книги / Аналитическая геометрия.-1

где х и z могут принимать произвольные значения.

§ 3. Определители 3-го порядка. Рассмотрим систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными:

Чтобы решить эту систему, исключим из уравнений (10) два неизвестных, например у и z, следующим образом. Умножим данные уравнения почленно на /, т, п и, сложив, определим введенные множители так, чтобы коэффициенты при у и z были равны нулю. Таким образом, сперва получим:

Внося эти значения в уравнение (12), получим в результате уравне­ ние, содержащее одно неизвестное х :

») Полностью проведенное решение системы (10) см. в § 5 этой главы.

Если заменить определители 2-го порядка их выражениями, то получим окончательно для определителя 3-го порядка следующее выражение:

= яА с. + aA c, + аА с» — aA ci — « А с, — « A c.- (16)

Можно указать простое правило составления последнего выра­ жения. Для этого напишем таблицу (15), приписывая к ней справа еще раз первый и второй столбцы.

- Хз Х з- Хз^+дз. +^ %

Возьмем со знаком плюс произведение элементов, стоящих на главной диагонали определителя, а также произведения элементов, стоящих на двух параллелях к ней, содержащих по три элемента (на схеме (17) перечеркнуты сплошной линией). Произведения же эле­

сти произведений дает, как это усматриваем из выражения (16), определитель 3-го порядка, соответствующий квадратной таблице (15).

Пр и м е р . Вычислить определитель

12 3

-1 3 4 .

2 5 2

замене строк столбцами величина определителя, не меняется (равноправность строк и столбцов).

Это свойство может быть выражено так:

Справедливость этого свойства легко проверить, вычисляя опреде­ лители, стоящие в левой и правой частях равенства, согласно схеме (17):

перечеркнутые сплошной чертой, как и элементы, перечеркнутые пунктиром, будут давать одни и те же произведения. Следовательно, в определителе строки вполне равноправны со столбцами, и все остальные свойства будут иметь место как по отношению к строкам,

Это свойство легко проверить, пользуясь схемой (17). Действи­ тельно, при перестановке двух столбцов элементы, перечеркнутые сплошной чертой, займут место элементов, перечеркнутых пункти­ ром, и обратно, что равносильно изменению знака определителя.

111. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (или стро­ ками) равен нулю.

В самом деле, с одной стороны, при перестановке одинаковых столбцов определитель не изменяется; с другой же стороны, в силу свойства 11 он должен переменить знак, т. е. если через А обозна­ чим величину определителя, то Д = — А, откуда Д = 0.

Чтобы установить дальнейшие свойства определителей, введем предварительно некоторые новые понятия. Если из определителя

рядка, который называется манором определителя А, соответ­ ствующим этому элементу. Так, например, минором определителя А,

аг

торого элемента а соответствующий ему минор, взятый со#знаком или — , смотря по тому, будет ли сумма номеров строки и столбца, которым принадлежит данный элемент, четным или нечетным числом. Так, например, алгебраическое дополнение элемента Ьг будет

Располагая сумму, стоящую в правой части формулы (16), по элементам, например первого столбца, получим:

Д = а, (V , — Ьасг) + а* (V . — Ь,сг) а, (Ь,сг— Ьгсг)

или

А = atAt -J- агАг -[- а ,/!,,

где А{ есть алгебраическое дополнение элемента а{.

Легко проверить, что аналогичная формула имеет место и по отношению к любому столбцу, а значит, и к любой строке. Итак, получаем разложение определителя по элементам некоторого ряда (строки или столбца):

( 18)

где большими буквами обозначены алгебраические дополнения эле­

Поступая аналогично, получим из первых трех формул (18) сле­ дующую группу формул:

(19)

а из последних трех:

Написанные формулы (18), (19) и (19') выражают следующее свойство определителя:

IV. Сумма произведений элементов некоторого ряда (столбца или строки) на алгебраические дополнения этих элементов равна определителю, а сумма произведений элементов некоторого ряда (столбца или строки) на алгебраические дополнения соответ­ ствующих элементов параллельного ряда (столбца или строки) равна нулю.

V. Множитель, общий элементам некоторого ряда (столбца или строки), можно выносить за знак определителя.

VI. Определитель равен нулю, если все элементы некоторого его ряда (столбца или строки) равны нулю.

Последние два свойства, непосредственно вытекают из формул (18), определяющих разложение определителя по элементам одного из его рядов. Столь же просто доказывается и следующее свойство.

VII. Если элементы некоторого ряда (столбца или строки) представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, у которых элементы рассматриваемого ряда равны соответ­ ственным слагаемым.

Это свойство, очевидно, распространяется на любое число сла­ гаемых. Чтобы доказать это свойство, предположим, например, что

Подставляя эти выражения в первую из формул (18), получим:

Д — (а[А1 а!гАг+ а'Л 3) + (а'Л, а'гА2 аМ 3) — Д' -f- Д \

Очевидно, Д' представляет определитель, получающийся из опреде­ лителя А, если в нем элементы первого столбца заменить через а[, а', а'; определитель же Д" получится из определителя Д после замены элементов первого столбца на а'', а*, а".

а\ С,

Д= аг Ьх сг а%Ьч с.

элемент аг отличен от нуля. Вычтем из элементов второго столбца

Непосредственное вычисление данного определителя путем разложения его по элементам некоторого ряда потребовало бы несколько больших выкладок и сво­ дилось бы к следующему. Применяя, например, первую из формул (18), получаем:

§ 5. Система трех уравнений первой степени с тремя неиз­ вестными. К понятию определителя 3-го порядка мы пришли, поста­ вив задачу о решении системы трех уравнений с тремя неизвестными. Возвращаясь к этой задаче, рассмотрим систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными:

из уравнений (20). Аналогично можно получить и остальные два

жd\Cx+ d2Cz -f-

A *