книги / Аналитическая геометрия.-1

§ 6 ]

ДЕЛЕНИЕ

ОТРЕЗКА

В ДАННОМ

ОТНОШЕНИИ

21

рассекают

прямую АВ и ось

Ох на пропорциональные

части,

так

что

AM _ P tS

MB~~SPZ"

Аналогичным равенством связаны и величины направленных

отрезков

АЖ, Ш , Р Д и SRT:

__

__

вел

AM

вел

Р ,5

•

/ЕГ.

вел

.

---

----•

(О)

МВ

вел SP2

Действительно, модули

обеих частей

равенства (5),

как только

что

бом расположении точки Ж относительно

отрезка АВ (внутри или

вне его

с

той

или

другой

стороны)

точка 5

всегда будет

иметь

аналогичное

расположение

относительно

отрезка

РХР2. Так как

вел

PXS =

х — х х,

вел

SP2 =

х2— х

(гл. I,

§

3)

и

по

условию

вел AM __^

вел МВ

*

то пропорция

(5)

заменится

равенством

х — хх

к

откуда

хг — х

х — х 1= Х(хг ---X),

ИЛИ

X — х 1=

Хх2— Ад;,

т. е.

х -|- Хх = х г-|-

Кх2.

Вынося

в

левой

части

х

за

скобку,

получим:

и, наконец,

х (1

А) =

х г

кх2

хх+

(6)

x =

i + Г -

Чтобы

получить

ординату

у

точки

Ж,

нужно

проектировать

точки

А, Ж,

В

на

ось

ординат;

аналогично предыдущему получим:

..

_01+

^02

(7)

у ~

1 +

А

Формулы

(6) и

(7) решают

поставленную

задачу. Из этих формул

следует,

что

каждому

значению А соответствует некоторая точка Ж

прямой

АВ. Исключение

представляет

значение

А = — 1, при

кото­

ром формулы

теряют

смысл.

1, найдем координаты середины

Полагая

в формулах

(6) и (7) А =

отрезка:

___

У\ + Уй

у

*

2

’

2

»

З а м е ч а н и е .

При

выводе

формул

(6)

и

(7) мы

предполагали,

что

прямая

АВ

не

параллельна

ни одной

из

координатных

осей.

Однако формулы

будут

справедливы

и в этом случае. Действительно,

если прямая АВ параллельна оси Оу, то

х ^ = х 2 =

х

и формула

(6)

останется в

силе. Точно

так

же

и формула

(7)

останется

справед­

ливой, если прямая АВ будет параллельна оси Ох.

Пр име р .

Найти

координаты

точки

М,

делящей

отрезок

АВ

между

точками Л (1, 2) и £ ( — 1,

4 )в отношении 1:2. Здесь х1= 1, yt = 2t *2 =

— 1,

уг= 4 и Я = -^ -. Следовательно,

х =

!+ -§• •< -!>

1

8

3

3

*

§

7.

Угол между

двумя

осями.

Пусть

на плоскости

даны две

оси*7,

и

/2, пересекающиеся

в

точке S (рис.

11).

Условимся

по­

нимать

угол

между

двумя осями/, и

/2,

з а ­

д а н н ы м и

в у к а з а н н о м

п о р я д к е ,

как

угол, на который надо повернуть ось /,, вокруг

точки 5, чтобы ее положительное направле­

ние

совпало

с положительным

направлением

оси

/2. Этот

угол будем

обозначать

/ч

(/,, /2).

/ч

Заметим, что угол ( /,,/2) можно также рас­

сматривать как угол между двумя лучами,

выходящими из точки 5 в положительных

направлениях

осей

/,

и

/2.

Измеряя

угол,

как

обычно,

градусами или радианами1),

как

и

в

тригонометрии,

по­

лученное число будем брать со знаком

-{-

или — в

зависимости от

направления

поворота: знак -j-, если

угол получен поворотом оси 1Х

против часовой стрелки, и знак — , если поворот этой

оси совершает­

ся по часовой стрелке2). Ось

1г не единственным

образом

можно

по­

вернуть так, чтобы ее положительное

направление

совпало с

поло-

ного

1) Напомним, что между обоими способами измерения

нет принципиаль­

отличия;

разница

лишь

в

выборе

единицы, измерения,

за

которую

в одном случае

принимается

центральный

угол, опирающийся на

рьи

часть

окружности (градус),

а в другом — центральный

угол,

опирающийся

на

дугу

дианами наименование единицы

измерения «радиан» обычно

опускают. Го-

.

я

„

п

ворят, например, «прямой угол равен

» вместо «прямой угол равен -у ра­

§ 7 ]

УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ о с я м и

23

где

( С /» ) = а +

2ля»

п — любое целое число (положительное, отрицательное или нуль).

В дальнейшем, говоря об угле между двумя осями, мы обычно

будем

иметь

в

виду какое-нибудь

одно

из

всевозможных

его зна­

чений;

чаще

всего — наименьшее

по модулю значение.

В наших рассуждениях мы предполагали,

что

оси /,

и /2

пере­

секаются. В случае параллельности осей угол между ними

будем

считать равным

нулю

(или

вообще

2ля),

если

кУ

они имеют одинаковые положительные направле­

ния, и я (или вообще

я-{т2ля),

если

их

поло­

жительные

направления

противоположны.

По аналогии с изложенным условимся пони­

мать угол

между

осью

и направленным

отрезком ■

как

угол,

на

который

надо

повернуть

ось,

что­

бы

ее

положительное направление

совпало

с

на­

правлением отрезка (в случае надобности

условим­

Рис.

12.

ся

продолжать

отрезок

до

пересечения

с осью).

З а м е ч а н и е .

Мы

условились

считать

положительными

углы,

отсчитываемые

против часовой стрелки. Однако

иногда

удобнее

производить отсчет положительных углов по

часовой стрелке. Выбор положительного направ­

ления отсчета углов связан с выбором коор­

динатной

системы.

Возможны

два

типа

вза­

имного

расположения

осей

прямоугольной де­

картовой

системы

координат

на

плоскости.

Если смотреть вдоль положительного направ­

ления

оси

Оуу то

ось

Ох

может

быть на­

правлена вправо (рис. 12) или влево (рис. 13).

В первом случае система

координат

называет­

ся правой, а во втором — левой.

Можно пользо­

ваться

любой

из

этих

систем координат. Как

24

МЕТОД

КООРДИНАТ

fr Л. 1

этот поворот

в

случае

правой системы

производится против

часовой

стрелки,

а в

случае

левой — по

часовой

стрелке. В дальнейшем

мы

будем,

как

правило,

пользоваться

правой системой координат

и

в соответствии

с

этим положительные

углы отсчитывать

против

часовой

стрелки.

как

путь, проходимый

движущейся точкой

М. При движении точки М

по

отрезку

АВ ее проекция т на

ось

опишет

некоторый на­

правленный

отрезок

ab,

называемый

геометрической

проекцией

направленного отрезка АВ на ось.

Однако

в дальнейшем

основную

роль будет

играть

не геоме­

проекция

начальной точки проектируемого

отрезка, а концом —

проекция конечной точки этого отрезка.

Заметим, что проекция направленного отрезка является числом

(положительным, отрицательным

или

равным

нулю). Условимся

проекцию

направленного

отрезка

АВ

на

ось

/

обозначать пр, АВ

или, короче, пр АВ .

Установим основные

положения

теории

проекций.

прtAB = АВ • cos а.

(9)

Справедливость формулы (9) достаточно

доказать в предполо­

отрезка. Действительно,

проекция отрезка

АВ не

изменится,

если

ось проекций перенести

параллельно самой

себе.

При этом

угол

26

МЕТОД КООРДИНАТ

[ГЛ. I

Если

же

направление

отрезка

АВ противоположно

направлению

оси

и (рис.

18),

то

угол а

между

осью

проекций

и

отрезком АВ

равен

(действительн*?,

если повер­

нуть ось / сначала на угол ф, а затем

дополнительно на угол я, то ее положи­

тельное направление совпадет с отрица­

тельным направлением оси и, т. е. с на­

правлением отрезка АВ). Следовательно,

прtAB =

АВ cos а =

— АВ cos ф.

= АВ cos (ф -j- я) =

Учитывая,

что в

рассматриваемом случае

вел АВ — — АВ, получим:

пр^ АВ = вел

АВ cos

ф.

Таким образом, равенство (10) доказано полностью.

Возьмем

теперь

произвольную

ломаную

линию ABCDEF (рис .19).

Будем рассматривать эту

ломаную

как траекторию

точки Ж, описы­

вающей последовательно

все

звенья

ломаной

от

начальной

ее точки

А

до

конечной

F. При этом на лома­

ной

установится

направление

об­

хода, а звенья ее можно будет рас­

сматривать

как

направленные

от­

резки. Такую ломаную

будем

назы­

вать направленной ломаной1). На­

правленную

ломаную,

соединяющую

последовательно

точки

А } В , С,

D,

Е и F, обозначим

через

ABCDEF.

точки

проектируемой

ломаной, а концом — проекция

конечной

точки

этой ломаной.

Заметим, что проекция направленной ломаной на ось является

числом.

J) Направленную ломаную

в дальнейшем

мы будем

иногда

называть

просто

ломаной, опуская

слово

«направленная»,

если это

не может повести

§ 9 ]

ПРОЕКЦИИ НАПРАВЛЕННОГО ОТРЕЗКА НА ОСИ КООРДИНАТ

2 7

вел а / = вел ab

вел be

вел cd -j- вел йе 4 - вел ef

(гл.

I,

§

1)

или,

если

обозначить

проекцию ломаной

через

пр

ABCDEF,

пр

ABCDEF=

пр А В + пр ВС-\- пр ~CD+

пр DE +

пр EF.

(11)

Далее

ясно,

что

проекция направленной

ломаной

не

зависит

от ее формы,

а зависит лишь от положения ее начальной

и ко­

нечной

точек;

поэтому проекции

двух

направленных

ломаных

с общими началом и концом равны между собой (рис.

20).

Пусть

известны

длина

d направлен­

ного отрезка

АВ и

угол

а

между

осью

Ох и этим отрезком (рис. 22).

Проекцию

отрезка АВ

на

ось

Ох

получим

непосредственно

по

формуле (9)

§ 8:

npx A B = d cos а.

Чтобы

выразить

проекцию отрезка АВ на

ось

Оу,

заме­

тим, что угол между осью Оу и от­

резком

АВ равен а -----^

(действительно, если повернуть ось Оу

28

МЕТОД КООРДИНАТ

[ГЛ.

I

сначала на угол-----а

затем

еще

на угол а,

то ее

положитель­

ное

направление

совпадет

с

направлением отрезка

АВ).

Тогда

пр^ A B — d cos ( а -----y j

=

d sin a . Таким образом,

npx A B = d cos a,

( 12)

npy A B = d sin a.

Предположим

теперь,

что направленный

отрезок

АВ

расположен

на некоторой

оси и.

В таком случае проекции этого отрезка

на

оси

координат

можно

выразить также через его величину и

угол

ф

между осью Ох и осью

и. По формуле (10) будем иметь:

прх А В = вел АВ cos ф,

пру А В = вел ИЯвшф

^так

как угол

между

осью

Оу и осью

и равен ф — - у

и,

следова­

тельно, cos |^ф —

=

sin ф j .

Если же направленный отрезок АВ задан координатами

его на­

чала

А (х Х1 у х)

и

конца В (х2, у 2)у то

проекции отрезка

на

оси ко­

ординат можно выразить через координаты ограничивающих

его точек.

Проекция отрезка АВ на

ось

Ох

равна

величине

направленного

отрезка

РХР2 оси Ох (рис. 22). Так как вел

РхР2 — х 2— х х

(гл. I,

§ 3),

то

прх А В = х 2—

Совершенно

так

же

пру А В = у г — у х.

Таким образом,

прх А В = х г — х 1, \

(14)

пру А В = у г — У1. f

Заметим, что, проектируя на координатные оси направленный

отрезок,

идущий из начала координат в

произвольную

точку

М ( х ,у )

плоскости, по формулам (14) получим:

прх ОМ = х,

\

пру О М = у .

)

Таким образом, координаты х, у точки М можно

рассматривать как

проекции

направленного отрезка

ОМ на

оси

координат.

В дальнейшем нам понадобится формула, выражающая тангенс

угл^ между осью Ох и направленным отрезком

АВ

через коорди­

наты

его

начала и конца. Эту формулу

легко

получить,

используя

приведенные выше выражения проекций

отрезка

АВ на

оси

координат.

§ Ю ]

ПЛОЩАДЬ

ТРЕУГОЛЬНИКА

29

Сравнивая между

собой формулы

(12) и (14),

получим:

d cos а =

х2а:, — х:

х, 1

(15)

d sinln<a = y t — y l, )

откуда

tg a =

^

i .

( 16)

JC2 — JC,

Формула (16) определяет тангенс угла между осью Ох и на­

правленным

отрезком

АВ.

Если

изменить

направление отрезка

на прямо

противоположное,

то угол между осью Ох и отрезком изменится

на

я, но

тангенс

угла,

очевидно, сохранит

прежнее

значение

В

1&

и будет,

следовательно, определяться той же

формулой

(16).

ЛяД

§

10.

Площадь

треугольника.

Даны

cJ& rk

вершины

треугольника:

А {хх, у х), В (х2,у 2)

и С (х21у г)

(рис.

23).

Выразим

площадь

треугольника через координаты его вершин.

0

£

Пусть

CA = dx,

C B = d 2

и

<р — угол

между

направленными

отрезками

СА

и

СВ

(т. е. угол, на который нужно

повернуть

Рис. 23.

отрезок СА вокруг точки С,

чтобы

его

на­

правление

совпало

с

направлением

отрезка СВ; как

и обычно,

угол

будем рассматривать со знаком).

Как

известно,

площадь треугольника

S =

\ d

xd2sin ф I .

Так

как

ф = а 2— аХ1 где

а,

и а 2— углы

между

осью

Ох

и на­

правленными отрезками СА и С£, то

Y d xd 2sin y = ^ d xd2sin (<х2 — ax) =

=

у

(dxcos axd2sin a 2 — d2cos a 2dxsin a,).

Используя формулы

(15)

предыдущего параграфа, получим:

dxcos ах =

х х—

dxsin ах = у х— у 3,

d2cos а2 =

х 2 — х 21

d2sin a 2 = у 2 — y z.

Тогда для площади треугольника будем иметь

следующее

выра­

жение:

s = 4 II*. — *.) (Уг — У,) — (*, — *,) (Уг — У,) |•

(17)