книги / Цифровое моделирование вибраций в радиоконструкциях

мулах функции, имеющие аргумент (x + h ), относятся

ксоседнему узлу основного стержня с индексом (2, Y, Z), а функции, у 'которых аргумент не указан, относятся

кузлу перекрестия. Направление равнодействующих совпадает с направлением координатных осей основного стержня.

Для вычисления равнодействующих в сечениях остальных стержней, примыкающих к перекрестию, мож­ но воспользоваться теми же формулами (1.66). При этом для стержней, у которых ось х направлена к узлу перекрестия, функции с аргументом {x + h ) будут отно­ ситься к узлу перекрестия (1, Y, Z), а функции, у которых аргумент не указан, будут относиться к соседнему узлу

(10, Y— 1, Z), (10, Y + 3, Z) или (10, Y +4, Z + 1 ).

Запишем выражения для равнодействующих в обоз­ начениях, пригодных для программирования на языке ФОРТРАН. При этом вместо действительных значений

При Y = l, когда начинается цикл в соответствующей секции, при вычислении сил с номером «2» в индексах

части уравнений, где стоят выражения для сил инерции, остаются только вторые разности от перемещений. Пере­ неся перемещения в моменты t и (t—т) в правую часть, получаем

U2( 1, Y, Z )= Q X 1 — QY2— QZ3+QZ4 +

Нормальные напряжения создают не только нормаль­ ные силы, но и два крутящих момента относительно осей сечения. Для вычисления момента относительно оси у

Рис. 1.20. Направление сил и моментов в сечениях перекрестия стержней.

величину элементарной силы aXx = d y d z нужно умножить на г и проинтегрировать по площади сечения

(1.71)

т

Аналогично вычисляется крутящий момент относительно оси г:

тельно осей короткого, длинного и вертикального стерж­ ней соответственно.

Теперь можно составить уравнения моментов для оп­ ределения углов поворота элемента перекрестия относи­ тельно осей его локальной системы координат. Напом­ ним, что А/Н'уъ — угол поворота перекрестия относитель­ но оси х по часовой стрелке, B[h'Zb— угол поворота пе­ рекрестия относительно оси у против часовой стрелки и

моментов, создаваемых в сечениях стержней нормальны­ ми и касательными напряжениями. За положительное направление вектора момента принимается такое, при котором вращение, создаваемое моментом, направлено против часовой стрелки, если смотреть с вершины векто­ ра. Помимо этих моментов, в уравнения равновесий вой­ дут также моменты, создаваемые равнодействующими (1.67) и (1.68). Представив уравнения моментов в виде рекуррентных по времени соотношений, получим

A 2 (l, Y, Z ) = — RX1 -J-RY2 — RZ3 —|—RZ4 —J—

В том случае, когда основным является короткий стержень (Y = l млн 3), коэффициенты F вычисляются по формулам

Если же основным является длинный стержень, то вместо коэффициентов F в формулах (1.79) использу­ ются соответствующие коэффициенты G:

Теперь мы располагаем полным набором уравнений для расчета перемещений всех элементов стойки с уче­ том дополнительных масс в виде крепящихся « ней бло­ ков и других частей конструкции. Уравнения представ­ лены в таком виде, что они могут использоваться при программировании на алгоритмическом языке ФОРТРАН без изменений. Программирование задачи по расчету вибраций стойки описывается в третьей главе.

2. Погрешности цифрового моделирования процессов вибраций

В первой главе изложены способы построения циф­ ровых моделей конструкций РЭА для расчетов механи­ ческих процессов на ЦВМ. Метод цифрового моделиро­ вания, который является развитием метода конечных разностей, по сути является приближенным, поскольку непрерывная среда заменяется дискретной моделью-сет­ кой. При применении же приближенных методов задачу нельзя считать решенной до тех пор, пока не будут опре­ делены погрешности расчета. Заметим, что при непра­

вильном построении модели погрешности могут дости­ гать очень большой величины и производить оценки ка­ чества радиоконструкций на основании таких расчетов нельзя.

Чтобы погрешности дискретизации среды не возра­ стали бесконечно, нужно прежде всего обеспечить устой­ чивость решения задачи.

2.1. Анализ устойчивости процессов вычислений

Вопросу устойчивости посвящено большинство работ по разностным схемам. В наиболее общем и закончен­ ном виде теория устойчивости разностных решений из­ лагается в работах А. А. Самарского [8, 9]. При разра­ ботке цифровых моделей механических процессов, на­ пример процессов упругих деформаций, можно получить те же оценки устойчивости решений более простыми ме­ тодами.

Уже в ранних работах по теории разностных схем [2] было обращено внимание на чередование знаков пе­ ред членами разностных уравнений по правилу «шахмат­ ной доски» (рис. 2.1). Это происходит потому, что все физические величины, входящие в исходные уравнения, изменяются по отношению к таким же величинам в со­ седних узлах.

Чередование знаков приводит к тому, что неустойчи­ вость проявляется наиболее сильно в случае решений, имеющих чередование знаков по тому же правилу «шах­ матной доски». Покажем это на примере решения про­ стейшей одномерной задачи продольных колебаний упру­

мещения концов, то в дифференицальной форме задача о продольных колебаниях имеет вид

функции, задающие начальные перемещения и скорости всех точек стержня.