книги / Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье

и только потом выполняем деление и записываем ответ в виде десятичной дроби.

Точность вычисления 0,01, тогда e2 ≈ 7,38.

Пример 37. Вычислить 4 80 с точностью до 0,001. Используем биноминальное разложение

… + k (k −1)(k − 2)(k − 3)…(k − n + 1) xn + … n!

51

Ближайшее число, из которого извлекается корень четвёртой степени, это 81. Преобразуем подкоренное выражение:

52

Погрешность вычисления не превосходит первого отброшенного слагаемого:

Пример 38. Вычислить интеграл с точностью до 0,01.

1 sinx dx.

0 x

Данный интеграл имеет две особенности. Он является не берущимся. Точка x = 0 особая точка, подынтегральная функция неопределенна. Имеем несобственный интеграл второго рода. В точке

53

Ряд знакопеременный. Так как третье слагаемое 515! < 0,01,

то для заданной точности достаточно взять два первых слагаемых. Несобственный интеграл

1 sin x dx ≈ 0,94.

0 x

2.6. Применение рядов к решению дифференциальных уравнений

Если решение дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции, то используют приближенные методы решения уравнения. Рассмотрим методы решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

2.6.1. Метод последовательного дифференцирования

Дано дифференциальное уравнение y′′(x) = f (x; y; y′) с начальнымиусловиями y(x0 ) = y0 ; y′(x0 ) = y0′ . Найтирешениеуравнения.

Решение будем искать в виде ряда Тейлора:

y′′′(x0 ), y(4) (x0 ) … . Найденные значения подставляем в ряд Тейлора.

Полученный ряд является частным решением дифференциального уравнения для тех значений х, при которых он сходится. Частичная сумма ряда является приближенным решением дифференциального уравнения.

Метод последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений любого порядка.

55

Пример 39. Найти решение дифференциального уравнения y′′ − 2xy′ − 4 y = 0,

удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 0, y′(0) =1. Решение уравнения будем искать в виде ряда Маклорена:

Разрешим уравнение относительно второй производной: y′′ = 2xy′ + 4 y.

Из начальных условий y(0) = 0, y′(0) =1. Найдём производные и их значения при x = 0 :

y(6) ( x) = 12y(4) + 2xy(5) , y(6) (0) = 0.

y(7) ( x) = (12 y(4) + 2xy(5) )' = 12 y(5) + 2 y(5) + 2xy(6) = 14 y(5) + 2xy(6) .

y(7) (x) = 14xy(5) + 2y(6) , y(7) (0) = 14 60 = 840.

56

Наблюдаем закономерность, n-я производная y(n) (x) = 2n y(n−2) + 2x y(n−1) .

Производные с чётными номерами равны нулю, y(2n) = 0. Нечётные производные

Получили рекуррентную формулу нахождения нечётных производных. Подставим найденные значения производных в ряд Маклорена, получим

57

y = c0 + c1x + c2 x2 + … + cn xn + cn+1xn+1 + cn+ 2 xn+ 2 + … .

Дважды продифференцируем ряд:

y′ = c1 + 2c2 x + ... + n cn xn−1 + (n + 1)cn+1xn + (n + 2)cn+ 2 xn+1 + ....

y′′ = 2c2 + 3 2 c3 x + ... + n(n − 1)cn xn− 2 + + (n + 1)n cn+1 xn−1 + (n + 2)(n + 1)cn+ 2 xn + ....

Находим слагаемые левой части данного уравнения:

2y′ = 2c1 + 2 2 c2 x + 2 3 c3 x2 + 2 4 c4 x3 + ... + 2 n cn xn−1 + + 2 (n + 1)cn+1xn + 2 (n + 2)cn+ 2 xn+1 + ....

4y′′ = 4x 2 c2 + 4x 3 2 c3 x + ... + 4x n(n − 1)cn xn−2 +

+4x (n + 1)n cn+1xn−1 + 4x (n + 2)(n + 1)cn+ 2 xn−1 + ... =

=4 2c2 x + 4 3 2 c3 x2 + ... + 4 n(n − 1)cn xn−1 +

+4 (n + 1)n cn+1xn + 4 (n + 2)(n + 1)cn+ 2 xn+1 + ....

Подставим эти ряды в уравнение:

4 2 c2 x + 4 3 2 c3 x2 + 4 4 3 c4 x3 + ... + 4 n(n − 1)cn xn−1 + + 4 (n + 1)n cn+1xn + 4 (n + 2)(n + 1)cn+ 2 xn+1 + ...

... + 2c1 + 2 2 c2 x + 2 3 c2 x2 + 2 4 c4 x3 + ... + 2 n cn xn−1 +

+2 (n +1)cn+1xn + 2 (n + 2)cn+2 xn+1 +…

…+ c0 + c1x + c2 x2 + c3 x3 … + cn xn + cn+1xn+1 + … = 0.

Сгруппируем по степеням x:

(c0 + 2c1 ) + (4 2 c2 + 2 2 c2 + c1 ) x + (4 3 2 c3 + 2 3 c3 + c2 ) x2 +

+ (4 4 3 c4 + 2 4 c4 + c3 ) x3 + (4 5 4 c5 + 2 5 c5 + c4 ) x4 + ...

59

... + (4 (n + 1)n cn+1 + 2 (n +1)cn+1 + cn ) xn + ... = 0.

(c0 + 2c1 ) + ((4 2 + 2 2)c2 + c1 ) x + ((4 3 2 + 2 3)c3 + c2 ) x2 + + ((4 4 3 + 2 4)c4 + c3 ) x3 + ((4 5 4 + 2 5)c5 + c4 ) x4 + ...

…+ ((4 (n +1)n + 2 (n +1))cn+1 + cn )xn + … = 0.

Коэффициенты c0 , c1 находим из начальных условий:

«Многочлен» равен нулю, следовательно, коэффициенты при степенях x равны нулю. Получаем систему для определения коэффициентов:

x : (4 2 + 2 2)c2 + c1 = 0.

x2 : (4 3 2 + 2 3)c3 + c2 = 0. x3 : (4 4 3 + 2 4)c4 + c3 = 0. x4 : (4 5 4 + 2 5)c5 + c4 = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

xn : (4 (n +1)n + 2 (n +1))cn+1 + cn = 0.

Преобразуем коэффициенты:

(4 2 + 2 2) c2 + c1 = 12 c2 + c1 = 3 4 c2 + c1 = 0.

(4 3 2 + 2 3) c3 + c2 = 30 c3 + c2 = 5 6 c3 + c2 = 0. (4 4 3 + 2 4) c4 + c3 = 56 c4 + c3 = 7 8 c4 + c3 = 0.

(4 5 4 + 2 5) c5 + c4 = 90 c5 + c4 = 9 10 c5 + c4 = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(4 (n + 1)n + 2 (n +1)) cn+1 + cn = (n +1)(4n + 2) cn+1 + cn = = (2n + 2)(2n +1) cn+1 + cn = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60