Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Аналитическая геометрия.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.58 Mб

Скачать

☆

1 / 281 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

И. И. ПРИВАЛОВ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ

ГЕОМЕТРИЯ

ИЗДАНИЕ ДВАДЦАТЬ ДЕВЯТОЕ,

СТЕРЕОТИПНОЕ

Допущено Министерством высшего и среднего специального образования РСФСР

в качестве учебника для высших технических учебных заведений

И З Д А Т Е Л Ь С Т В О « НАУКА»

М О С К В А 1 9 6 4

517.3

П75 УДК 516. •/« (075.8)

Иван Иванович Привалов. Аналитическая геометрия.

М.* Физматгиз, 1964 г., 272 стр. о илл.

Техн. редактор К. Ф. Брудно.	Редактор Я. А. Угарова.
	Корректор Г. С. Страхов

Печать с матриц. Подписано к печати 18/X1I 1963 г. Бумага 60Х90"/|С. Физ. печ. л. 17 Условн. печ, л. 17, Уч.-изд. л. 16. 12. Тираж 100 000 экз. Цена книги 58 коп.

Заказ № 1180.

Издательство «Наукаэ Редакция математической литературы. Москва. В-71, Ленинский проспект, 15.

Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Главполиграфпрома Государственного комитета Совета Министров СССР по печати*

Москва, Ж-54. Валовая, 28.

					ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие автора к тринадцатому изданию										7
От издательства										8
Вв е д е н ие .										9
					ЧАСТЬ		П Е Р В А Я
		АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Г л а в а I. Метод координат										1!
§	1.	Направленные	отрезки . . .							11
§	2. Координаты на прямой линии......................................									14
§	3. Расстояние между двумя точками на прямойлинии									15
§	4.	Прямоугольные		координаты			на плоскости . .			15
J	5. Расстояние между двумя точками на плоскости									18
§	6. Деление отрезка в данном отношении									19
§	7.	Угол между двумя о с я м и .....................								22
§ 8. Основные положения теории проекций ................										24
§ 9. Проекции направленного отрезка на оси координат										27
§	10.	Площадь треугольника								29
§ 11. Полярные координаты .										31
Упражнения.										33
Г л а в а II. Линии и их уравнения .										36
§	1. Составление уравнений заданных линий									36
§	2.	Геометрический	смысл уравнений							37
§	3.	Две основные задачи .								40
§	4. Пересечение двух			линий..................						40
§	5. Параметрические			уравнения			линий . . .			41
§	6. Уравнения линий в полярных координатах									41
Упражнения .										44
Г л а в а		III. Прямая линия								46
§	L	Угловой коэффициент прямой....................................								46
§	2.	Уравнение прямой			линии		с	угловымкоэффициентом...47
§	3. Геометрический		смысл			уравнения		первой	степени	между двумя
§	4.	переменными	общего.....................			уравнения		первой	степени	48
§	4.	Исследование	общего.....................			уравнения		первой	степени	А х -{-B y-J-
§ • &		+ С = 0 ..........			линии		в	отрезках		50
§ • &		Уравнение прямой			линии		в	отрезках		51

4		ОГЛАВЛЕНИЕ
§	6.	Построение прямой линии по ее уравнению ,	53
§	Т.	Угол между двумя прямыми.............................................................	53

§8. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых . . 55

§9. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном

		направлении ..........................................................................		.		56
§ 10.		Взаимное расположение двух прямых на плоскости				58
§ 11. Уравнение пучка прямых .............................................................						60
§	12> Уравнение прямой, проходящей через			две данные точки	. .	62
§	13.	Условие, при котором три данные точки лежат на одной			пря	64
		мой ....................................	• ......................			64
§	14.	Нормальное уравнение прямой л и н и и ....................................................			64
§ 15.		Приведение общего уравнения первой степени к нормальному
	-	виду ...................................................................................				65
§ 16.		Расстояние от данной точки до данной		прямой .		66
§ 17. Уравнение прямой в полярной системе координат						68
Упражнения						68
Г л а в а IV. Элементарная			теория конических	сечений		73
§	1.	Предварительные	замечания			73
§	2. Окружность					73
§	3!	Эллипс ...............................				75_
§	4.	Гипербола и ее асимптоты				77
§	5;	Парабола ..................................................................................................................				81

§6. ^Построение точек эллипса, гиперболы и параболы посредством

		циркуля и л и н е й к и ......................................................................					82
§	7.	Эллипс, гипербола и парабола как коническиесечения					83
§	8.	Эксцентриситет и директрисы			эллипса .		84
§	9.	Эксцентриситет и директрисы			гиперболы		86
§	10.	Эксцентриситет и директриса			параболы ..........................	.	87
§ 11. Уравнение конического сечения в полярных координатах							88
§ 12. Диаметры эллипса. Сопряженные диаметры .						.	90
§ 13. Диаметры гиперболы. Сопряженные диаметры							93
§ 14.		Диаметры параболы		,	,		94
§ 15.		Касательная .............................................					95
§ 16.		Эллипс	как проекция	окружности .			98
§ 17. Параметрические уравнения эллипса							99
Упражнения							99
Г л а в а	V. Преобразование координат. Классификация					линий	. 106
§	1.	Задача преобразования		координат			106
§	2.	Перенос	начала координат				106
§	3.	Поворот	осей координат				107
§	4.	Общий случай ............................................					108

§5. Некоторые приложения формул преобразования координат . . 109

§6. Преобразование общего уравнения второй степени, не содержащего

		произведения переменных .....................................................	. 1 1 3
§	7.	Преобразование общего уравнения второй степени	120
§	8.	Классификация линий	123
Упражнения			125
Гу1а в а		VI. Определители 2-го и 3-го порядка	128
§	1.	Определители 2-го порядка ..............................................................	128
§	2.	Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными	. 131

		ОГЛ АВЛ ЕНИ Е	5
§	3.	Определители 3-го порядка ...........................	. 1 3 3
§	4.	Основные свойства определителей3-гопорядка	...........................135
§	5.	Система трех уравнений первойстепени стремя	неизвестными 139
§	6.	Однородная систем а.......................................................................	141

§	7. Общее исследование системы				трех уравнений первой	степени
§	8.	с тремя	неизвестными.................................................			. . 144
§	8.	Некоторые приложения определителей к аналитической геомет-
		рии .				148
Упражнения						. . 150
				Ч А С Т Ь в т о р а я
		АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Гла в а		I. Метод координат в пространстве				152
§	1. Прямоугольные координаты				. . .	152
§	2.	Основные за д а ч и .......................................			. . .	155
§	3. Основные положения теории проекции в пространстве					158
§	4.	Вычисление угла между двумя осями в пространстве				160
Упражнения						162
Гл а в а		II. Элементы векторной алгебры				164
§	1.	Векторы	и скаляры			164
§	2.	Сложение	векторов			165
§	3.	Вычитание векторов				168
§	4.	Умножение вектора на число				169
§	5.	Проекции	вектора . .		...................................................	170
§	6.	Действия над векторами, заданными своими проекциями				173
§	7.	Скалярное произведение векторов				174
§	8.	Основные свойства скалярного произведения .................				175
§	9.	Скалярное произведение векторов, заданных проекциями				176
§ 10.		Направление вектора				178
§ 11.		Векторное произведение ..................................				180
§ 12. Основные свойства векторного произведения .................						182
§ 13. Векторное произведение векторов, заданных проекциями						184
§ 14. Векторно-скалярное произведение.................						187
§ 15. Векторно-скалярное произведение в проекциях						189
§ 16. Двойное векторное произведение						191
Упражнения						193
Г л а в а		III. Геометрическое значение уравнений				195
§	1.	Уравнение поверхности.................				195
§	2.	Геометрический смысл уравнений				195
§	3.	Две основные задачи ..				197
§	4.	Сфера				197
§	5.	Цилиндрические поверхности . .				198
§	6.	Уравнения линии		в пространстве		199
§	7.	Пересечение трех		поверхностей		200
Упражнения						200
Гл а в а	IV. Плоскость					201
§	1.	Нормальное уравнение плоскости . %• u ........................................				201

§2. Геометрический смысл уравнения первой степени между тремя переменными. Приведение общего уравнения первой степени

к нормальному виду

•

• 203

6				ОГЛАВЛЕНИЕ
§	3.	Исследование общего		уравнения плоскости	. 206
§	4.	Уравнение	плоскостив отрезках ..............................		. 207
5	5.	Уравнение	плоскости,	проходящейчерез даннуюточку..	. 209

§	6. Уравнение		плоскости,	проходящейчерез триданныеточки .
§	7.	Угол между двумя плоскостями			.		. 212
§	8.	Условия параллельности и перпендикулярности двух				плоскостей 213
§	9.	Точка пересечения трех		плоскостей	.	*	216
S Ю. Расстояние от точки до плоскости							217
Упражнения						.	219
Г л а в а		V. Прямая	линия			. 222
§	1.	Уравнения	прямой л и н и и ...............................................................................				222

§2. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Общие урав

		нения прямой	.	.				. 225
§	3.	Угол между двумя		прямыми линиями	.		. . .	229
§	4.	Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых						. 229
§	5.	Уравнения прямой, проходящей через две данные					точки	. 230
§	6.	Угол между прямой и плоскостью				.	. . .	231

§7. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и пло

		скости			.				. 231
§	8.	Уравнение	пучка плоскостей			.			. 232
§	9.	Пересечение прямой с плоскостью .............................................................							233
§ 10.		Условие, при котором две прямые лежат в одной						плоскости	. 234
Упражнения									. 236
Г л а в а		VI. Цилиндрические и конические поверхности.						Поверхности
		вращения. Поверхности 2-го порядка						•	• 241
§	1.	Классификация			поверхностей .		. .		• 241
§	2.	Цилиндрические			поверхности	(общий случай)			. 241
§	3.	Конические	поверхности			.			• 242
§	4.	Поверхности вращения							• 243
§ < 5.		Эллипсоид	\ .						• 245
§ 16.		Однополсстный			гиперболоид			• •	• 246
§ с 7.		Двуполостный		гиперболоид				• •	• 248
§ (8.		Эллиптический		параболоид .				•	• 249
§ ' 9 . Гиперболический параболоид							...............................		250
§*10. Конус 2-го			порядка .						• 251
§/11. Цилиндры 2-го порядка ..................................................................						поверхностей		• •	• 252
§ 12.		Прямолинейные образующие				поверхностей	2-го порядка. Конст
		рукции В. Г. Шухова							• 252
Упражнения									• 255
О т в е т ы									• 256

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ТРИНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ

В настоящем издании моей книги «Аналитическая геометрия» подвергнут переработке материал предыдущего издания. Выполняя эту методическую работу, я стремился устранить трудности в пони мании учащимися некоторых вопросов курса, замеченные в процессе преподавания рядом преподавателей втузов. Приношу глубокую бла годарность всем приславшим свои замечания. Особо ценные указания я получил от доцента В. П. Минорского, которому выражаю сердеч ную благодарность,

И. Привалов

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА

При редактировании 18-го издания этой книги были учтены заме чания, сделанные при обсуждении предыдущих изданий на заседании втузовской секции Московского математического общества. В резуль тате переработки книга приняла тот вид, который она сохраняла до настоящего издания.

В 27-м издании произведены некоторые сокращения. В связи с тем, что общая теория линий второго порядка не входит в программы

втузов, полностью исключена глава VII части первой;

исключены

также § 5

из

главы V

части

первой. Элементарные вопросы

преобразования

линий

второго

порядка, содержащиеся ранее частично

§§

1—4

главы VII,

составили

теперь § 6 и § 7 главы

V; бывший

этой же

главы

стал

теперь

Задача № 9 бывшей главы

VII перенесена

в задачи

к главе

имеет теперь № 19.

Весь материал, не содержащийся в программах втузов, набран мелким шрифтом; мелким шрифтом набраны также выводы уравнений прямой и плоскости в главах IV— V второй части, не использующие векторной алгебры.

Вся работа по подготовке книги, как к 18-му, так и к 27-му изданию проведена Е. Е. Бреневым, Н. А. Олисовым и Н. Я. Сысоевой. Работа над 18-м изданием проходила под наблюдением П. К. Рашев ского. В подготовке 27-го издания участвовал И. Г. Араманович.

ВВЕДЕНИЕ

Предмет аналитической геометрии заключается в исследовании геометрических форм с помощью алгебраического анализа. В различ ных отделах элементарной математики алгебра прилагается к реше нию многих геометрических вопросов. Так, например, в геометрии с помощью чисел приходится определять длины отрезков и дуг,


площади фигур,			объемы тел;		в тригонометрии пользуются числовыми
соотношениями			для	установления		зависимостей		между углами и от
ношениями		отрезков. Но, в то время как в этих						отделах математики
с помощью		анализа решается			вопрос о размерах геометрических форм,
в аналитической			геометрии с		помощью		чисел характеризуется самая
существенная их особенность— их						положение.
Числа, определяющие положение геометрической формы, назы
ваются	ее	координатами. Способ же,					с помощью		которого	опреде
ляется	положение			геометрической		формы, носит			название	способа
или метода		координат. Геометрические					формы весьма разнообразны,

и при построении аналитической геометрии, естественно, мы должны принять одну какую-нибудь из форм за первичную, с помощью которой мы будем образовывать все остальные. Проще всего за такую начальную форму принять геометрическую точку. Тогда всякую другую

геометрическую	форму, например линию или поверхность, можно рас
сматривать как	геометрическое место точек.
Приняв за	начальный	элемент точку, мы должны прежде всего
показать, каким	образом	определяется положение точки в простран

стве с помощью чисел. Эта первая идея метода координат была положена в основу решения различных геометрических задач. Вторая идея этого метода заключается в установлении того, каким образом геометрические свойства линии отражаются на координатах точек, принадлежащих этой линии. Плодотворные идеи метода координат нашли себе применение во всех отраслях математики и механики;

благодаря развитию дифференциального и	интегрального исчисле
ния они сделались весьма мощным орудием	математического иссле

дования.

Приступая к изложению аналитической геометрии, мы, ради удоб ства, делим весь курс на две части. В первой части будем за ниматься исследованием плоских геометрических форм средствами

10		ВВЕДЕНИЕ
алгебры,	основанными	на применении координат. Во второй части
мы будем	аналогично поступать с пространственными геометрическими
формами.
Служебную роль		в курсе	имеет	глава, посвященная изложению
теории определителей		2-го и	3-го	порядка. Эта глава, равно как

идальнейшие ее приложения, может быть опущена.

Вцелях большей геометрической наглядности исходные уравнения плоскости и прямой в пространстве даны в векторной форме. Соот ветственно с этим включена глава, в которой изложены необходимые сведения из векторной алгебры. Однако, учитывая потребности тех втузов, в которых при изучении аналитической геометрии не проходят векторной алгебры, мы даем параллельно векторному изложению теории плоскости и прямой также и координатное.

1 / 281 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги