книги / Цифровое моделирование вибраций в радиоконструкциях
..pdfЕ. Н. М А К В Е Ц О В
Цифровое
моделирование
вибраций
в радиоконструкциях
М о с к в а |
«Ç о в ç т с к о е р а д и о » |
1976 |
6Ф7.3 М 15
УДК 621.3.038:518.5
Маквецов Е. Н.
M l5 Цифровое моделирование вибраций в радиокон струкциях. М., «Сов. радио», 1976.
120 с. с ил. (Библиотека радиоконструктора.)
Излагается способ расчета с помощью ЦВМ вибраций в радиоконструкциях при механических воздействиях. Приводятся программы на языке ФОРТРАН и числовые примеры.
Книга рассчитана на широкий круг специалистов, связанных с конструированием РЭА. Она может быть полезна студентам соот ветствующих специальностей.
30406-041 |
37-76 |
6Ф7.3 |
|
М 046(01)-76 |
|||
|
|
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
Я. А. Барканов, И. А. Бруханский, Р. Г. Варламов, В. А. Волгов, В. А. Ермолаев, Я. К. Иванов-Есипович, К. К. Морозов, Е. М. Пар- фенов, В. Б. Пестряков (отв. редактор), А. И. Пименов, Н. Э. Сватикова, В. И. Смирнов, В. Г Теселько, А. В. Шитяшин, К. Я. Ши- хаев, Я. Я. Юшин.
Редакция литературы по вопросам космической радиоэлектроники
ЕВГЕНИИ НИКОЛАЕВИЧ МАКВЕЦОВ
Цифровое моделирование вибраций в радиоконструкциях
Редактор |
И. Н. З в и г у н о в а |
|
||
Художественный |
редактор 3. |
Е. В е н д р о в а |
||
Технический редактор В. |
А. С и л а е в а |
|||
Корректоры: М. Ф. Б е л я к о .в а, |
Л. А. М а к с и м о в а |
|||
Сдано в набор 2/X 1975 г. |
Подписано в печать 11/III 1976 г. |
Т-02886 |
||
Формат 84ХЮ8/за |
уч.-изд. л. |
Бумага типографская № 2 |
||
Объем 6,3 уел. п. л. 6,31 |
|
Цена 32 к. |
||
Тираж 7 800 экз. |
Зак. 372 |
|
||
Издательство «Советское радио», Москва, Главпочтамт, а/я 693
Московская типография № 10 «Союзполиграфпрома» при Государственном Комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10.
© Издательство «Советское радио», 1976 г.
Современные конструкции радиоэлектронной аппара туры (РЭА) часто устанавливаются на автомобилях, су дах, самолетах и ракетах и работают в условиях слож ных внешних механических воздействий. При проектиро вании таких конструкций возникает необходимость вы полнения динамических расчетов с целью определения запасов прочности конструкции, вычисления резонанс ных частот и коэффициентов усиления на них, вычисле ния нагрузок, воздействующих на радиодетали.
Подобные задачи относятся к трехмерным нестацио нарным краевым задачам теории упругости [4]. В слу чае радиоконструкций они усложняются, так как такие конструкции, как правило, имеют сложную форму со множеством мелких деталей, в них часто применяются самые разнообразные материалы (например, материалы с большими потерями энергии на внутреннее трение). При расчетах приходится учитывать амортизацию и демпфирование.
Решение таких задач точными аналитическими мето дами возможно только в случае упрощений, если, на пример, конструкция представляется в виде нескольких сосредоточенных масс, соединенных упругими связями. Поэтому в настоящее время оценка работоспособности конструкций при заданных механических воздействиях производится в основном экспериментально, путем испы тания опытных образцов или макетов на вибростендах, центрифугах или установках, имитирующих ударные воздействия. Испытания требуют больших затрат време ни и средств, а дают очень мало полезной для конструк тора информации, особенно если получены отрицатель ные результаты. Испытания, как правило, не дают ясно го представления о причинах возникновения аварийных ситуаций и, следовательно, не определяют возможностей улучшения конструкции.
Применение современных ЦВМ и развитие прибли женных методов решения задач математической физики
з
[11] позволяют подойти к теоретическому решению столь сложных задач. Среди приближенных методов заслужи вают внимания вариационные методы, метод конечного элемента и метод конечных разностей [3, 8, 9]. Послед ний метод является наиболее экономичным по объему вычислений на ЦВМ и поэтому позволяет решать более сложные задачи. Кроме того, метод конечных разностей позволяет постоянно совершенствовать расчетные моде ли, учитывая в них дополнительные условия, характер ные для радиоконструкций.
В настоящей работе рассматривается методика рас чета механических процессов в конструкциях РЭА с по мощью ЦВМ на основе развития метода конечных раз ностей. Такую методику называют цифровым моделиро ванием вибраций в конструкциях [6]. Метод цифрового моделирования является достаточно универсальным и позволяет гтроизводить расчеты для разнообразных слож ных конструкций. Однако следует заметить, что расчет на ЦВМ производится в числах и не позволяет получить аналитических зависимостей. Поэтому цифровое моде лирование не исключает точных методов расчета в тех случаях, когда они могут быть применены.
Книга окажется полезной для и<онструкторов РЭА, занимающихся расчетами механических процессов. Ее можно рекомендовать также конструкторам других спе циальностей, студентам и научным сотрудникам, интере сующимся решением задач математической физики на ЦВМ.
Автор выражает благодарность за внимание к рабо те и ценные замечания проф. Б. А. Калабекову и проф. В. Б. Пестрякову и канд. техн. наук А. С. Синиченкову.
1, Цифровые модели конструкций РЭА
Для расчета механических процессов конструкцию представляют в виде некоторой модели. Модель конст рукции может быть условно разбита на две части: физи ческая модель и расчетная схема. Физическую модель представляют в виде дискретной модели-сетки, опреде ляющей конфигурацию и взаимное расположение дета лей конструкции. Расчетная схема является математи ческим описанием процессов в модели-сетке.
При разработке расчетной модели нужно, по возмож ности, стремиться к тому, чтобы не вносить никаких принципиальных упрощений в рассматриваемые физиче ские явления с тем, чтобы избежать неконтролируемых погрешностей. Это не относится к погрешностям дискре тизации среды, которые являются неизбежными и могут быть, в принципе, оценены.
Несмотря на большое разнообразие конструкций РЭА, по методу механического расчета их можно разде лить на две группы:
1. Монолитные блоки (рис. 1.1). К ним относятся блоки, в которых промежутки между радиодеталями за полнены компаундом, пенопластом, резиной и т. п. В та ких блоках почти нет пустот и модель-сетка для них трехмерна (рис. 1.2).
2. Конструкции, в которых деталями, несущими меха ническую нагрузку, являются пластины и стержни (рис. 1.3). Для таких конструкций возможно упрощение модели-сетки с целью сокращения количества узлов. Для пластин возможно построение двумерных сеток, а для стержней — одномерных (рис. 1.4).
1.1. Модель монолитного блока
Для построения модели-сетки монолитного блока, близкого по форме и прямоугольному параллелепипеду, необходимо разбить его параллельными плоокостями на
5
элементы (рис. 1.1). Относительные размеры элементов должны быть достаточно малыми. От их величины зави сит точность расчета. Результаты анализа влияния раз меров элементов на величину погрешностей приведены дальше. Заметим, что при расчетах резонансных явле ний в блоках на частотах низших гармоник, если вели чина относительной погрешности амплитуды колебаний не должна превышать 3—5%, в каждом направлении
Рис. 1.1. Монолитный блок РЭА.
Рис. 1.2. Модель-сетка монолитного блока.
блока следует располагать не менее восьми узлов. Таким образом, минимальное число узлов в модели блока при заданной точности будет равно 512.
Известно, что объем вычислений на ЦВМ пропорцио нален количеству узлов в модели. Современные ЦВМ, такие как Минск-32, Урал-14, М-220, позволяют произво дить расчеты для моделей, включающих одну-две тыся
чи узлов. При этом время вычислений может превышать одну смену. Завышение числа узлов в модели сверх тре буемого из условий точности задачи приводит к непроиз водительным затратам и снижает надежность расчета.
Если параллельные плоскости находятся на равном расстоянии друг от друга, то сетка называется регу-
Рис. 1.3. Конструкция, в которой механическую нагрузку несут пла стины и стержни.
лярной. Применение нерегулярных сеток приводит к уве личению погрешностей расчета. Поэтому мы ограничим ся случаем регулярных сеток. Шаги сетки в направлении различных координатных осей могут быть разными, что позволяет производить расчеты блоков, имеющих раз личные пропорции.
Расчетная схема для монолитного блока может быть получена непосредственно из физических представлений о процессе деформирования элементов модели [4]. Для этого в соответствии с принципом Даламбера к элементу прикладывают все внешние по отношению к нему силы и силы инерции и записывают суммы проекций этих сил на координатные оси (рис. 1.5). Обычно при расчетах
вибраций ускорения в конструкции на несколько поряд ков превышают ускорение силы тяжести, поэтому силы веса можно в расчетные соотношения не вводить.
Проекции сил упругости и сил инерции на координат ные оси могут быть записаны в виде
Рис. 1.4. Одномерные (а) |
и двумерные (б) модели-сетки. |
|
|
2Fxi — та*- 2Fyi=m ae, 2Fgi = maz, |
(1.1) |
||
i |
i |
i |
|
где m — масса элемента, |
ax> av и az— проекции ускоре |
||
ния на координатные оси. |
|
|
|
Для вычисления проекций упругих сил на координат ные оси необходимо спроектировать на оси нормальные
8
il касательные напряжения, действующие по граням эле мента
|
Ъ Р Xi = |
(°+XX — а хх) hyhz “1“ (°+ху — 0 |
Ху) hxhz |
|
|
|||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (0+JC2— °~хг) hxhyy |
|
|
|
|
|
Ри 1' = |
(а +уу |
0 у у ) hxhz |
(а +ух ° |
yx) hyhz “I” |
|
||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“Ь (0+Z/2 — 0 |
уг) hxhyy |
|
|
|
|
2 ^ в/ = |
(. +жж— a zz) hxhy -(- (a +z y — а |
гу) hxhz + |
|
||||
|
i |
|
“f~(0+z;c — 0 гх) hyhz y |
|
|
(1*2) |
||
|
|
|
|
|
||||
где |
o+xx — напряжение, направленное в сторону х |
(пер |
||||||
вый |
индекс) |
и приложенное к площадке с нормалью х |
||||||
(второй индекс); |
знак « + » — показывает, что |
напряже |
||||||
ние |
приложено |
по фасадной |
грани элемента; |
hXt |
hy и |
|||
hz — шаги сетки |
в |
направлении соответствующих |
коор |
|||||
динатных осей. |
|
|
|
|
|
|
||
Всоответствии с представлениями теории упругости
[4]нормальные и касательные напряжения следует вы разить через деформации растяжения (сжатия) и дефор мации сдвига
|
|
а + хх |
2р.)£+хх “f" %s+yy |
Àe+zgy |
|||
|
|
|
|
а+ху = |
2\të+xyy |
|
|
где |
|
|
|
G+yX= |
2p •e+yx и T. Д., |
(1.3) |
|
е+зсх— деформации |
растяжений в |
направлении х, |
|||||
вычисленные |
для передней |
грани элемента; е+уу— де |
|||||
формации растяжения в на |
|
|
|||||
правлении |
у, |
вычисленные |
|
|
|||
для той же грани; е+ху— Де |
|
|
|||||
формации |
сдвига; X и р, — |
|
|
||||
коэффициенты |
Ламэ, |
кото |
|
|
|||
рые |
можно |
выразить |
через |
|
|
||
модуль Юнга Е и коэффици |
|
|
|||||
ент Пуассона v: |
|
|
|
|
|||
я— |
gv |
|
( l + v ) ( l - 2 v ) ’ |
|
< 1 4 > |
Расчетные |
соотношения |
Рис. 1.5. К выводу уравне |
|
нии движения элемента мо |
|||
должны быть |
инвариантны |
||
дели. |
iiô отношению к перестановкам координатных осей. По этому остальные выражения для напряжений можно получить из (1.3) циклической перестановкой х -*-х. В дальнейшем будем пользоваться такой сокращен ной записью однотипных уравнений.
В качестве искомой функции при расчетах механи ческих процессов выбирают перемещения узлов сетки относительно положения равновесия. Поэтому следует выразить деформации через перемещения данного и со седних узлов. Деформация растяжения в центре фасад ной грани элемента естественно выражается через пере
мещения узлов х и |
(x + h ), между которыми |
этот центр |
находится |
|
(1.5) |
e+x x = [u ( x + h )— u]lhXt |
||
где и — перемещения узлов в направлении х*\ |
в центре |
|
Для вычисления |
деформаций растяжения |
|
передней грани в направлении у для соблюдения сим метрии необходимо учесть перемещения четырех узлов
s+vv=[v{.x+'h, y + h ) + v ( y + h ) — |
|
— v(x+ h , у— ft)— v(y —h)]/4hv, |
( 1.6) |
где v — перемещения узлов в направлении у. Деформации сдвига определяются полусуммой тан
генсов углов наклона соответствующих граней элемента к их положению в недеформированном состоянии (рис. 1.6). Выражая тангенсы через перемещения узлов и учитывая положение центра грани, для которой вычис ляется деформация сдвига, получаем выражения
e+jtÿ= 2^ [ Ы(У+ |
Л) — «] + |
g^[y(x-|-A, y-\-h)-\- |
-f-v(x-\-h) — v(x — h, |
y-\-h) — v(x — A)], |
|
e+yx= ÏÏÜ |
^ ~ |
ek, |
-f- и (y-\-h) — u{x-\- h, y — h )— и (y — h)] и т. д. (1.7)
Ускорения, входящие в правую часть уравнений (1.1), следует также выразить через перемещения данного узла. Для этого возьмем перемещения в три последую-
*) Более правильно было бы указывать в скобках все аргументы функций перемещений, например записывать u(x+ht у, 2, /) вместо и(х+1г) и и\х, у, 2, t) вместо и. Однако это удлиняет формулы и мы будем указывать только те аргументы, которые изменяются по сравнению с аргументами центрального узла (*, у, 2, /).