книги / Цифровое моделирование вибраций в радиоконструкциях

значения функций U, V и W вычисляются mo формулам ('1Л2). Представление расчетных соотношений в виде J[1.2fi), .(U12)— и

(1.13) очень экономично по объему вычислений. По сравнению с-со­ отношениями (1.11), в которых потери энергии не учитываются, объем вычислений возрастает только за счет произведений вида Л^11(^—т). Требуемый объем оперативной памяти несколько увели­

чивается за счет необходимости хранения функций U, V и W, вы­ численных в предыдущем временном слое (/—т).

Для неоднородных блоков, помимо осреднения £, v и р, нужно также осреднить коэффициент вязкости т]. Механизм осреднения т] тот же, что и модуля Юнга £. Наконец, если учитывается влияние неоднородностей только на плотность соответствующих элементов массы, то расчетная схема представляется в виде, аналогичном

( 120) ' u(t + т) = М [(1 + A )U - И ,и (/ - т)] + 2« - U(t - х)

и т. д. (1.30)

1.4.Модели плоских радиоконструкций

Вконструкциях РЭА часто используются для крепле­ ния и электрического соединения радиоэлементов плос­ кие детали: шасси и платы. Плоские детали используют­

ся также при проектировании кожухов, контейнеров и т. п. Малая толщина таких деталей по сравнению с их длиной и шириной создает определенные трудности при построении модели-сетки. Если разрабатывать модели

Рис. 1.12. Искривление сечений пластины при изгибных колебаниях.

таких деталей, используя изложенные ранее принципы, то по толщине приходится брать примерно восемь узлов. Если же плоских деталей в конструкции достаточно мно­ го, то количество узлов в модели становится недопусти­ мо большим. При количестве узлов в модели, превышаю­

щем несколько тысяч, на таких современных машинах, как Минск-32, М-220 и Урал-14, решать задачи практи­ чески нельзя, поскольку данные модели не размещаются в оперативной памяти машины и время вычислений статовится недопустимо большим.

Для сокращения объема вычислений в случае плос­ ких конструкций можно строить двумерные сетки, в ко­ торых узлы располагаются в плоскости пластины. Для этого в уравнениях движения исключают одну координа­ ту г на основании некоторой гипотезы о распределении перемещений и напряжений по толщине пластины.

В теории упругости [4, 12] принимается простейшая гипотеза о распределении перемещений и напряжений по толщине пластины — линейный закон. Это предположе­ ние называется «гипотезой прямых нормалей». Оно го­ ворит о том, что сечения, нормальные к срединной по­ верхности пластины до деформации, остаются нормаль­ ными к этой поверхности и после деформации. «Гипотеза прямых нормалей» приводит к уравнениям четвертого порядка, которые не являются волновыми [10, 12]. При расчетах с помощью этих уравнений скорости распрост­ ранения волн с увеличением частоты колебаний безгра­ нично возрастают, что противоречит эксперименту. Урав­ нениями четвертого порядка можно пользоваться только

при расчетах стационар­ ных процессов и колеба­ ний на низких частотах.

На рис. 1.12 показано искривление сечений пла­ стины :при изгибных коле-* _z_) баниях, полученное при

Р/1ш решении плоской задачи теории упругости. Из ри­ сунка видно, что распре­ деление перемещений по толщине пластины пред­ ставляет собой волновой процесс, при котором се­ чения не только не оста­

ются нормальными к срединной поверхности, но не остаются и прямыми.

Более общий подход к исключению координаты [10] состоит в том, что перемещения представляют в виде разложения в степенной или тригонометрический ряд.

или

~!'г

2. Член уравнения содержит производную по z, но не входит в указанные выше напряжения, например

Числовые коэффициенты Ат под знаком суммы появ­ ляются в результате интегрирования. Их значения зави­ сят от индекса.

3. Член уравнения содержит первую производную по 2 и входит в выражение для одного из указанных на­ пряжений, например

I1 J S p"<z>*= -i‘E (l+2,’)i&' с-37)

—hz р

где <7= 1, 2, . . . независимо от значения п.

Числовые коэффициенты зависят как от индекса п, так и от индекса q, по которому производится суммиро­ вание.

?p

ЯP

стемы независимых уравнений. Действительно, в выра­ жения для четных членов и и v входят только нечетные члены до и наоборот в выражения для нечетных членов и и v входят только четные члены до. В том случае, ког­ да конструктора интересуют продольные (поперечные) колебания плат, в разложении (1.31) сохраняют четные члены и и v и нечетные члены до. В случае расчета изгибиых колебаний плат сохраняют нечетные члены разложения и и v и четные до.

Дл*я практических расчетов изгибиых колебаний до­ статочно учитывать только три члена разложения: т, vu ДОоПри этом сокращение узлов в модели за счет по­ строения двумерной сетки и возможность выбора боль­ ших шагов по времени приводят к уменьшению объема вычислений более чем в сорок раз.

При построении двумерной модели-сетки весьма важ­ ным является вопрос о возможности выбора шагов по координатам hx и hy большими или мёньшими по срав­ нению с половиной толщины пластины hz. Для выясне­ ния такой возможности были проведены расчеты неста­ ционарных изгибиых колебаний пластины при разных значениях шагов сетки hx. Результаты вычислений по­ казаны на графиках рис. 1.14. Вычисления выполнялись при изменении отношения hxlhz в пределах от 0,2 (кри­ вая 1) до 2,2 (кривая 5). Из рисунка видно, что скорость распространения изгибиых волн от шагов сетки hx и hy практически не зависит. Вычисления производились для коротких волн. Отношение шага сетки hx к длине волны

Рис. 1.14. Распространение изгибных воли при различной толщине пластины.

X изменялось в пределах от 0,06 (кривая 1) до 0,7 (кри­ вая 6). При приближении шага сетки hx к длине волны Х9 как и следовало ожидать, амплитуда колебаний уменьшается за счет явления дисперсии.

1.5.Модели стержневых конструкций

Вконструкциях РЭА часто применяют стержневые каркасы и отдельные стержни в «качестве деталей, несу­ щих механические нагрузки. При построении моделей таких конструкций целесообразно для отдельных стерж­ ней применять одномерные модели-сетки в виде цепочки узлов. Если стержни имеют прямоугольное сечение, то исключение из расчетных соотношений двух координат производится разложением напряжений и перемещений