книги / Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье
.pdfМинистерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
Р.Ф. Валеева
ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебно-методического пособия
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета
2021
УДК 512.622.86+517.518.45](072.8) В15
Рецензенты:
д-р пед. наук, профессор Е.Г. Плотникова (НИУ «Высшая школа экономики»); канд. физ.-мат. наук, доцент Л.М. Култышева (Пермский национальный исследовательский политехнический университет)
Валеева, Р.Ф.
В15 Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье : учеб.-метод. пособие / Р.Ф. Валеева. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2021. – 137 с.
ISBN 978-5-398-02652-8
Даны основные понятия числовых рядов с знакоположительными членами, необходимый и достаточные признаки сходимости. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды, признак Лейбница, абсолютная и условная сходимость.
Представлены функциональные и степенные ряды, область сходимости, интервал и радиус сходимости степенных рядов, свойства. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена. Рассмотрено применение степенных рядов к приближённым вычислениям значения функции, интегралов, решению дифференциальных уравнений.
Рассмотрены ряды Фурье, даны определение и основные понятия, нахождение коэффициентов ряда, разложение 2π и 2l – периодической, четной и нечетной, непериодическойфункцийврядФурье. СуммарядаФурье.
Приведены примеры и прикладные задачи с подробным решением. К каждой главе даны варианты индивидуальных заданий.
Предназначено для студентов второго курса технических вузов, изучающих раздел математики «Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье».
УДК 512.622.86+517.518.45](072.8)
ISBN 978-5-398-02652-8 |
© ПНИПУ, 2021 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Глава 1. Числовые ряды...................................................................................... |
4 |
1.1. Числовые ряды. Основные понятия................................................... |
4 |
1.2. Свойства рядов.................................................................................... |
7 |
1.3. Признаки сходимости числовых рядов............................................. |
8 |
1.3.1. Необходимый признак сходимости ряда................................... |
8 |
1.3.2. Ряды с положительными членами. Достаточные |
|
признаки сходимости.................................................................... |
8 |
1.4. Знакопеременные ряды..................................................................... |
22 |
1.4.1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница ...................... |
22 |
1.4.2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная |
|
сходимость................................................................................... |
24 |
Глава 2. Функциональные ряды....................................................................... |
28 |
2.1. Основные понятия............................................................................. |
28 |
2.2. Равномерная сходимость ряда. Свойства равномерно |
|
сходящихся рядов................................................................................ |
29 |
2.3. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости |
|
степенных рядов.................................................................................. |
31 |
2.4. Ряды Тейлора и Маклорена.............................................................. |
37 |
2.5. Применение степенных рядов.......................................................... |
49 |
2.6. Применение рядов к решению дифференциальных уравнений.... |
54 |
2.6.1. Метод последовательного дифференцирования..................... |
55 |
2.6.2. Метод неопределённых коэффициентов................................. |
58 |
Глава 3. Ряды Фурье.......................................................................................... |
64 |
3.1. Основные понятия............................................................................. |
64 |
3.2. Нахождение коэффициентов тригонометрического ряда.............. |
65 |
3.3. Достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье.......... |
65 |
3.4. Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций.................. |
74 |
3.5. Ряд Фурье для функций с произвольным периодом 2l .................. |
80 |
3.6. Разложение непериодической функции в ряд Фурье..................... |
83 |
Контрольные вопросы.............................................................................. |
90 |
Глава 4. Индивидуальные расчетные задания................................................ |
95 |
4.1. Числовые ряды................................................................................... |
95 |
4.2. Степенные ряды............................................................................... |
110 |
4.3. Ряды Фурье ...................................................................................... |
127 |
Приложение. Разложение элементарных функций |
|
в степенной ряд Маклорена............................................................................ |
133 |
Список литературы ......................................................................................... |
136 |
|
3 |
ГЛАВА 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
1.1. Числовые ряды. Основные понятия
Определение 1. Числовым рядом называется выражение вида
∞ |
|
a1 + a2 + a3 + …+ an + … = an , |
(1) |
n=1
где числа a1 , a2 , a3 ,…, an называются членами ряда. Они образуют
бесконечную последовательность.
Ряд считается заданным, если известен общий член ряда an ,
выраженный как функция его номера n: an = f(n). Образуем последовательность частичных сумм ряда:
S1 = a1 ,
S2 = a1 + a2 = S1 + a2 , S3 = a1 + a2 + a3 = S2 + a3 ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an = Sn−1 + an .
Sn – называется n-й частичной суммой ряда.
Определение 2. Если существует предел последовательности частичных сумм данного ряда
lim Sn = S, |
(2) |
n→∞ |
|
то ряд называется сходящимся, а число S – его суммой. |
|
Записывают это так: |
|
∞ |
|
an = S. |
(3) |
n=1
Если этот предел не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся. Вобоих случаях говорят, чторяд суммыне имеет.
4
Для знакоположительного ряда с ростом n растёт и частичная сумма Sn . Ряд будет сходящимся, если для любого номера n-я час-
тичная сумма Sn ограничена сверху, то есть Sn ≤ C.
Пример 1. Исследовать ряд на сходимость по определению:
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n(n + 1) |
|
|
|
||||||||||||
Общий член ряда |
an = |
|
1 |
|
|
|
– рациональная дробь. Разло- |
|||||||||||
n |
(n |
+1) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
жим её на простейшие дроби: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a = |
1 |
|
= |
A |
+ |
B |
= |
A(n + 1) + Bn |
, |
|||||||||
n (n + 1) |
|
|
|
|
||||||||||||||
n |
|
|
|
n n |
+ 1 |
|
|
|
n (n + 1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
A(n +1) + Bn =1, |
||||||||||||||||
|
|
|
n = 0 : |
|
A = 1, |
|||||||||||||
|
|
n = −1: |
|
B = −1. |
||||||||||||||
|
a |
= |
|
|
|
1 |
|
|
= 1 − |
1 |
. |
|
||||||
|
|
n(n + 1) |
|
|
||||||||||||||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
n + 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Находим частичные суммы ряда, преобразовав их:
S1 = 112 = 1 − 12 ,
|
|
|
|
|
S2 = |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= 1− |
|
|
+ |
|
− |
|
|
|
= 1− |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 2 |
2 3 |
2 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Sn |
= |
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
+ |
|
|
|
1 |
|
+ … + |
|
|
1 |
|
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
2 |
2 3 |
|
3 |
4 |
(n |
− 1)n |
|
n(n + 1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|||||||||||||||
= 1 |
− |
|
|
+ |
− |
|
|
|
+ |
|
− |
|
|
+ … + |
|
|
|
|
− |
|
+ |
|
|
− |
|
|
|
|
|
= 1− |
|
. |
|||||||||
2 |
|
|
3 |
4 |
|
− 1 |
n |
|
n + 1 |
n + 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
Находим предел n-й частичной суммы ряда:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
lim Sn = lim 1 |
− |
|
|
|
= 1. |
||
n + 1 |
|||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|||
Предел конечный, следовательно, данный ряд сходится. Пример 2. Исследовать ряд на сходимость по определению.
1 − 1 + 1− 1 + … + (−1)n+1 + …
Частичные суммы ряда
S1 = 1, S2 = 1 − 1 = 0, S3 = 1 − 1 + 1 = 1,…
0, n − чётное, Sn = 1, n − нечётное.
Предел lim Sn не существует, следовательно, ряд расходится.
n→∞
Пример 3. Исследовать ряд на сходимость по определению:
1+ 3 + 5 + …+ (2n −1) + …
Частичные суммы ряда
S1 = 1, S2 = 1 + 3 = 4, S3 = 1 + 3 + 5 = 9,…
Sn = 1+ 3 + 5 + … + (2n − 1) = |
1 + (2n − 1) |
n. |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Предел n-й частичной суммы ряда |
|
|
|
||||
|
1+ |
(2n − 1) |
|
|
|
||
lim Sn = lim |
|
|
|
n |
= ∞. |
|
|
|
2 |
|
|
||||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
||
Предел lim Sn бесконечен, следовательно, ряд расходится.
n→∞
Определение 3. Выражение, полученное путём отбрасывания первых n членов ряда (1), называется его n-м остатком и обозначается как
∞ |
|
Rn = an+1 + an+ 2 + an+3 + … = ak . |
(4) |
k =n+1
6
1.2. Свойства рядов
Свойство 1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд
∞ |
|
c a1 + c a2 + c a3 + …+ c an + … = c an , |
(5) |
n=1
где c – произвольное число (c ≠ 0), также сходится и его сумма равна c S.
∞ |
|
c an = c S. |
(6) |
n=1
Если ряд (1) расходится, то и ряд (5) расходится. Свойство 2. Если сходятся ряды
a1 + a2 + a3 + … + an + … b1 + b2 + b3 + … + bn + …
и имеют соответственно суммы S1 и S2 , то сходится и ряд, образо-
ванный сложением соответствующих членов данных рядов, и его сумма рассчитывается как
∞ |
∞ |
∞ |
|
an ± bn = (an ± bn ) = S1 ± S2 . |
(7) |
||
n=1 |
n=1 |
n=1 |
|
Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.
Свойство 3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путём прибавления или отбрасывания любого конечного числа слагаемых.
Следствие. Если сходится ряд, то сходится и любой его остаток, и наоборот.
В рассмотренных примерах (1)–(3) мы устанавливали сходимость или расходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости и формулой для n-й частичной суммы. Однако в большинстве случаев очень трудно найти компактную формулу
7
для Sn , а значит, и её предела. Для выяснения вопроса о сходимости
(расходимости) ряда применяются признаки сходимости. При помощи этих признаков по общему члену ряда можно судить о сходимости или расходимости ряда.
1.3. Признаки сходимости числовых рядов
1.3.1. Необходимый признак сходимости ряда
Теорема 1. Если ряд
a1 + a2 + a3 + … + an + …
сходится, то его общий член стремится к нулю:
lim an = 0. |
(8) |
n→∞ |
|
Доказательство:
Пусть числовой ряд сходится и предел частичной суммы
lim Sn = S. Тогда предел |
lim Sn−1 = S. Общий член ряда можно пред- |
|||
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
ставить так: |
|
|
|
|
|
|
an |
= Sn − Sn−1 , |
при n > 1. |
Тогда |
|
|
|
|
lim an = lim |
(Sn |
− Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = 0. |
||
n→∞ |
n→∞ |
|
n→ ∞ |
n→ ∞ |
Что и требовалось доказать.
Следствие (достаточный признак расходимости ряда). Если
lim an ≠ 0 или не существует, то числовой ряд расходится.
n→∞
Теорема 1 дает необходимое условие сходимости ряда, но не
достаточное. Существуютрасходящиеся ряды, длякоторых lim an = 0.
n→∞
1.3.2. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости
При решении вопроса о сходимости или расходимости знакоположительных рядов их сравнивают с другими рядами, сходимость или расходимость которых известна или их сходимость доказана
8
другим признаком. Такие ряды называют «эталонными» рядами. В качестве «эталона» часто применяют геометрическую прогрессию, гармонический ряд, обобщённый гармонический ряд.
Геометрическая прогрессия
a + a q + a q2 + a q3 + … + a qn−1 + …
Сумма n первых членов геометрической прогрессии
|
|
Sn = |
a(1− qn ) |
. |
|
|
|
|||
|
|
1− q |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Предел этой суммы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim Sn = lim |
a(1− qn ) |
= |
a |
|
|
− a lim |
qn |
. |
||
|
1− q |
|
||||||||
n→∞ |
n→∞ |
1− q |
n→∞ |
1− q |
||||||
(9)
(10)
Рассмотрим значение предела в зависимости от величины знаменателя прогрессии q:
1) Если |
|
q |
|
<1, то |
lim Sn = |
a |
, ряд (9) – убывающая геомет- |
|
|
||||||
|
|
1− q |
|||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
рическая прогрессия, сходится и его сумма S = 1−aq .
2) Если q >1, то lim Sn = ∞ , ряд (9) – возрастающая геомет-
n→∞
рическая прогрессия, расходится.
3) Если q = 1 , получим ряд вида a + a + a +…+ a +… , частич-
ная сумма Sn = n a , предел lim Sn = ∞ , ряд расходится.
n→∞
4) Если q = −1, получим ряд вида
a − a + a − a + … + (−1)n a + … ,
частичная сумма Sn этого ряда
0, n − чётное, Sn = a, n − нечётное.
9
Предел lim Sn не существует, следовательно, ряд расходится.
n→∞
Гармонический ряд
1 |
= 1+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ …+ 1 |
+ … |
(11) |
∞ |
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
2 |
3 |
4 |
n |
|
|
Он расходится, |
хотя |
необходимое |
условие |
выполняется: |
||
lim an = 0.
n→∞
Обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле)
1α |
= 1+ 1α + 1α + 1α + …+ 1α + …, |
(12) |
|||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
2 3 4 |
|
n |
|
|
|||||
где показатель степени α > 0 – действительное число.
При 0 < α ≤ 1 ряд (11) расходится, при α > 1 ряд (11) сходится. Доказательство расходимости и сходимости рядов (11) и (12)
будет рассмотрено дальше.
Теорема 2. Признак сравнения через неравенство
Пусть даны два знакоположительных ряда
|
∞ |
a1 + a2 + a3 + …+ an + … = an |
|
и |
n=1 |
|
|
|
∞ |
b1 + b2 + b3 + …+ bn + … = bn . |
|
|
n=1 |
Пусть для всех номеров |
n > n0 выполняется неравенство |
an ≤ bn , тогда |
|
∞ |
∞ |
а) если сходится ряд bn , |
то сходится и ряд an ; |
n=1 |
n=1 |
∞ |
∞ |
б) если расходится ряд an , то расходится и ряд bn . |
|
n=1 |
n=1 |
На практике наиболее удобно применять предельный признак сравнения.
10