

^

=

1;

Д)4

-

Х

=

1: е)

£

- 4

=

1- 52. а) Действительная

ось

гиперболы

равна 24, а мнимая ось

10;

FX(13, 0);

Fz (— 13,

0);

13

е =

.

б) Действительная ось гиперболы равна 6, а мнимая ось 8; Fx(0, 5);

Ft (0, — 5)

(рис. 150);

е =

.

5 3 * а)

е cos

=

1;

б)

-^ =

Уе* — 1.

54*.

5у — 2 х = 0 .

2 6 6

ОТВЕТЬ*

гиперболы равны 1^29. 55. гх =

6;

г2 =

14.

56. ^ ------^ -= 1 .

5 7 .x — I/—2 =

0;

х — у-\-2 =

8.

58. х — у — 1 =

0;

9х +

Ъу — 23 =

0. 59.

З х — 2 р ± 4 =

0.

62*. 1) Ь.

2)

Обозначая через

(х,

у)

координаты

произвольной точки гипер-

Рис.

150.

болы

и через

dx

и

d2 отклонения

этой точки

от

асимптот, будем

иметь:

,

bx + ау

и

,

Ьх — ау

. . .

\

I Ьгх2— а2у2

а2Ь2

dx=

г — =

d2= - 7= = ,

откуда

Уаг + Ь2

Уа2 + Ьг

63.

а:

е2 -

1

=- = £ = .

64. £ - £ = 1 .

65. 2х — у ±

1 = 0.

y V - ^ 1

15

б

66‘

1 5 - Г 0 = 1 -

6 7 .

е = / 3 .

6 8 .

2х — у =

0

и

х — Зу — 0, а

также

б)

X2

t/2

1;

X2

If2

^ 2 .

Правая

ветвь

и2

— у

=

в) 25—

гиперболы х5— ^ - = 1 .

73.

х2 — р2 =

а2,

если

координаты,

заданных

точек

(а,

0)

и

(— а,

0).

74. тх +

xzQy =

2тх0.

75.

а)

уг=

16х;

б)

уг =

8х; в)

у2 =

— 8х;

г) х2=

12р;

д)

х2= 8г/;

е)

хг — — 8у\

ж)

у2 =

6х — 9;

з) x* = 6f/ — 9.

76.

а)

(у— Ь)2 =

=

2р ( х — а);

б)

(*/— Ь)2=

— 2р (х — о);

в) (х — а)2=

2р (р — fr); г) (х — а)2=

=

— 2р ( у - Ь ) .

77.

//2= — 4х.

78.

(х +

2>2=

— 32 (г/-

1).

79.

2р.

80*. 3х — у — 1 1 = 0 .

Указание.

Уравнение хорды напишем

в виде: у — 1 =

=

А (х — 4).

Уравнение

диаметра,

сопряженного хордам,

имеющим направле-

ние

kt

есть

р =

3

Так

как

этот

диаметр

должен

пройти

через

точку

— .

(4, 1), то будем иметь:

1 =

3

откуда определяем

£ =

3.

Таким образом,

— ,

получаем

искомое

уравнение

хорды: у — 1 = 3 ( х — 4)

или

З х — у — 1 1 = 0 .

81. 4х +

// + 3 =

0.

82.

у =

+

4.

83.

2 x - 2 y + 5 =

Q и

8х +

4*/ +

5 = 0.

ОТВЕТЫ

2 6 7

84.;,(9,

6 .Т£ОДг‘85а..х.-(-9-|~ 1 =

0 ,и * 4 -3 0 +

9 = 0 .

86.

а) 2х —0 +

2 =

0:

6) х-\-у

8 7 -

Парабола,

фокус

которой

лежит

в

данной точке

и

дирек!рисой которой служит данная прямая.

К

стр.

125—127 (гл. V, ч.

1)

I. а) (— 2. —

6);

б) (— 2, . 4); в) ( 6 , - 6 ) ;

г)

(6,

4).

2. (12, — 22); (— 12, 22).

3 . (3, — 3); (— 3, 3).

4. (— 7, 5).

5. а) х = Х; y = — Y; б) х = — X; у = — У.

6 . дг=К ;

у =

Х.

7 . Х =

+

2,

К =

0.

8 . На угол в 135°

или

в 315°. Тогда

координаты

точки М

будут

соответственно;

Х = — У

2,

Y = — V 2; Х =

=

+ У ~ 2 ,

К =

4 - 1 ^ 2 . 9. Уравнение не изменит своего вида. 10* XY = — у .

II-

X2 — К2 =

2.

12.

Y =

4X2.

Вершина

О,

(1,

1).

Новые

оси

координат

имеют

направления

старых

осей.

13.

У =

— ЗХ2.

Вершина

Ох

.

Новые

оси

координат

имеют

направления

старых

осей.

14.

XY =

— 5.

Центр

(—4,

2).

Новые

оси

координат

имеют

направления старых

осей.

15.

а)

У2=

3

„

новое

-

/11

,

3 \

..

Y2 =

.v

новое начало

— у Х ,

начало Ох

— у ^ ;

б)

4л,

1!:. “

■

координаты

вершины.

N \

л

ч ,

( 4 M P - N 2

симметРии параллельна

I ----- 4/Й------•

— 2М) * °СЬ

оси Ох. 17.

a)

(JC— 1)*=

=

у ( <

/ - 6);

б) <* +

3)1=

- (

у

- 2);

в)

(у +

4)’ =

2 (* +

2);

г)

(0 +

1)‘ =

=

1

18. a)

(x 4 -2 )z

-\~уг = \\

эллипс с

центром

(—2, 0) и

полу-

-----2 (jc-f-4).

v

^

•

осями 2

и

1;

_2)* (ц__З)2

- =

1;

эллипс

с

центром

(2,

3)

и

полу-

б) -— з—

-

/—

О

— 4)2

1 0

4;

в)

v

и2

1;

гипербола

с

центром

(4,

0),

действи­

осями 2 у

2 и

^

-----у

=

тельная

полуось равна

4,

мнимая

2;

г)

(у — З)2 — (х — 1 )2 =

8;

равносторонняя

гипербола

с

центром

(1,

3),

полуоси

равны 2 У~2,

действительная

ось парал-

лельна оси ординат. 19. а)

х2 — у2 =

1;

х2

и2

в)

У~2

б) — — у = 1 ;

Уг = —т>— Г*

г)

у2

у*

д)

у*

II*

е) 13yJ—

108

Jt~

0’

(ВсюдУ х и У означают

1 = 1;

координаты

в окончательных осях.) 20. Второго.

К стр. 150—151 (гл. VI, ч. 1)

у =

I. —4;

8; —48;

ab\

—2(х3 +

*/3);

(х —

у)

(у — г) ( г — х).

2 .

а)

х = \ ;

0; z =

1; б) х = а; у = 1; z =

— 1;

в)

x = 7k,

у =

— 2k\

z = — 5k,

где k

произвольно;

г)

x = y = z =

0;

д) x =

ljs

( 9 — 7z)

у = Чs

(1 -f-2z), 2 произ­

вольно;

e) Система

несовместна.

3 .

4

кв. ед.

4 . Да, лежат.

5 . х +

4у — 1 1 = 0 .

‘ *i

Ух 1

6.

*2 Уг

1

i

*1 Ух 1

hc= ± -

Уг

1

7‘

~

2

*г Уг 1 8. Против часовой

стрелки. 9 . a) cos (а

+

X, У3

1

р); б) sin (a +

Р); в) 0. 10. ACF -\-2BDE— АЕ2— CD2— FB2,

II.

хк =

2, х 2 =

3;

б)

хк=

2, х2 = —у

; в) х =

2.