книги / Цифровое моделирование вибраций в радиоконструкциях

Аналогично можно преобразовать уравнение момен­ тов (1.55). Для этого угловое ускорение представляют в разностной форме

еУ= [у«(^+т) —2уУ+Y« (*— t) 1 h 2-

Углы поворота выражают через первые члены в раз­ ложении перемещений по полиномам Лежандра

Таким образом, можно составить явную схему отно­ сительно Ui или ui. Оба выражения будут идентичными. Запишем явную схему для определения ui.

w> (t + х) = Dyy [w, ( у h) — w,] — Dyy [w, — и, (у — А)] +

где безразмерные коэффициенты вычисляются по формулам

Величины wi, входят не только в выражения для эле­ мента сочленения, но и в выражения для соседних эле­ ментов пластин. Например, для соседнего элемента пла­ стины, расположенной в плоскости ху, узел сочленения будет предыдущим по х, т. е. вместо Ui(x—А) нужно брать величину и для узла сочленения.

Это имеет место лишь в том случае, если для эле­ ментов пластины и сочленения используется единая си­ стема координат. Но не имеет смысла записывать раз­ ные уравнения для различно ориентированных пластин. Проще для каждой пластины построить свою локальную систему координат и пользоваться едиными уравнениями (1.40) — (1-42). В этом случае возникает необходимость согласования направления осей.

Если, например, локальную систему вертикальной пластины (рис. 1.16) образовать поворотом локальной системы сочленения на 90° против часовой стрелки отно­ сительно общей оси у, то согласование направлений бу­ дет достигнуто при переходе от элемента сочленения к элементу пластины, если произвести замену:

Аналогично можно записать уравнения движения для элемента сочленения трех пластин (рис. 1.15).

Рассмотрим вывод уравнений движения элементов перекрестия стержней в конструкциях каркасов, стоек и т. п., в которых стержни пересекаются под прямым углом (рис. 1.15,в). Будем теперь записывать уравнения в виде, приближающемся к записи их в программе ре­ шения задачи на ЦВМ на алгоритмическом языке ФОРТРАН. Поэтому откажемся от некоторых привыч­ ных обозначений, например, исключим из употребления буквы греческого алфавита и строчные буквы вообще и введем циклическую нумерацию стержней и перекрестий, чтобы расчетные соотношения были пригодны для вы­ числения характеристик движения любых элементов кон­ струкции.

В качестве примера конструкции РЭА для расчета рассмотрим конструкцию стойки (рис. 1.17). При расче­ те вйбраций стойки не будем учитывать деформаций блоков, заполняющих стойку. Учтем только массу этих блоков, сосредоточенную в местах крепления блоков к стойке. Для определенности будем считать, что стойка имеет четыре секции и все стержни одинаковой длины имеют одинаковое сечение. Последнее ограничение явля­ ется несущественным, но если в конструкции применя­ ются, например, вертикальные стержни различного сече­ ния, то программирование задачи несколько усложня­ ется.

Выше были получены расчетные соотношения для вычисления перемещений при вибрациях стержней пря­ моугольного сечения. Обычно в конструкциях РЭА при­ меняются стержни из уголка или другого профилирован­ ного материала. Поэтому необходимо сначала опреде­ лить размеры эквивалентных прямоугольных сечений каждого стержня.

Для построения модели-сетки конструкции нужно разбить все стержни на элементы. При этом возникает

струкции РЭА, такие как стойки, имеют циклическую структуру и допускают расположение всех данных в ви­ де трехмерного массива. Чтобы построить такой массив, нужно наметить направление локальных осей координат каждого стержня. Принятое направление локальных осей стержн-ей показано на рис. 1.17.

Все величины, относящиеся к определенным элемен­ там (узлам модели-сетки), будем обозначать тремя индексами: х, у и z. Индекс х будет обозначать номер

Секция 5 Секция 4

Секция 3

Секция 2

Секция /

Рис. 1.18. Массив чисел при расчете вибраций стойки.

элемента стержня (узла) в направлении оси х. Первыми элементами у горизонтальных стержней будут элементы перекрестий. Вертикальные стержни не будут содержать элементы перекрестий, и у них нумерация по х будет на­ чинаться с двух. Второй индекс у будет обозначать но­ мер стержня в секции. Каждая секция будет содержать восемь стержней (четыре горизонтальных и четыре вер­ тикальных). Последняя верхняя секция будет неполной и вертикальных стержней содержать не будет. Третий индекс 2 будет обозначать номер секции.

Если расположить данные модели в соответствии с нумерацией элементов, то они образуют трехмерный массив, который при количестве элементов каждого стержня, равном 10, будет иметь вид, показанный на рис. 1.18. Массив является неполным, так как не запол­ няет целиком прямоугольного параллелепипеда со сто­

соответственно. Вместо них в формулах (1.58) поставле­ ны буквы А, В и С соответственно.

3. Вместо произведения М ( 1 Ат) записывают один

коэффициент массы D. Этот коэффициент определяет до­ полнительную массу, присоединенную к каждому эле­ менту модели, и может иметь различное значение в раз­ ных узлах, поэтому после него ставятся индексы X, У

иZ.

4.Коэффициент А обозначает теперь величину А^

-f-Ar), которая характеризует потери энергии в материа­

лах стержней на внутреннее трение. Поскольку предпо­ лагается, что все стержни выполнены из одинакового материала, коэффициент А будет общим для всего мас­ сива и индексов не имеет.

узла. После использования их при вычислениях по фор­

номерами. Величины Е хранятся в массиве данных узлов до следующего шага вычислений и поэтому имеют ин­ дексы X, Y и Z.

Поскольку в разложении перемещений в ряд по по­ линомам Лежандра сохраняется всего шесть членов, можно не выделять напряжения в виде отдельных урав­ нений и объединить формулы (1.47) и (1.48), т. е. выра­

где коэффициенты A зависят от коэффициентов упруго­ сти материала стержней, размеров эквивалентных сече­ ний и выбранных шагов сетки в направлении локальных осей х:

В конструкции стойки используются три вида стерж­ ней, отличающихся по длине и размерам сечений, поэто­ му при подготовке задачи* должны быть вычислены три группы коэффициентов А. В формулах (1.62) использу­ ется соответствующая группа коэффициентов в зависи­ мости от индекса Y. Если Y =1 или 3, выбирается груп­ па коэффициентов, соответствующих коротким горизон­ тальным стержням. Если Y= 2 или 4, то выбираются коэффициенты, соответствующие длинным горизонталь­ ным стержням. Если же Y >4, то выбираются коэффи­ циенты вертикальных стержней.

В формулы (1.62) входят перемещения не только данного узла, отмеченные индексами (X, Y, Z), но и со­ седних узлов в направлении х. Чтобы отыскать в памя­ ти ЦВМ эти значения, достаточно в программе, записан­ ной на языке ФОРТРАН, изменить индекс X на единицу в ту или иную сторону. Отыскание данных соседних узлов у элементов, примыкающих к перекрестиям (при Х = 2 или 10), усложняется тем, что все перекрестия

расположены в массиве чисел (рис. 1.18) в одном месте с одного конца горизонтальных стержней. Поэтому фор­ мулы (1.62) пригодны для вычисления перемещений только при 2 < Х < 10.

При вычислении перемещений элементов стержней, примыкающих к перекрестиям, в формулы (1.62) долж­ ны быть внесены изменения. Во-первых, следует учесть, что члены А, В и С имеют различное значение у различ­ ных стержней при одних и тех же углах поворота се­ чений. Если обозначить углы поворота сечений относи­ тельно локальных осей стержня х, у и z через ф, у и <р соответственно, то можно записать равенства

Величины А, В и С, относящиеся к узлу перекрестия, также следует определить через углы поворота и разме­ ры приведенных сечений стержней.

Во-вторых, следует изменить индексацию у величин, относящихся к узлу перекрестия. Тогда при вычислении

При вычислении перемещений вертикальных стерж­ ней при X = 10, Y > 4 выполняется замена

U 1 (X + 1 , Y, Z) на W l(l, Y - 4 , Z + l ) ,

V 1 (X + 1 ,Y , Z) на - V l ( l , Y - 4 , Z + l ) ,

W 1 (X + 1 , Y, Z) на U1 (1, Y - 4 , Z + l ) ,

Al ( X + 1, Y, Z) на Cl (1, Y - 4 , Z + l ) ,

B 1 (X + 1, Y, Z) на-В 1(1, Y - 4 , Z + l ) ,

Cl ( X + 1, Y, Z) на A l(l, Y - 4 , Z + l ) .

При X = 10, Y < 4 производится замена

U1 (X + 1, Y, Z) на — VI (1, Y + l , Z),

V 1 (X + 1 , Y, Z) на U l(l, Y + l , Z),

w i (X + 1, Y, Z) на W1 (1, Y + 1, Z), Al ( X + l , Y, Z) на B l(l, Y + l , Z), B1 ( X + 1, Y, Z) на - Al (1, Y + l , Z), Cl ( X + l , Y, Z) на Cl (1, Y + l , Z).

При X = 10, Y— 4 производится замена

• Для вывода уравнений движения перекрестий рас­ смотрим шесть условий равновесия элементов сочлене­ ния стержней под действием внешних сил и моментов, вызванных упругими деформациями и силами инерции.

стержня, с которым перекрестие имеет одинаковый ин­ декс Y. Поскольку перемещения в уравнениях движения соседних элементов стержней представлены в виде раз­ ложения в ряд по полиномам Лежандра, уравнения дви­

можно применить только в смежных сечениях с соседни­ ми элементами. В центре перекрестия деформации на­ столько сложны, что строить какие-либо гипотезы о рас­ пределении их по объему трудно. Наиболее просто пред­ положить, что деформации там отсутствуют и центр пе­ рекрестия движется как абсолютно жесткое тело, т. е. прямые углы между стержнями в перекрестии в процес­ се деформаций стойки сохраняются. Заметим, что изме­ нение углов между стрежнями в перекрестии, как пра­ вило, в конструкциях стоек нежелательно, поэтому при возникновении такой опасности перекрестия упрочняют­ ся с помощью косынок или другими способами.

Запишем вначале выражения для равнодействующих сил и моментов в смежных сечениях, выразив их через перемещения узла перекрестия и соседних узлов (рис. 1.19).

Выделим на сечении основного стержня, направление осей которого совпадает с направлением осей перекре­