книги / Аналитическая геометрия.-1

§10]

КОНУС 2 -го ПОРЯДКА

251

а их вершины имеют

координату z =

Л2

Так как

уравнение пара­

болы (27), расположенной в плоскости

xOz,

при x — h

дает

то же

значение

для z , то отсюда заключаем,

что

вершины

парабол (28)

расположены на параболе (27) (рис. 124).

Таким

образом,

гиперболический

параболоид

(V)

можно

рас­

ось

симметрии

которой

ос­

тается

в

плоскости

xOz,

а вершина

движется

по па­

раболе

(27). Плоскость

па­

раболы

остается

параллель­

ной

плоскости yO z. Пересе­

кая гиперболический парабо­

лоид (V) плоскостью

z — h,

получим в сечении гипер-

болу, уравнения которой бу­

дут:

Р

— -£ -= 2 А , z = h.

Я

При

Л^>0

действительная

Рис* 124*

ось

симметрии

гиперболы

h<^ 0 действительная ось сим­

будет

параллельна

оси

Ох, при

метрии гиперболы будет параллельна оси Оу.

Плоскость хОу дает

в сечении

с

поверхностью (V) линию

- £ - ■ £ = 0 ,

* = 0 ,

уравнения которой

р

я

на

две пары уравнений:

распадаются

^ = + ^ =

=

°.

2 = 0

У р

У я

и

— _____=L_— о

z — О

У

р

У д

щихся прямых. Прямые сечения плоскостью

z = 0

служат

как бы

переходом от одного семейства гипербол

(получающихся в

сечении

плоскостью

z = h при

/ г > 0 ) к другому

семейству.

Так как

уравнение

(V) содержит только

квадраты координат х

и у , то плоскости xOz и yOz являются

плоскостями

симметрии для

поверхности.

2 5 4

ПОВЕРХНОСТИ 2-ГО ПОРЯДКА

[гл.

VI

Кроме того,

можно доказать, что через каждую

точку однопо­

лостного гиперболоида проходит по одной прямой

из каждого

из

этих семейств (рис. 129 и 130).

Рис. 129.

Рис. 130.

Р

Я

также

располагаются

два

семейства

прямолинейных

образующих

(одно из них изображено на рис. 131).

Их

уравнения

_*______У .

У Т

У я "

*

I___У___J_

У р

^ У я ~

1

’

•7 =

----- J L

—

21Z ,

У р

У я

где

k и

/ — произвольные

параметры.

Через

каждую точку

поверхности

проходит

по

одной прямой

каждого

семейства.

Наличие прямолинейных образующих у однополостного гипербо­

лоида используется в строительной технике. Идея

такого использо­

вания

и

практическое

осуществление

ее принадлежат

известному

УПРАЖНЕНИЯ

255

(1896).

Высокая прочность

таких

конструкций

в

соединении

с легкостью

определила

их

большое

распространение

в

нашей

стране

и за рубежом.

Упражнения

1. Составить

уравнение

поверхности, полученной от

вращения

прямой

линии у = х вокруг оси Ох.

JE*

О*

2*

2.

Составить уравнение

линии пересечения конуса

+

— ^- = 0

Ах1-f- 2Вху + Суг + 2Dxz 2Eyz -f- Fz2 =

О?

6. Какую

поверхность определяет уравнение х2+ i/2+

4z2— 1=

0?

7.

Какую поверхность представляет уравнение х2-\-у2— г2— 1=

0?

8. Какую

поверхность определяет уравнение х 2 — у2— г2— 4 = 0?

9.

Какая

поверхность определяется уравнением z =

x* +

#2?

10.

Составить уравнение цилиндрической поверхности,

образующие кото­

К

стр.

33 — 35 (гл.

I,

ч.

1)

(2,

2. (5, 2). 3. ( -

4, 2). 4. (о,

— Ь). 5. ( -

а,

Ь).

6. ( — а,

— Ь).

8 .

(О,

0),

0), (2,

2),

(0, 2) или

(0,

0), (0,

2),

(

-

2,

2),

(

-

2,

0), или

(О,

0),

(

-

2,

0),

( -

2. -

2), (0, -

2),

или (0, 0),

(0,

-

2),

(2,

-

2),

(2, 0),9 .

( У 2 ,

0),

(0, / 2 ),

( — У~2,

0),

(О,

- V 2 ) . 10.

(3,

0),

(0. 4 ) , _ ( - 3 ,

0),

(0, -

4 | или

(4,

0),

(О, 3), (-4 .0 ). (О,

— 3). II. (а. 0). ( у .

р

р

) ,

(

—

р р ) , ( - а , 0 ) ,

( - ! •

-

Т

2

)

’

2

7

'

« .

«

=

УТ8.

. =

•?■

—

'

4

13. /_А — тупой.

15. 10 +

2 / 5 .

16.

УТЗ,

yio,

1.

17.

* =

— 14,

у =

17.

18. ( - 3

,

4;

0). 19. (15,

15), или

(3,

3).

20.(1,10), или (

- 11,

10). 21. ( - 3 , 9 ) .

22.(4,

5);

( - 2 ,

- 3 ) .

23. (•/„

•/,).

24. ( - 3 ,

- 5

)

или

(2,

- 7 ) .

-

±(<*±Уь*

■Л2)

h

26*.

Обозначая

координаты

середины

25. х=

2

—

’ » =

2 '

стороны

ВС через а и 6, получаем

а — — 1,

6 =

4.

Так

как

медианы тре­

угольника пересекаются в точке, в которой каждая

из них делится в отно­

шении 2:1

(считая от

вершины,

из которой

проводится

медиана), то

коорди­

наты (*, у)

искомой

точки

по

формулам

(6) и (7)

будут: х =

—-У -т -т —— =

1

2 +

2 - 4 _ 1 0

27.

(3,

-4),

(4,

- 2 ) ,

(3,

-

6),

(2,

- 4 ) .

= ~ 3 ’ yz

2 + 1

28. х — *1+*2 +

*3

■У\ +

Уг +

Уз

30.

8/2

кв.

ед.

31.

33,5

кв. ед:

32.

Лежат. 33. Р = 1 3 ,

ф = arc tg

34.

+

5

+

/17);

y

(7 +

/ l 7 ) j

35.

Расстояние

центра

тяжести от

большего

основания

равно

h(2b +

a)

3 (а+Ь)

а2+

ab +

Ъг

а от стороны, перпендикулярной к

основаниям,

36. Л (1,

1),

3 (а+Ь )

'

В(2. 2УЗГ,

С

( - 4 ,

4).

£> (У З!

- 1 ) ,

E (J

>

Р

) *

37.

Л^УТЗ,

t g{ ~

i )

) '

с <3-

°)’

D( 4 ,_ ^ ) •

ОТВЕТЫ

2 5 7

К

стр.

44 — 45

(гл. II, ч. 1)

I*. Из уравнения кривой непосредственно видно, что

кривая

симме­

трична относительно оси Оу: перемена

знака

при х не изменяет

значения у,

так

как

х содержится в уравнении

во

второй степени.

Так

как

значение

у =

0 не удовлетворяет

уравнению

кривой, то

кривая

не

пересекает

оси Ох.

Решим теперь

уравнение

кривой

относительно у:

у==

4а2+ х

Считая

постоянное

а >

О,

замечаем,

что

при

всех

значениях

х

ордината # > 0

это

означает,

что

кривая

целиком

расположена

в

верхней

полуплоскости

Из этого же выражения видно

также, что с возрастанием аб­

солютной

величины х ордината

у уменьшается. При

х =

0

ор­

дината у =

2а. Произведя такое

исследование уравнения

кривой

и построив

некоторое

количе­

ство

точек

кривой,

координаты

которых

определим непосредст­

венным вычислением одной из

Рис.

132.

текущих

координат по

данным

произвольным значениям другой,

убедимся,

что

кривая

имеет

такой

вид,

как

изображено

на

рис. 132.

значение.

2*. Полярный радиус г достигает

наибольшего

значения,

когда

sin 2ф

имеет наибольшее значение,

что

наступает,

когда

sin2< p = l,

т. е.

когда

ф =

45°,

225°

и т. д.;

тогда г = 1 0 . Полярный радиус г принимает наи­

меньшее

значение,

когда

э т 2ф

получает

наименьшее значение, что имеет

место,

когда з т 2ф =

— 1, т. е. когда

ф =

135°,

315°

и т. д.

Это

наименьшее

значение г есть

— 10.

Когда

ф =

0°,

90°,

180°

и

т.

д.,

тогда

г =

0.

Теперь

следует построить ряд

точек

кривой,

координаты

которых

можно определить

непосредственным

нахождением

одной' из

них

по

данным

произвольным

значениям

другой.

Кривая

состоит из четырех петель, как

показывает при­

лагаемый

рис.

133,

и по

этой

причине

и

называется

четырехлепестковой

_

_

розой. 6. Ъх — Зу

17 =

0.

7.

у =

- - f- 2. 8 . Ок-

ружность х2

у2 =

12х.

х2

у2

1 (эта

кривая

9-

=

называется

эллипсом).

10*.

Прежде

чем

состав­

лять

уравнение

кривой, нужно

выбрать

систему

координат. От выбора системы координат

зависит

большая

или меньшая

сложность

искомого

уравне­

ния. Так,

ранее мы видели, что если начало координат

Рис. 133.

поместить в центре окружности, то уравнение ее бу­

дет иметь более простой вид, чем при

другом выборе

системы координат. Правил,

которыми

можно было бы

руководствоваться при

выборе системы координат, не существует, и уменье делать

наиболее

удобный

выбор дается только

опытом. Для

составления

искомого уравнения в данном

точки Р и Q (тогда будут весьма просты координаты точек Р и Q), за

ось Оу

принять прямую, делящую пополам отрезок PQ (равноправность

точек Р и Q

позволяет предполагать симметрию кривой).

Пусть х и у будут координа­

тами произвольной точки М, лежащей на

искомой кривой (рис. 134). Эго

значит, что

х и у будут текущими

координатами. Составить уравнение кри­

вой (геометрического места) — это значит

выразить при помощи

формулы

(уравнения)

геометрическое свойство

кривой. Это достигается

при

помощи

2 5 8

ОТВЕТЫ

установления соотношения

между, текущими координатами и постоянными

тельно, нам

нужно установить соотношение между х, у

и постоянными тг

и п. Из

определения геометрического места следует

(рис. 134):

PM-QM =

т2.

Выражая

длины

отрезков

РМ

и

QM по формуле расстояния между двумя

точками

[координаты точек

Я и Q по отношению

к выбранной

нами системе

координат будут

Р ( — л ,

0), Q ( +

n, 0)], получаем:

У(х +

п)г +

уг' У ( х - п ) г + у* = • т*.

Эго и есть

уравнение

данного

геометрического

места;

но,

очевидно,

его

щения и т.

п.

Произведя

с этой целью

элементарные преобразования, полу­

чаем: (х2+

*/г + л*+ 2л*) (х2+

!/2+ л2— 2лх) = т 4,

или (х24-*/*-|-я2)2—

— 4я2х2== т \

или (х2+

у*У+

2п2(х2+

у2) — 4я2х2=

т 4— п* и окончательно:

1

и

(дс* -f- у2)2— 2пг (хг — у*) = т 4— л4. Для

построения кривой исследуем

найден­

ное уравнение. Так как замена произвольного значения х в уравнении

кривой

значением, противоположным по знаку,

но равным по абсолютной величине,

значением,

равным по

абсолютной величине,

но

противоположным по знаку,

не изменяет значения х, то кривая симметрична

относительно

осей

коорди­

нат.

Далее,

из

геометрического

определения

рассматриваемого

геометриче­

ского

места

непосредственно

очевидно,

что

эта

кривая

есть замкнутая кри­

вая.

Положив

у = 0,

а затем

х = 0,

найдем

точки

пересечения

кривой

с осями Ох

и Оу9 Построив

ряд

точек

кривой,

координаты которых можно

произвольным

значениям другой, и соединив

их

плавной

линией,

получим

( п р и т > п )

кривую,

изображенную

на

рис.

135.

II*. а)

При

выборе

осей

координат,

как

в

упражнении 10*,

уравнение

лемнискаты

принимает

вид:

(х2-f- у2)2=

2т2(х2— у2),

б)

Если

полюс

совместить

с

началом

прямоугольной

системы

координат,

а

полярную

ось сов­

местить с осью Ох, то уравнение лем­

нискаты

будет

иметь вид:

г2= 2m2cos 2<р.

Указание. Для

вывода уравнения в поляр­

ных

координатах

устанавливаем

прежде

полюс

совмещаем

с

всего

положение

системы

координат:

началом координат

выбранной

нами прямоугольной си­

стемы,

а полярную ось совмещаем с

осью

Ох.

Тогда

будем

иметь (рис. 136):

SM’QM = mz.

Выражая отрезки SM и QM по

известной

формуле

тригоно­

метрии,

приходим к уравнению

Производя

элементарные преобразования,

получаем: (г2 m2)2— 4m2r2cos2<p=

=

r4=

4mV2cos* <p — 2m2r2, или r4=

2m2r2(2 cos2<p — 1), и окончательно:

ОТВЕТЫ

2 5 9

r* =

2m*cos2(p.

Эта

кривая

изображена

на

рис.

137. 12*.

.***/* =

= (у + а)г (&* “

Уг)-

Указание.

Из

подобия

треугольников

ZMjJV,

и

ВАО

(рис.

138) имеем:

=

Так

как

ОВ = х — BNX и

BNX= Y Ьг —

то получаем следующее уравнение —

и

а

- ,

или

■—— = ---------

_______

V b * - y *

x - V b * - у*

xy =

(a -\-y)Y bx — у1,

и окончательно:

&у*=(а-\-у)г(Ьг — tp).

Способ

построения кривой

(рис.

139)

ясен

из ее

геометрического

определения.

На

чертеже

изображен вид кривой для случая

а < Ь.

Кривые

для случаев

а > 6 и

а = Ь вычертите самостоятельно.

Весьма

полезно

убедиться в

У

справедливости

полученных графиков путем

исследования уравнения

конхоиды

13*.//* = л2

—

.

Указание.

Из

рис.

140

имеем:

j-rr- =

■,

AN1 = a-U

а

х

AivJ

А и

+

х,

АО = а,

ОВг =

ВМ1 =

хг +

(у — ОВ)г, откуда

ОВ =

—-I- U'*.

Подставляя

найденные

значения

в

^У

выше

пропорцию,

после элементар­

составленную

ных

преобразований

приходим

к

уравнению

//* =

=

х2°

Х .

Вид

стро(|юиды

указан

на

рис.

141,

из

которого

виден

и способ

построения

кривой.

| 4 *. х*= уг (2а — х). Указание. Из

рис.

142

имеем:

0P =

V * 2+ Уг> ED* = OE-BEt

откуда

EDz

ED =

2a*tg ф =

2а • — ,

ОЕ :

?а

_ 2 аУх* + Уг

ВЕ= О Ё '

' СОБф

X *

260

ОТВЕТЫ

Так как ОР =

£Е , то

чертежа

ясен

и способ построения

кривой.

15*.

г == т +

2а cos <р.

Указание.

Примем

точку

О

за

полюс,

а полярную

ось

совместим с диаметром

OD.

Из

прямоугольного

треугольника

OBD (рис.

144)

имеем:

г = ОМ1=

=

BMt +

OB=

т +

2а cos q>. Следовательно,

искомое уравнение есть: г =

т -f-

+

2acoscp.

Кривая

дана

на рис.

145,

из которого

ясен

и способ вычерчивания этой кривой. На чертеже изо­

бражен

случай

т <

2а.

Кривые

для

случаев

т = 2а и

т >

2а

построить

самостоятельно.

18.

4dx +

R* — г* = 0,

если за ось Ох принять линию центров, а ось,Оу провести через

середину отрезка, соединяющего центры окружностей. 19. Если

за полюс принять вершину прямого угла, а за полярную.ось од-

Рис. 142.

Рис. 143.

Рис. 144.

-=QN = QC — N C = a — a cos Л

где / — угол поворота

окружности (считая

/ > 0 при повороте по часовой

стрелке). 24> x = v t cos a ,

at*

0 = t/fs in a -----