книги / Физика металлов и дефекты кристаллического строения
..pdfНа долю нулевой энергии приходится значительная часть общей энергии кристалла даже при температуре плавления. На гревание от Т = О К связано с появлением в теле фононов. По этому если нулевую энергию (£0) принять за основное состоя ние кристалла, то наличие фононов в теле будет указывать на то, что его атомы в решетке находятся в возбужденном состоя нии. Следовательно, фононы характеризуют элементарное воз буждение атомов кристалла, а выражение (10.5), интерпрети руемое с корпускулярной точки зрения, показывает, что при из менении квантового числа ng на единицу энергия системы из меняется на ftcog.
Итак, энергетический спектр ионов кристалла состоит из се рии уровней, удаленных друг от друга на равные расстояния ha*. Самый низкий уровень характеризуется нулевой энергией, равной (ft/2)cog (см. рис. 10.2). Если частота собственных коле баний ионов в твердом теле равна 1013 с-1, что соответствует частоте колебаний в инфракрасной части спектра, то величина ступени энергетической лестницы равна h&g = 6* 10~21 Дж и по порядку сравнима со средней тепловой энергией при Т = 27°С {kT = (1,38 • 10-16) • 300 = 4-10-21 Д ж ).
При низкой температуре средняя кинетическая энергия фо нонов настолько мала (см. рис. 10.2,6, где штриховкой пока зана энергия фононов в области низких температур), что ее не достаточно для возбуждения тепловых колебаний — это мед ленные фононы. Если бы все фононы обладали такой энергией, которой не хватает для перевода ионов в первое возбужденное состояние, то теплового возбуждения атомов при нагревании в области низких температур не наблюдалось бы, и теплоемкость тела равнялась бы нулю. В действительности же энергия фононов лишь в среднем равна 3/ 2 kT, так как среди медленных фо нонов всегда имеется некоторое количество фононов с энергией, больше средней, — быстрых фононов. Эти фононы при взаимо действии с ионами решетки будут возбуждать их и переводить в более высокое энергетическое состояние, что обусловит нагрев тела, т. е. появление теплоемкости кристалла, отличной от нуля. При этом величина теплоемкости будет значительно меньше в сравнении с величиной, определяемой по закону Дюлонга и Пти. Чем выше температура тела, тем больше фононов будут обладать повышенной энергией (Г2> 7 \ — см. рис. 10.2,6), а следовательно, тем больше возбудится ионов и тем выше ста нет теплоемкость. Рост теплоемкости будет происходить до тех пор, пока при какой-то температуре средняя энергия фононов не станет равной в результате чего практически все ионы в решетке твердого тела перейдут в первое возбужденное со стояние. При более высоких температурах дискретность энерге тического спектра уже не будет проявляться, и энергия ионов будет возрастать линейно, а теплоемкость достигнет значения 3/?. Строгое рассмотрение этой зависимости показывает, что
такое состояние тела достигается при температуре 0, опреде ляемой выражением £0 = Йсо или 0 = Тиo/k, которая назы вается характеристической температурой.
При температурах выше характеристической начинает нару шаться гармоничность, и колебательное движение приобретает ангармоничный характер. Это приводит к тому, что в формуле (10.4) появляется второй член:
где U — минимальное значение энергии при равновесном рас стоянии между центрами ионов.
Впервые качественное объяснение температурной зависи мости теплоемкости было дано в 1911 г. А. Эйнштейном. В своих рассуждениях он использовал простейшую модель твердого тела, представив кристалл в виде совокупности 3N независимых одномерных осцилляторов, колеблющихся с частотой v, энергия которых может принимать значения, кратные Тгсо, т. е. е = ntuo. Тогда на основании (10.4) и (10.5), вычислив среднюю энергию колебания осцилляторов по одному из трех возможных направ лений, соответствующих трем степеням свободы ионов кри сталла, и умножив результат на число ионов и коэффициент 3, получим среднее значение внутренней энергии тела. Так как средняя энергия осциллятора равна
(10.7)
то нетрудно получить предельные значения энергии осцилля тора при очень низких и очень высоких температурах. Так, на пример, если Асо мало по сравнению с kT, т. е. если имеем дело с высокой температурой, то показательная функция в знамена теле (10.7) близка к единице, и ее можно разложить в ряд по степеням
Ограничившись двумя первыми членами ряда, получим, что при высоких температурах
Умножив это выражение на число атомов (N) и число степеней свободы (3), получим, что средняя внутренняя энергия тела
Ecp = 3NkT = 3RT:
аего теплоемкость
Cv = d E J d T --- 3R
находится в полном согласии с законом Дюлонга — Пти, т. е. равна 6 кал/(моль-град).
При низких температурах, когда /ш » kTy положение ме няется: в выражении (10.7) можно отбросить в знаменателе единицу. Тогда средняя энергия осциллятора
е = йсо ехр — г.
Как следует из этого выражения, экспоненциальный множитель в предельном случае оказывается доминирующим, а поэтому с понижением температуры теплоемкость стремится к нулю по закону ехр [—/ш / (kT) ]:
Cv = W ( l f ) , “ P - S r < w -
В общем случае при любой температуре энергия грамммоля твердого тела в соответствии с (10.7) равна
Р |
__р . |
3Nh(i> |
ср |
0 * |
ехр [fr(n/(kT) — I ] - 1 |
а теплоемкость —
/> _ |
r f £ cp _ |
o n ^ A ® Y |
ехр[А®/(ЛГ)1 |
, 1ЛОЧ |
L V — |
~ d T — |
6]<V k r ) |
{ехр [Й<о/(ЙГ)] - |
1}* • |
Температура, при которой начинается спад теплоемкости, вычисляется с помощью выражения 0 = /ш/£, и в этом случае @э = Тиo/k называется характеристической температурой Эйн штейна. Выражение (10.8) может быть представлено и в дру гом виде:
С*-Н¥)\ ^ Т ) ^ ¥ или
г„в |
( вэ V |
ехР(®э/т) |
гле F { T ) |
V Г J |
[ехр (@э/т) —I]2 |
показывает, что в теории Эйнштейна теплоемкость равна про изведению 3R на универсальную функцию F (<дэ/Т), одинаковую для всех твердых тел.
На рис. 10.1 линией 2 была показана теоретическая зависи мость теплоемкости, вычисленная по (10.8). Как видно из рисунка, при высоких температурах опытная кривая (часть 1) и теоретическая совпадают, а при низких температурах наблю дается отклонение от опытных данных. Объяснение этого про тиворечия впервые дал П. Дебай в 1912 г. Он предположил, что твердое тело нельзя рассматривать как совокупность 3N простых осцилляторов, колеблющихся с одной и той же часто той v, так как в твердом теле атомы не имеют каких-то абсо лютно фиксированных положений равновесия, около которых
они могут колебаться независимо друг от друга. В действитель ности атомы колеблются относительно перемещающегося цен тра, положение которого определяется положением соседних ко леблющихся атомов. Поэтому колебательное движение одного атома под действием упругой связи с другим происходит не без участия окружающих атомов. Следовательно, в колебательном движении твердого тела принимают участие все атомы, а ча стота их колебаний представляет собой целый спектр частот.
Решение задачи по определению теплоемкости твердого тела с учетом частоты колебаний атомов кристалла показало, что если рассматривать колебания атомов как непрерывные упру гие колебания 3N осцилляторов различных видов, то внутрен няя энергия и теплоемкость будут выражаться следующим образом:
|
|
|
|
|
|
9 NkT |
* т а х |
|
|
|
|
|
|
-ср • |
Ео + |
С |
х 3 |
|
|||
|
|
|
V3 |
|
J |
е* |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Лт а х |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
х т а х |
|
|
|
|
|
|
|
|
Си -- |
9 Nk |
Г |
|
Л |
4 |
|
|
|
|
|
х3 |
J |
( е * - 1 ) 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
Лт а х |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
£ 0 — нулевая |
|
энергия; |
х = |
||||
|
|
= |
Л«#/(*Г); хтах = |
tUamiJ{kT); comax — |
||||||
|
Рис. Ю.з. |
верхний максимальный предел соб- |
||||||||
|
ственных колебаний отдельных ато |
|||||||||
Введем величину 0д = |
мов кристалла. |
размерность тем |
||||||||
/гштах/&, имеющую |
||||||||||
пературы и называемую |
дебаевой характеристической темпера |
|||||||||
турой. |
Тогда теплоемкость |
Cv |
согласно |
(10.10) |
оказывается |
|||||
произведением 3Nk на универсальную функцию Ф от А'тах = |
0д/Г |
|||||||||
(или от обратной величины |
приведенной |
температуры, |
Г/0д), |
|||||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Су — ЗЛГАФ(,vmax), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
Ф (.vraax) = 3 |
|
елх' |
|
|
|
|
|
|
|
(ех —1):• dx. |
|
|
|
|
|
Таким образом, согласно теории Дебая, величина Cv/R, вы раженная как функция приведенной температуры Г/0, для всех твердых тел должна изображаться одной и той же кри вой (рис. 10.3). Как видно из рисунка, экспериментальные точ ки для ряда различных металлов действительно укладываются на одну и ту же кривую, изображенную сплошной линией.
Рассмотрим предельные случаи высоких и низких темпера тур в теории Дебая.
|
При |
высоких |
температурах, |
когда |
Т |
|
0д, a |
.tmax |
1, |
ве |
||||
личина |
* ^ х тах |
будет и подавно |
удовлетворять |
неравенству |
||||||||||
х |
1. Тогда, |
разлагая |
подынтегральные |
выражения |
в (10.9) |
|||||||||
и (10.10) в ряд |
по степеням х |
и |
принимая только |
линейные |
||||||||||
члены, |
получим, |
что |
в области |
высоких |
температур |
£ ср = |
||||||||
= |
Е0+ |
3NkT, |
Су = 3Nk = 3R, |
т. |
е. |
теплоемкость |
совпадает |
|||||||
с теплоемкостью, |
выраженной законом Дюлонга — Пти. |
1, |
||||||||||||
|
В области |
низких температур, |
когда |
Т <С 0о или |
хтах |
|||||||||
верхний |
предел |
интегралов, входящих |
в |
выражения |
(10.9) |
и |
(10.10), может быть заменен бесконечностью, так как при воз растании х подынтегральное выражение быстро убывает. Тогда,
подставляя в |
(10.9) |
*тах = 0д/Т и принимая, что |
||
Г |
х 3 dx |
|
я 4 |
|
) |
ех - \ |
“ |
~ПГ * |
|
о |
|
|
|
|
находим предельное выражение для энергии: |
||||
Г? |
п |
, |
S n A N k |
г р л |
£» -£»+- s r r - |
||||
Аналогично, учитывая, что |
||||
со |
х4ех dx |
|
4я4 |
|
Г |
|
|
||
J |
(ех — I)2 |
|
’ |
|
о |
|
|
|
|
с достаточной точностью из (10.10) получаем предельное вы ражение для теплоемкости твердого тела по Дебаю при низких
температурах:
Сг =^ ( Г ), . 234 (^)3
Итак, теория Дебая дает зависимость теплоемкости от тем пературы, аналогичную зависимости по теории Эйнштейна. Од нако при низких температурах, когда Т «С 0д, колебательная энергия атомов по Дебаю изменяется ~ Г 4, а их теплоемкость — пропорционально Г3. Теплоемкость по теории Дебая при Г- >0К приближается к нулю более медленно, чем по теории Эйнштей на, что лучше согласуется с экспериментальными данными (см. рис. 10.1).
Значение дебаевой характеристической температуры может быть определено из измерений удельной теплоемкости при не скольких выбранных температурах. Установлено, что характе ристическая температура тем больше, чем меньше атомная масса вещества. Характеристическая температура также свя зана со скоростью распространения в теле звуковых волн: чем больше скорость звуковых волн в теле, тем выше его характе ристическая температура. Значения характеристической тем пературы, полученные теоретически и экспериментально, указы-
вают на то, что для большинства металлов 0д = —73 -г- + 127 °С. Приведем значения характеристической температурь/ для неко
торых |
элементов (в |
кельвинах, |
а |
в |
скобках |
укажем |
значение |
|||||||||
в градусах |
Цельсия): Be— 1160 |
(887), Mg — 406 |
(133), Ti — |
|||||||||||||
— 278 |
(5), |
Zr — 270 |
(—3), |
V — 273 |
(0), |
Nb — 252 |
|
(—21), |
||||||||
Та — 231 |
(—42), Cr — 402 (129), Mo — 425 (152), W — 379 (106), |
|||||||||||||||
Fe — 467 |
(194), |
Ni — 456 |
(183), |
Pd — 275 |
(2), Pt — 229 |
(—44), |
||||||||||
Cu — 342 (69), Ag — 225 (—48), Zn — 316 |
(43), Ge — 378 (105), |
|||||||||||||||
Cd — 300 |
(27), |
Al — 423 |
(150), |
С-алмаз — 2000 (1727), |
Si — |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
—647 |
(374), Sn |
(белое)— 189 |
(—84), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
P b — 102 (—171), Bi— 117 (—156). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Теория Дебая в равной степени от |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
носится к металлам и неметаллам, так |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
как она не учитывает участие в тепло |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
вом |
движении |
коллективных |
электро |
|||||||
|
|
|
|
|
|
нов, наличие которых отличает метал |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
лы от других элементов. Присутствие |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
коллективных |
электронов |
в |
металлах |
|||||||
|
|
|
|
|
|
оказывает |
существенное |
влияние на |
||||||||
|
|
|
|
|
|
теплоемкость как в области высоких |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
температур, |
где они наряду |
с ионами |
начинают принимать активное участие в тепловом движении, так и в области низких, вблизи абсолютного нуля.
Как было показано, электронная теплоемкость Cv линейно зависит от температуры и равна
C V |
з |
R |
kT |
УТ, |
|
2 |
Етах |
||||
|
|||||
где у = 3/ 2/г/?/£тах. |
Коэффициент у = 10~4 кал/(моль-град), |
и, следовательно, вклад электронной теплоемкости в общую теплоемкость металлов при комнатной температуре ничтожно мал и составляет примерно 3-10""2 кал/(моль-град), т. е. теп лоемкость электронного газа при этих температурах оказывает ся в 100—200 раз меньше в сравнении с теплоемкостью ионов.
Совсем другая ситуация наблюдается в областях очень вы соких и очень низких температур. При очень высоких темпера турах доля электронной теплоемкости с ростом температуры увеличивается, а при очень низких температурах, обычно при температурах ниже 5—4 К, электронная теплоемкость начинает даже преобладать над ионной. В связи с этим общая теплоем
кость |
металлов при |
Г < 0 будет отличаться |
от дебаевой. На |
рис. |
10.4 показана |
зависимость электронной |
(1), решеточной |
(2) и суммарной (<?) теплоемкости металлов в области низких температур. Эта зависимость будет описываться выражением
Су = СРеш + с у г = а Г3 + уТ,
где а = 12я4/?/(5©3).
Приведенные ранее положения теории теплоемкости чистых металлов могут быть распространены и на металлические спла вы, если тип связи и кристаллическое строение соединения или промежуточной фазы переменного состава не сильно отличают ся от составляющих их компонентов. Это объясняется тем, что если при образовании металлических фаз общий запас внутрен ней энергии системы может измениться, то энергия теплового колебания каждого отдельно взятого атома при высоких темпе ратурах практически почти не изменяется независимо от того, находится ли этот атом в твердом растворе или в составе хими ческого соединения. Эта особенность нашла отражение в пра виле Неймана — Коппа, согласно которому молекулярная теп лоемкость твердого химического соединения (С) аддитивно складывается из атомных теплоемкостей компонентов:
C = pC{ + gC2, |
(10.11) |
где р и g — число атомов в молекуле данного химического со единения; С1 и С2— атомные теплоемкости компонентов. Дан ное уравнение позволяет также определить удельную теплоем кость химического соединения, если величину С разделить на молекулярную массу. Правило Неймана — Коппа применимо к соединениям металлов с металлами и металлов с неметаллами, а также к твердым растворам, промежуточным фазам и их сме сям в гетерогенных сплавах. При этом для вычисления удельной теплоемкости сплава необходимо в выражение (10.11) подста вить массовые концентрации и удельные теплоемкости соответ ствующих компонентов.
Распространение правила Неймана — Коппа на сплавы в их различном структурном состоянии показывает, что термиче ская обработка сплава, изменяющая его структуру, практически не влияет на теплоемкость при Т > 0 (выше характеристиче ских). Для сплавов и большинства интерметаллических соеди нений правило Неймана — Коппа выполняется примерно с 60 %- ной точностью. При низких температурах это правило не соблю дается. В такой предельной ситуации характеристическая тем пература будет разной для различных фаз, так как она обу словлена силой межатомного взаимодействия и зависит от при роды фаз. Так, например, если сравнивать энергию связи раз личных структурных составляющих, то наибольшей энергией связи будут обладать химические соединения, а наименьшей — твердые растворы. Вследствие неадекватного вклада теплоем кости электронов большие отклонения от правила Неймана — Коппа будут наблюдаться также при температурах, значи тельно превышающих характеристическую (Т ^>0).
Изучение характеристик металлов и сплавов при нагревании показывает, что параллельно с изменением теплоемкости
ва меди с цинком от температуры. Резкий скачок теплоемкости при температуре 580 °С указывает на наличие перехода второго рода: упорядоченная фаза CuZn переходит в неупорядоченное состояние.
10.4. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛОВ
Теплопроводность металлов характеризует способность тела передавать тепловую энергию от одной точки к другой, если между ними возникает разность температур.
Выделим в теле две параллельные плоскости на расстоянии L и возьмем на них два сечения площадью Sv Если в одном сечении поддерживается температу
ра |
Ть а в другом — Т2, причем |
Т\ > |
Т2, то в теле возникает тепло |
вой поток (рис. 10.7, направление потока показано стрелками). Его ин тенсивность зависит от dQ/dx (Q — количество тепла; х — промежуток времени)— поведения температур ного поля, определяемого в элемен тарном участке градиентом темпе ратуры dT/dx, и свойством самой
среды, которая характеризуется |
ко |
эффициентом теплопроводности |
X— константой, зависящей от |
природы материала. Если |
|
= |
(10.12) |
то коэффициент теплопроводности будет измеряться тем коли чеством теплоты (например, в калориях), которое проходит в теле длиной 1 см через сечение с площадью 1 см2 при разности температур в (1°С) в течение 1 с. В дифференциальном виде истинная теплопроводность определяется выражением
X = Q dx |
1 |
1 |
dT |
S |
т ’ |
которое представляет собой внутреннюю теплопроводность, |
удельную или чаще всего просто теплопроводность. Теплопро
водность в системе СИ измеряется |
в ваттах на метр-кельвин; |
в старых системах — в калориях на |
сантиметр-градус-секунду. |
Чтобы перейти отводной системы к другой, необходимо исполь зовать численный коэффициент. Так, например, чтобы перейти к единицам СИ, численное значение X в единицах СГС необхо димо умножить на 418,68.
В технике существенное значение имеет коэффициент тем пературопроводности:
а = X/(pCvma).
Здесь |
%— теплопроводность в |
Вт/(м*К); р — плотность |
веще |
ства |
в кг/см3; CV — удельная |
теплоемкость, Дж /(кг-К); |
та— |
масса атома. Коэффициент температуропроводности в тепловых процессах характеризует скорость изменения температуры. Чем больше а, тем меньше температурная разность в отдельных ме стах внутри тела при одинаковых условиях нагревания и ох лаждения. В общем виде для металлов температурная зависи мость теплопроводности выражается как
= Я0 (1 +
где а — температурный коэффициент теплопроводности, кото рый в большинстве случаев имеет отрицательное значение, так как при нагревании теплопроводность уменьшается.
При плавлении металлов теплопроводность изменяется скач кообразно (рис. 10.8), а ее снижение обусловлено нарушением
Л,Вт/(см-К)
правильности кристаллического строения в металлах при пере ходе от дальнего к ближнему порядку. Повышение теплопро водности при плавлении, наблюдаемое у некоторых металлов (например, висмута), объясняется уменьшением объема при переходе из твердого в жидкое состояние, усилением металли ческой связи (у этих же металлов наблюдается и повышение электропроводности).
В области низких температур коэффициент теплопровод ности утрачивает смысл однозначной характеристики и начи нает зависеть от размеров образца. Теплопроводность как ме таллов, так и неметаллов при низких температурах (ниже 20 К) проходит через максимум и при дальнейшем понижении тем пературы стремится к нулю (рис. 10.9).
Исследование уравнения (10.12) показывает, что процесс распространения тепловой энергии является случайным. Нельзя считать, что тепловая энергия просто поступает с одного конца образца и, пройдя вдоль него, доходит до другого. На самом