Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Аналитическая геометрия.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2825 26 27 28 > Следующая >>>

Г Л А В А VI

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ. ПОВЕРХНОСТИ 2-го ПОРЯДКА

§ 1. Классификация поверхностей. Так же как и линии на пло скости, поверхности разделяются по их уравнениям в декартовой системе координат на алгебраические и трансцендентные. Уравнение алгебраической поверхности после преобразований может быть при ведено к виду

F(x, У. *) = О,

где левая часть уравнения есть целый многочлен относительно JC, у , Z. Степень этого многочлена относительно х, у , z дает порядок алгебраической поверхности. Можно показать, что порядок поверх

ности	не зависит^ от выбора	координатных	осей. Мы знаем,		что
поверхности 1-го порядка суть		плоскости. Не	касаясь	исследования
общего	уравнения поверхностей	2-го порядка,	мы в §§	5 — 11	этой

главы разберем все возможные типы таких поверхностей, отправляясь от их простейших уравнений.

§§ 2—4 будут посвящены разбору уравнений некоторых часто встречающихся поверхностей, которые могут быть как алгебраиче скими, так и трансцендентными.

§ 2. Цилиндрические поверхности (общий случай). Мы рас смотрели (гл. III, § 5) уравнение цилиндрической поверхности в том частном случае, когда образующие параллельны одной из осей координат. Рассмотрим теперь общий случай.

Как уже было отмечено (гл. III, § 5), цилиндрической поверх ностью называется поверхность, образованная прямыми,— образую щими,— параллельными некоторой данной прямой и пересекающими данную линию L — направляющую. Пусть направляющая цилиндри ческой поверхности определяется уравнениями

F { x , У, z ) = 0, F ^ x , у , z) = 0.	1 4

242.

ПОВЕРХНОСТИ 2-ГО ПОРЯДКА

[ГЛ. VI

Положим, чтр т, п и р суть направляющие коэффициенты образую щих цилиндрической поверхности. Канонические уравнения обра? зующих будут:

X — х

Y — у

Z — z

/0 к

где (JC, у, z) есть точка, принадлежащая направляющей, а Л', К, Z — текущие координаты. Исключая х, у и 2 из четырех уравнений

(1) и (2), получим искомое уравнение цилиндрической поверхности.

П р и ме р . Составить уравнение	цилиндрической		поверхности, образую
щие которой параллельны прямой
x = y — z,
а направляющей служит прямая
дс+у— г — 1 = 0 ,		х — y - \- z =	0.
Канонические уравнения образующих будут:
X - х _Y — у __Z — г
1	1	1 '

Исключим х, у и z из последних четырех уравнений. Обозначая через Q величину каждого из последних отношений, найдем:

X - - X — Q, y = Y — Q, Z = Z — Q.

Подставляя эти значения х , у и z в данные уравнения направляющей, получим:

X + Y - Z - Q - 1 = 0 , X - Y + Z - Q = 0.

Исключая, наконец, Q, найдем:

2Y — 2Z — 1=0.

Это, очевидно, есть уравнение плоскости, проходящей через данную напра вляющую и параллельной прямой x = r/ = z.

§ 3. Конические поверхности. Конической поверхностью назы вается поверхность, образованная прямыми — образующими ко нуса,— проходящими через данную точку — вершину конуса — и пересекающими данную линию — направляющую конуса.

Пусть направляющая конуса имеет уравнения

Р(х, У, Z) = 0,			/=■,(*,	у ,	z) =	0,	(3)
а вершина конуса имеет координаты аг0,				у 0, гй.		Канонические	урав
нения образующих	конуса	как	прямых,		проходящих через		точку
(*о» «Уо» ZQ) и церез	точку	(л:, у ,	z) направляющей, будут:
	Xl) _ Y		</о_ Z		Z Q

х — х 0 ~ у — у 0~~ z —	г 9 •	(4 )

§ 4 ]

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

2 4 3

Исключая

х,

z из

четырех

уравнений

(3) и

(4),

получйм

искомое уравнение конической поверхности. Это

уравнение

обладает

весьма

простым свойством: оно однородно (т.

е.

все

его

члены —

одного

измерения)

относительно

разностей

X — х 0У У— у„

Z — z0.

В самом деле,

допустим

сперва,

что

вершина

конуса

находится в

начале

координат

(x0= y 0 =

z0 =

0). Пусть

У и Z — координаты

любой

точки конуса; они удовлетворяют, следовательно,

уравнению

конуса. После

замены в уравнении конуса X,

У и Z соответственно

через

XX, ХУ,

AZ,

где

Я — произвольный

множитель,

уравнение

должно

удовлетворяться,

так как XX, ХУ и XZ

суть

координаты

точки прямой,

проходящей

через начало координат в точку (X , К, Z)r

т. ё. образующей конуса. Следовательно, уравнение конуса не изме нится, если все текущие координаты умножим на одно и то же число Я. Отсюда следует, что это уравнение должно быть одно родным относительно: текущих координат.

В случае, если вершина конуса лежит в точке (*:<,, у 0, z0), мы перенесем начало координат в вершину, и по доказанному преобра зованное уравнение конуса будет однородно относительно новых

координат, т.	е. относительно	X — х 0,	У— у 0, Z — z^.
П р и м е р .	Составить уравнение кинуса		с Вершинин
и направляющей		и*
	** ,	и*

-Н 5 -+ Т * --1’ г —

Канонические уравнения образующих, проходящих через вершину (0, 0, 0)

конуса и точку (х, у, г) направляющей, будут:

X_= Y_= Z_ х ~ у - Z •

Исключим Ху у и г из четырех данных уравнений. Заменяя г через с, определим я

и у из последних		двух уравнений:			У_
			Х_		У_
			х = с Z *	У =	с z •
Подставляя эти значения х и у в первое					уравнение		направляющей,		будем
иметь:				К1__
				К1__
или			аг Z2 + Ьг Z*		lf
или			*
			*
			Ф + £ - § - = 0 .						(5 )
При а =	Ь направляющей		конической	поверхности		будет		окружность,	и мы
получим	круговой	конус.
§ 4.	Поверхности		вращения.	Положим,		что	в	плоскости	yQz
нам дана линия		L, имеющая уравнение
			П У , Z) =		0.

244 ПОВЕРХНОСТИ 2-ГО ПОРЯДКА [ГЛ . VI

Найдем уравнение поверхности, полученной от вращения этой линии вокруг оси Оу (рис. 119).

Возьмем п р о и з в о л ь н у ю точку М (х , у , z) нашей поверхности и проведем через нее плоскость перпендикулярно к оси вращения Оу.

Очевидно,	в пересечении этой		плоскости		и	нашей		поверхности
получится	окружность	с центррм	N на	оси	вращения.			Координаты
точки N будут 0, у , 0. Радиус			окружности			M N	как	расстояние
между точками N и М		равен У х г -\- zi .		С другой			стороны,		ясно,
что этот радиус является абсолютной величиной							аппликаты		той
		точки	Мг данной		линии		L, ордината ко
		торой	есть у . Следовательно, полагая в
		данном	уравнении
			Y = y , Z = ± V хг -\-г*
		(координаты точки				мы получим			иско
		мое уравнение		поверхности вращения:
			F(y,	± V	s + 7 ) ^ o .
		Таким	образом, мы приходим к следую
		щему правилу:

Чтобы получить уравнение поверхности, образованной враще нием линии L, лежащей в плоскости уО гл вокруг оси Оу, нужно в уравнении этой линии заменить z на ± Y х г -\-z*.

Аналогичные правила будут иметь место и по отношению к по верхностям, полученным вращением плоских линий вокруг других координатных осей.

П р и м ер	1.	Уравнение	поверхности,			образованной	вращением эллипса
			*Л	mZ
			— 4 - — = 1
вокруг оси Ох,	будет:		аг ^ сг
вокруг оси Ох,	будет:			Уг + *г
				Уг + *г		:1.		(6)
Если тот же эллипс вращается				вокруг		оси Ог, то уравнение		полученной
таким образом	поверхности вращения будет				иметь вид:
			^ ' + - £ =			1 .		<6'>
Если д > с ,	то в первом		случае	имеем		удлиненный,	а во втором случае
сжатый эллипсоид вращения.			При а =	с получаем сферу.				гиперболы
П р и м е р	2.	Уравнение	поверхности,		образованной вращением			гиперболы

л*

вокруг оси Ох, будет:

.
г *	*

ar	Уг + * г	: 1.	(7)
ar	cz

Это — так называемый двуполостный гиперболоид вращения.

§ 5]		э л л и п с о и д	2 4 5
Если ту,	же гиперболу	будем вращать вокруг оси Ог, то полученная
таким образом	поверхность	будет иметь уравнение

		(Г)
Это — так называемый однополостный гиперболоид вращения.
П р и м е р 3. Уравнение поверхности,	образованной	вращением параболы
уг= 2рг
вокруг оси Ог, будет:	2рг.	(8)
х2 + у2 =

Эго — так называемый параболоид вращения.

§ 5. Эллипсоид. Мы видели (гл. VI, § 4), что уравнение поверх ности, полученной вращением эллипса

вокруг оси Oz, будет:

х2 + у 2	. г 2	,
а2	"Г с2

Это уравнение определяет поверхность* называемую эллипсоидом вращения. Пересекая этот эллипсоид плоскостью z = h ( |Л |^ с ) , параллельной плоскости хО у, получим в сечении окружность, урав нения которой будут:

х2 + у2	1__—		z = h	(9 )
а2	1	с2 1

и радиус которой равен

Следовательно, при изменении h от значения — с до значения -{-с окружность (9) описывает эллипсоид вращения.

Возьмем теперь вместо окружности (9) эллипс

	V2	//2	/,2	(10)
	1 Г + - Ц Г = 1 - 1 Г , * = А.			(10)
лежащий	в плоскости z = h, параллельной плоскости хОу,			полуоси
которого	суть:
	a Y	1 — ? - и		(in

При изменении h от — с до -{-с этот эллипс описывает поверхность, уравнение которой получим, исключив h из двух уравнений ( 10):

Х‘2 \ у2

г2

х2 , у2

2 4 6 ПОВЕРХНОСТИ 2-ГО ПОРЯДКА- [ г л . V I

Поверхность 2-го порядка, определяемая 'уравнением (I), называется


эллипсоидом,	а величины			Ъ, с — полуосямиэллипсоида.
Пересекая	эллипсоид			плоскостями координат J2T=	0,	у = 0, л: = 0,
получим в сечении			эллипсы:
* + £ = 1 , , =		0 ;	£ +	£ = 1 , ^ = 0; - £ ч ~ £	=	1, * =	0. (12)
Как мы уже		видели,		в сечении эллипсоида плоскостью			z = h%

параллельной плоскости хОу, получается эллипс (10) с полуосями (И).

При изменении

от

— с до

с эти полуоси

изменяются, оставаясь

пропорциональными

полуосям

а и b эллипса, лежащего

пло

скости

хОу

(рис.

120).

Два

эл

липса

с пропорциональными

полу

осями

называются подобными.

Та

ким

образом,

эллипсоид

можно

рас

сматривать

как

поверхность,

обра

зованную

движущимся

эллипсом

(плоскость

которого остается

парал

лельной плоскости хОу), который

при

движении

остается

себе

подоб

ным и концы осей которого скользят

по эллипсам (12) в плоскостях xOz

и yOz.

Рис.

120.

Не

уменьшая

общности,

мы

а = Ь = с, то

можем

считать

а ^ Ь ^ с .

Если

уравнение

(I)

определяет

сферу;

если

a^>b =

ct то

уравнение (I) определяет

удлиненный

эллипсоид

вращения

осью

вращения

Ох;

если

а = Ь^> с,

то уравнение (I)

определяет

сжатый

эллипсоид вращения с осью вращения Oz. Если среди чисел

а, b и с

нет равных, то эллипсоид называется трехосным.

Уравнение (I) содержит только квадраты координат, откуда

следует, что эллипсоид симметричен

относительно начала координат,

а плоскости координат суть его плоскости

симметрии, так

как

если

некоторая

точка

М (х, у , z)

находится

на

эллипсоиде,

то

и точки

b b * ,

zhУу db^)

находятся

на

эллипсоиде

при

произвольном

выборе

знаков

координат.

§ 6.

Однополостный

гиперболоид.

Уравнение

поверхности,

полученной от

вращения

гиперболы

£1

около

оси

Oz,

будет:

а2

хш+ У'

§ 6]

ОДНОПОЛОСТИЫЙ ГИПЕРБОЛОИД

2 4 7

(гл. VI, § 4). Эта уравнение определяет поверхность, называемую

однополостным гиперболоидом вращения. Пересекая его плоскостью z = h, параллельной плоскости хОу, получим в сечении окружность, уравнения которой будут

х2+ У2_i , V	z — h	(13)
аг — 1 » ^ >

и радиус которой равен

h*_

сг

Следовательно, при изменении Л от — оо до -f-oo окружность (13) описывает однополостный гиперболоид вращения.

Возьмем теперь вместо окружности (13) эллипс

+ г = 1+ - 7Г , 2 = /г,

(14)

лежащий в плоскости z = h, параллельной плоскости хОу, полуоси которого суть:

(15)

При изменении h от — оо до -[-оо этот эллипс описывает поверх ность, уравнение которой получим, исключив h из двух уравнений (14):

аг 1 Ъг	1 с2 * или	*2	\| У2	(И)
		а2	*" Ьг

Поверхность 2-го порядка, определяемая уравнением (II), называется

однополостным гиперболоидом, а величины а, Ъ, с — его полуосями. Пересекая поверхность (II) плоскостями координат z = О, у = 0, jt = 0, получим в сечении соответственно эллипс и две

гиперболы:

	аг~ г		Ъг		z = 0;		£ - = 1,		у = 0;
							* = 0.			(16)
Как	следует		из	предыдущего, в			сечении	однополостного гипер
болоида	плоскостью			z =	k, параллельной плоскости				хОу, получается
эллипс	(14)	с полуосями			(15).	При	изменении Л от			— оо до -f-oo
эти полуоси		изменяются,			оставаясь		пропорциональными полуосям а
и Ъ эллипса,		лежащего			в плоскости хО у, и мы можем однополост
ный гиперболоид			рассматривать			как	поверхность, образованную дви
жущимся эллипсом				(плоскость		которого		остается		параллельной

2 4 8 ПОВЕРХНОСТИ 2-ГО ПОРЯДКА [г л . VI

плоскости хОу), который при движении остается себе подобным и концы

осей	которого скользят	по	гиперболам (16)				в	плоскостях xO z, yOz
(рис.	121). Если а = Ь,	то	уравнение		(II)	определяет			однополостный
		гиперболоид вращения с осью вращения Oz.
			Уравнение		(II)		содержит		только	квад
		раты координат, откуда следует, что одно
		полостный		гиперболоид симметричен						отно
		сительно начала координат, а плоскости ко
		ординат являются его плоскостями симметрии.
			§ 7. Двуполостный гиперболоид. Д ву-
		полостный гиперболоид вращения мы полу
		чим, если гиперболу					х2 __ -
					г2		х2 __ -
					с2			1
		будем вращать вокруг оси Oz. Его уравне
		ние	будет	(гл. VI,			§ 4):
					г2	*■ +		* ■ _ ,
					с2		а2	— 1в

Пересекая перпендикулярной к оси вращения ность, уравнения которой будут

хг + уг _ Нг

и радиус которой равен

его	плоскостью	z = h(\ h\ ^ с),
Oz,	получим в	сечении окруж
I,	z = h	(17)
		( 1 8 )

При изменении h от с до -{-оо окружность (17) описывает одну полость гиперболоида, а при изменении Л от — с до — оо окруж ность (17) описывает другую его полость.

Возьмем вместо окружности (17) эллипс

	• £ + £ = £ - 1 .		* = А.		(1 9 )
лежащий	в плоскости	z = h, параллельной		плоскости	хОу, полуоси
которого	суть:		_______
	а	- / - у - -1 и ь	У	I-	(20)

При изменении Л от — оо до — с и от -{-с до -{-оо этот эллипс описывает двуполостную поверхность, уравнение которой получим, исключив h из двух уравнений (19):

хг , уг

гг

Л .......

хг _j_ у2

г *

/ т т

§ 8]

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД

2 4 9

Поверхность 2-го порядка,

определяемая

уравнением

(III), назы

вается

двуполостным

гиперболоидом,

величины а,

Ь, с — е г о -

полуосями.

Пересекая

эту

поверхность

плоскостями

координат

z =

0, у =

х = 0, мы получим

сечении

соот

ветственно мнимое место и две гиперболы:

У = 0;

* =

(21)

- F — * = h

Как

было

выше

сказано,

сечении

двуполост

ного

гиперболоида

плоскостью

z =

параллельной

плоскости

хО у,

получается

эллипс

(19)

полу

осями (20),

когда

| к | ^

с. Отсюда

вытекает,

что

двуполостный гиперболоид мы можем рассматривать

как

поверхность,

образованную

движущимся

эллип

сом

(плоскость

его

остается

параллельной

плоско

сти

JtOy),

который

при

движении остается

себе

по

добным и концы осей которого скользят по гипербо

лам

(21)

плоскостях

xOz

и yOz (рис. 122). По

верхность

симметрична

относительно

начала

ко

ординат,

плоскости

координат

суть

ее

плоскости

симметрии.

При

а = Ь уравнение (III)

определяет

двуполостный

гиперболоид

вращения с осью вращения Oz.

§ 8. Эллиптический параболоид. Параболоид вращения полу

чается

вращением параболы

у г= 2pz

вокруг оси Oz. Его уравнение будет (гл. VI, § 4):

х* -\-уш= 2pz.

В сечении его плоскостью z = h ( h ^ 0), перпендикулярной к оси вращения Oz, получается окружность, уравнения которой будут:


	х г -\-у г =		2phy	z — h		(22)
и	радиус которой равен	\Z~2pfT.				(23)
		\Z~2pfT.				(23)
Следовательно, при изменении h от 0 до -\-оо						окружность (22)
описывает параболоид вращения.
	Возьмем вместо окружности (22) эллипс
	2 7 S + 4 5 - ' .			* = ‘		<24>
(р,	q и h — положительные	числа),		лежащий	в	плоскости z = h,
параллельной плоскости хО у,		полуоси		которого	суть:
	V 2рЛ,		У 2qh.			(25)

250	ПОВЕРХНОСТИ 2 -го ПОРЯДКА	[гд . v r
При изменении h от	0 до -\|- оо этот эллипс описывает	поверхность

2-го порядка, называемую эллиптическим параболоидом, уравнение

которой

получим,

исключив

из

двух

уравне

ний

(24):

£ - +

1 ,

или

2г. (IV)

рг

2qz

Пересекая

эту

поверхность

плоскостями

коорди

нат

z =

0 ,

у =

0 , * =

получим

сечении со

ответственно

точку

две

параболы:

хг =

2рг,

у =

y 2 =

2qz,

x =

(26)

Из предыдущего усматриваем, что эллипти ческий параболоид можно рассматривать как по* верхность, образованную движущимся эллипсом, который остается себе подобным и концы осей которого скользят по параболам (26) (рис. 123);

плоскость эллипса при движении остается параллельной плоскости хО у. Уравнение (IV) содержит только квадраты координат х н у , а потому плоскости xOz и yO z являются плоскостями симметрии

поверхности. При p = q уравнение (IV), определяет параболоид вращения с осью вращения Oz.

Гиперболический

параболоид.

Простейшее

уравнение

гиперболического параболоида имеет вид:

• у - - f - =

0 > > 0 ,

? > < » ,

(V)

т. е. отличается от уравнения

(IV) только знаком при у 2.

Плоскость

координат

xOz пересекает эту

поверхность

по параболе

x 2 =

2pz,

(27)

для которой ось

Oz является осью симметрии

и которая расположена

в положительном

направлении

оси

Oz. Плоскость x =

параллель

ная плоскости yOz, пересекает поверхность (V) по

параболе,

урав

нения

которой будут:

или

x =

/ = - 2 , ( « — £ ) Д

x =

Из уравнения (28) усматриваем, что эти

параболы, расположен

ные в

плоскостях x =

h, имеют

один и тот

же

параметр, их оси

симметрии находятся в плоскости xOz и параллельны

оси

Oz,

ветви

парабол

направлены

вниз

(в

отрицательном

направлении оси

Oz),

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2825 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги