книги / Физика металлов и дефекты кристаллического строения
..pdfдва электрона с противоположными спинами, и, следовательно, в зоне содержится в два раза больше электронов, чем атомов. Таким образом, количество квантовых состояний в зоне Бриллюэна может быть найдено путем измерения объема зоны в |3- пространстве и делением этого объема на объем одного кван тового состояния.
В гранецентрированных и объемноцентрированных кубиче ских решетках количество квантовых состояний в зоне также равно числу атомов, а на каждый атом приходится два состоя ния, соответствующих двум ориентациям спина электрона. Для плотноупакованной гексагональной решетки действительное чис ло квантовых состояний в зоне Бриллюэна зависит от соотно шения осей элементарных ячеек. Например, для первой зоны обычно количество квантовых состояний оказывается меньше, чем для такой же зоны в кубической решетке. Так, у цинка в первой зоне при соотношении осей 1, 86 на один атом прихо дится только 1,792 электрона, т. е. на каждый атом меньше од ного квантового состояния.
В связи с тем, что границы зоны Бриллюэна являются каса тельными по отношению к поверхности Ферми, представляется возможность определить количество электронов, приходящихся на одно квантовое состояние в сфере Ферми, отвечающей пер вой зоне Бриллюэна. Для объемноцентрированной кубической решетки радиус сферы Ферми, вписанной в первую зону, равен
У 2 я/d, а ее объем Vc = (4я/3) (23/2jt3/d3). |
Так |
как объем пер |
|
вой зоны Бриллюэна в указанной решетке равен |
V = (2я/d)3, то |
||
объем сферы Ферми от него составляет только |
0,74 части. Сле |
||
довательно, концентрация электронов в сфере |
Ферми составит |
||
2 x 0,74= 1,48 электрона на атом. При |
такой |
концентрации |
электронов на атом в сплаве с объемноцентрированной решет кой поверхность Ферми коснется границ зоны Бриллюэна.
Радиус сферы, вписанной в первую зону Бриллюэна метал
лов с гранецентрированной решеткой, равен д /З я/d, и соот ветственно объем сферы Кс = (4я/3) (33%t3/d3). Так как объем первой зоны Бриллюэна в этом случае составляет 4(2jt/d)3, то объем сферы Ферми будет равен только 0,68 части объема зоны, а следовательно, и электронная концентрация составит 2 X 0,68= 1,36 электрона на атом. При такой электронной кон центрации поверхность сферы Ферми коснется границы зоны Бриллюэна.
4.4.ПЛОТНОСТЬ ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ В ЗОНАХ
ИЗАПОЛНЕНИЕ ЗОН ЭЛЕКТРОНАМИ
Как было показано, каждая зона содержит ограниченное число квантовых состояний, а в соответствии с принципом Паули в каждом таком состоянии может находиться не более двух электронов с противоположными спинами. При ограничен
ном количестве электронов в твердом теле заполнена будет только часть состояний. В то же время из § 3.2 следует, что если электронные состояния однородно распределены в про странстве сферы Ферми, то их распределение по энергиям не однородно и характеризуется кривой N(E). В случае свободных электронов она имееет вид параболы (см. рис. 3.2,а).
Для коллективных электронов в связи с наличием зон Бриллюэна вид кривой N(E) изменяется (рис. 4.6, а). В этом случае
участок кривой от точки 0 |
до точки А соответствует кривой |
для свободных электронов, |
а по мере приближения к границе |
зоны Бриллюэна квадратичная зависимость энергии электронов от волнового числа, характерная для свободных электронов, выполняется все хуже и хуже. В ходе кривой наблюдается от клонение от параболической зависимости: энергия увеличи вается медленнее, чем плотность состояний. Кривая N (Е) после
точки А |
начинает идти выше, чем для свободных электронов, |
о |
5 |
и достигает максимума в точке В. Плотность состояний, отве чающая точке В, соответствует касанию поверхностью Ферми границы зоны Бриллюэна, т. е. значению р= n /d (см. рис. 4.4,а). После этого происходит заполнение только углов зоны, вслед ствие чего плотность состояний уменьшается, спадая вертикаль ным отрезком СЕ\ к нулю, когда заполнится последнее состоя ние.
Наличие максимума на кривой N(E) (см. рис. 4.6, а) ука зывает на то, что наибольшая плотность квантовых состояний соответствует значениям энергии, лежащим в окрестностях вер тикали Ев. Обрыв кривой вертикальным отрезком СЕ\ обозна чает, что ни один электрон в первой зоне не может иметь энер гии, превосходящей значение Е\. Электроны, для которых не
атнло мест в первой зоне Бриллюэна, должны располагаться во второй. В случае, когда перекрытия зон Бриллюэна не про исходит, между кривыми N (Е\) первой зоны и N (Е2) второй будет наблюдаться разрыв, а плотность состояний между точ ками Е1 и Е2 будет нулевой (рис. 4.6, а). Отсюда следует, что между точками Е\ и Ё2 нет электронных состояний, хотя по обе стороны они имеются. Заштрихованная область во второй зоне указывает на то, что наличного количества электронов вполне
достаточо, чтобы заполнить не всю зону, а только ее часть до значения энергии Е2'. Если же зоны перекрываются, то общая кривая получается при наложении друг на друга N(E) -кривых каждой из зон. В результате общая N(E) -кривая кристаллов бывает очень сложной (см. рис. 4.6,6).
Заполняемость электронами квантовых состояний в зонах зависит от количества коллективных электронов в объеме ме талла. Так как рассматриваемые зоны отвечают s-состояниям, то, согласно принципу Паули, каждое состояние может содер жать по два электрона с противоположно ориентированными спинами. Если количество коллективных электронов недоста точно для заполнения всех квантовых состояний, то в первую очередь заполненными окажутся состояния, характеризуемые наименьшей энергией (см. рис. 4.6,а, прямая штриховка). Так, например, в случае одновалентных металлов (медь, серебро, зо лото и т. д.) будет заполнено только N/2 квантовых состояний с наименьшей энергией. Для элементов с более высокой валент ностью заполняемость зон Бриллюэна будет зависеть от того, перекрываются ли зоны. В случае их перекрытия полное запол нение одной зоны (первой) невозможно без того, чтобы не на чалось заполнение второй (последующей).
Установленное зонной теорией положения позволили объяс нить многие свойства металлов и использовать открытые зако номерности для описания равновесных фаз в сплавах.
4.5.ПРОВОДНИКИ И ИЗОЛЯТОРЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА
Вприроде все материалы в электрическом отношении де лятся на три группы: изоляторы, проводники и полупроводники электрического тока. Если сравнивать представителей этих
групп по способности проводить электричество, то окажется, что электросопротивление таких изоляторов, как кварц или ал маз, в 1024 раза больше электросопротивления любого провод ника. Для выяснения причин различной проводимости обра тимся к рассмотрению энергетических зон электронов металлов и изоляторов.
На рис. 4.7 показаны возможные энергетические спектры разных элементов, причем линии Л-Л изображают верхнюю границу первой зоны, В-В — нижнюю границу второй зоны; го ризонтальные— возможные энергетические уровни электронов, вертикальные — области уровней, заполненные электронами. Рисунки а, б соответствуют ситуации перекрытия зон, рисунки в, г — наличию энергетических щелей между зонами, т. е. раз рыву между ними. Кроме того, рисунки а и в отражают ситуа цию, когда имеет место частичное заполнение электронами пер вой зоны.
Перенос электричества в любом теле связан с ориентацией валентных электронов по направлению вектора внешнего при ложенного поля и переходом их с низших энергетических уров ней на высшие, не занятые. Возможность такого перехода об условлена вероятностью, пропорциональной экспоненциальному множителю (ехр [—ДE/(kT)]y АЕ — энергия переброса элек трона через запрещенную щель). Чем больше ширина запре щенной зоны, тем меньше вероятность такого перехода. Расчеты показывают, что при ширине запрещенной зоны АЕ > 2 эВ эта вероятность ничтожно мала при всех допустимых температурах. Если тела, обладающие строением зон а, б, в (см. рис. 4.7),
а |
6 |
А |
г |
Рис. 4.7.
поместить в электрическое поле, например Ех, то электроны будут разгоняться по направлению вектора поля и смогут пе рейти на более высокие незанятые уровни, так как для их пере хода не требуется большого увеличения энергии.
Спрашивается, все ли валентные электроны будут прини мать участие в переносе электричества? Нет, в создании потока будут принимать участие лишь те электроны, энергия которых близка к максимальной, т. е. электроны с энергией, соответ ствующей энергии поверхности Ферми. Зона, которая обеспе чивает возможность направленного перехода электронов с од ного уровня на другой при незначительном изменении их энер гии под воздействием внешнего поля, называется зоной прово димости.
Случай г (см. рис. 4.7) соответствует полностью заполненной первой зоне, между первой и второй зонами имеется разрыв. По-
видимому, здесь |
переход электронов |
под воздействием |
поля |
||
на уровни с более высокой |
энергией невозможен, так как для |
||||
него необходимо |
получение |
энергии от |
внешнего поля, |
значи |
|
тельно большей |
kTy т. е. порядка |
нескольких тысяч вольт. По |
|||
этому в таких материалах |
зона |
проводимости отсутствует, по |
тока электронов по направлению вектора внешнего поля нет, и все электроны, независимо от наличия внешнего поля, нахо дятся в первой заполненной зоне.
Таким образом, вероятность перехода электронов под воз действием внешнего поля через энергетический барьер зависит от ширины барьера между занятым и незанятым уровнями, т. е.
от Д£. Если ДЕ ^ кТ, то вероятность перехода электронов в следующую зону (на следующий незанятый уровень) мала, и
вещество |
с такой структурой является изолятором, хотя оно |
и имеет большое количество коллективных электронов. |
|
Когда |
зона Бриллюэна заполнена не полностью или когда |
между зонами имеется перекрытие, то распределение Ферми может быть смещено движущимися электронами в соседние состояния при сравнительно малой разности потенциалов элект
рического |
поля. Это |
условие обусловливает высокую электро |
проводность веществ. |
Поэтому все материалы, для которых |
|
ДЕ кТ, |
являются проводниками электрического тока. |
4.6. ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Энергетический спектр полупроводниковых материалов бли зок к спектру изоляторов. При абсолютном нуле первая энерге тическая зона полностью заполнена, а вторая, отделенная от
первой энергетическим барьером Д£, пуста |
(рис. 4.8, а) |
и элект- |
|
а |
ропроводность |
равна нулю. |
Однако |
|
величина энергетического |
разрыва |
|
|
ДЕ между зонами значительно мень |
||
|
ше, чем у изоляторов (см. табл. |
||
|
4.1), хотя в некоторых случаях и |
||
|
превосходит кТ. Поэтому за счет |
||
|
электрического |
возбуждения, даже |
и
\\ \ \ \
ЧХ У У ч Ч Ч
Рис. 4.8.
при обычных температурах, у некоторых полупроводников элек троны не могут перебрасываться во вторую свободную зону и создавать перенос электричества. Повышение температуры по лупроводникового материала, взаимодействие фононов (фик тивных тепловых частиц с энергией ftv > ДЕ) с электронами приводят к перебросу их некоторого количества во вторую пу стую зону на нижние незанятые уровни. В результате такого переброса кристалл приобретает способность проводить элек трический ток.
Переброс Дп электронов в верхнюю, ранее пустую, зону освобождает Д/г электронных состояний в нижней, ранее пол
ностью заполненной зоне. Эти пустые состояния можно тракто вать теперь как дырки в энергетическом спектре кристалла. Появление дырок в первой зоне также обусловливает перенос электричества в результате смещения дырок на более низкие уровни и обмена местом с электроном, находящимся на этих уровнях.
Таким образом, перенос электричества в полупроводниках может осуществляться как электронами, переброшенными в пу
|
|
Т а б л и ц а 4.1 |
стую зону, так и дырками в за- |
||||||||
|
|
полненной |
зоне. |
В |
связи с |
||||||
|
|
|
|
этим |
дырочную |
проводимость |
|||||
|
AE , |
эВ |
т, к |
необходимо рассматривать как |
|||||||
Соединение |
теор. |
экспер. |
перемещение |
дырок, |
которое |
||||||
|
|
соответствует |
движению |
ча |
|||||||
|
|
|
|
стиц |
|
с |
эффективной |
мас |
|||
А1Р |
2,7 |
3,00 |
300 |
сой и зарядом, равным за |
|||||||
AlAs |
1,9 |
2,16 |
300 |
ряду |
электрона, |
но |
обратного |
||||
AlSb |
1,2 |
1,70 |
0 |
знака. |
|
|
|
|
|
|
|
CaN |
3,8 |
3,25 |
300 |
|
|
|
|
|
|
||
СаР |
2,1 |
2,40 |
0 |
В связи с двойным меха |
|||||||
CaAs |
1,6 |
1,53 |
0 |
низмом |
переноса электриче |
||||||
CaSb |
0,7 |
0,81 |
0 |
ства |
в |
полупроводниках |
рас |
||||
InP |
1,6 |
1,41 |
0 |
сматривается |
два |
вида прово |
|||||
InAs |
0,8 |
0,43 |
0 |
||||||||
InSb |
0,26 |
0,27 |
0 |
димости: во второй зоне — про |
|||||||
|
|
|
|
водимость, |
|
обеспечиваемая |
|||||
|
|
|
|
обычными |
электронами и на |
зываемая электронной проводимостью, обозначается Дп~, и в заполненной первой зоне — дырочная проводимость, обозначае мая Дп+, которая обеспечивается перемещением дырок с эф фективным положительным зарядом (см. рис. 4.8,а). По виду проводимости полупроводниковые материалы делятся на две группы: полупроводники Дп_- и Дя+-типов.
Благодаря тому, что электропроводность полупроводниковых материалов зависит от количества электронов в зоне проводи мости и дырок, а также от их подвижности, то электропровод ность полупроводников в отличие от металлов с повышением
температуры растет и приближенно может |
быть представлена |
в виде следующего закона (рис. 4.9): |
|
о = А ехр [— Д£У(£Г)], |
(4.9) |
где А — коэффициент, связанный с природой полупроводников. Полупроводниковые материалы, проводимость которых за висит только от числа носителей тока и их подвижности, обус ловленной температурой кристалла, называются собственными, а их проводимость — собственной проводимостью. Это связано с тем, что механизм появления электронов проводимости и ды рок определяется только характером собственного энергети
ческого спектра и не связан с примесями.
Уравнение (4.9) описывает переход электронов от связанного состояния к несвязанному под действием термического возбуж дения. Число электронов (п), способных переносить заряд (е) в кристалле, растет экспоненциально с повышением тепературы. Соотношение о/(пе) представляет собой подвижность некоторо го количества электронов в направлении вектора электрического поля. Она изменяется с температурой и зависит от колебаний решетки и эффективного заряда атомов. Последний зависит от
межатомного расстояния и его изме |
|
|||
нений относительно |
положения равно |
|
||
весия. |
|
числа носителей тока |
|
|
Увеличение |
|
|||
может быть также связано с дефек |
|
|||
тами кристаллической структуры. На |
|
|||
рушения |
атомной структуры кристал |
|
||
ла, в том числе нарушения типа ва |
|
|||
кантных |
узлов |
и |
дислоцированных |
|
атомов вследствие деформации и нали |
д |
|||
чия примесей приводят к искажению |
||||
и появлению дефектов в картине энер |
|
|||
гетического спектра |
кристалла. Полу |
|
проводники, в которых концентрация носителей тока обуслов лена примесями, называются примесными полупроводниками.
Наличие атомов примеси в кристаллической решетке основ
ного элемента |
приводит к искажению электронного спектра. |
В упрощенном |
виде эти искажения можно изобразить в виде |
системы локальных уровней, которые накладываются на основ ной спектр (на рис. 4.8,а они изображены штрихами). Как вид но из рисунка, часть локальных уровней может попасть в об ласть энергетических разрывов и представлять собой промежу точные энергетические ступеньки, на которых могут быть уда лены электроны.
По химической природе различают два типа примесей: при меси-датчики и примеси-ловушки, соответственно доноры или ак цепторы электронов. В первом случае электронные уровни при месного элемента располагаются ближе к нижней границе зоны электронной проводимости (см. рис. 4.8,б,в). Находясь на та ком уровне, электрон не может участвовать в проводимости, но так как энергия теплового возбуждения, необходимая для его перевода в свободную зону, относительно мала, то он легко переходит с локального уровня на свободный в зоне электрон ной проводимости. Такие переходы характерны для низких тем ператур, так как из-за малого значения энергии теплового воз буждения вероятность перехода из заполненной зоны в свобод ную ничтожно мала, а следовательно, не может возникнуть соб ственная проводимость.
Таким образом, в области низких температур в проводи мости полупроводниковых примесных кристаллов решающую
роль играют электроны, перешедшие в зону проводимости с ло кальных— донорных уровней. Так, например, если прокалить ZnO в восстановительной среде, то из нее удаляется небольшая часть атомов кислорода и появляются нейтральные атомы цин ка, которые путем диффузии распределяются в решетке. При нагревании такой окиси цинка возникает электронная проводи мость, которая обеспечивается передачей части электронов с атомов цинка в зону проводимости (см. рис. 4.8,6). Атомы цин ка в этом случае являются донорами.
Локальные уровни акцепторной примеси располагаются над верхним краем первой зоны (см. рис. 4.8, в). При температуре отличной от нуля, часть электронов из заполненной зоны пере брасывается на свободные локальные уровни примеси, что при водит к появлению дырок в первой зоне и возникновению ды рочной проводимости. Так, например, при нагревании в окисли тельной атмосфере окиси меди некоторое количество атомов кислорода поглощается кристаллами меди. Атомы кислорода, продиффундировавшие в решетку, являются акцепторами и при нагревании забирают электроны из заполненной валентной зоны, превращаясь в отрицательные ионы, благодаря чему в первой зоне возникает дырочная проводимость.
4.7. ЭЛЕКТРОННЫЕ СПЕКТРЫ МЕТАЛЛОВ
Развивая идею об энергетических зонах, мы сначала рас сматривали ситуацию со свободными электронами (гл. 3), а за тем подошли к понятию «почти свободных электронов». Образо вание разрешенных и запрещенных энергетических зон можно предсказать и с позиции сильной связи. Рассмотрим для этого совокупность удаленных друг от друга нейтральных атомов, каждый из которых обладает собственной системой энергети ческих уровней.
При сближении нескольких таких атомов в результате пере крытия электронных оболочек происходит изменение движения электронов и расщепление резко выраженных уровней электро
нов отдельных атомов в |
полосу |
энергетических |
состояний |
|
(рис. 4.10, а). Эта полоса |
состоит |
из дискретных |
подуровней, |
|
число которых равно числу взаимодействующих |
атомов: N ато |
|||
мов— N подуровней. Ширина расщепления АВ |
при г = г0 для |
атомов одного металла постоянна и не зависит от числа атомов, т. е. от объема металла. С возрастанием количества атомов в полосе АВ возрастает плотность подуровней. В энергетическом
отношении расстояние |
между двумя |
соседними подуровнями |
|||||||||
в полосе |
АВ для |
одновалентного металла |
при Emin — 10 эВ и |
||||||||
N = 1022 |
атомов |
в |
1 см3 составляет Д£,= |
10-21 |
эВ, |
что |
значи |
||||
тельно |
меньше |
(в |
10 19 |
раз) |
тепловой |
энергии |
(при |
Т = |
300 К |
||
£\епл = |
0,025 эВ). Так как |
расстояния |
между |
расщепленными |
|||||||
уровнями |
малы, то каждая |
зона получается в виде квазинепре |
рывной полосы. Ширина расщепления (размывания) в полосу энергетических уровней в условиях равновесия (при г = г0, от вечающего минимальному значению энергии £ min— см. рис. 4.10) составляет 1 -т- 10 эВ.
Расщеплению прежде всего подвергаются уровни валентных электронов как наиболее удаленных от ядер. Дальнейшее сбли жение атомов вследствие перекрытия электронных оболочек, ле жащих ниже валентных, приводит к расщеплению уровней внутренних электронов (рис. 4.10,6). Ширина расщепления вну тренних уровней в полосу определяется расстоянием между ато-
а s
мами: чем ближе атомы по отношению друг к другу, тем больше расширяется полоса. Однако из-за сильной связи внутренних электронов с ядром расширение полосы даже при очень малых расстояниях между атомами мало.
Рассмотрение электронных спектров металлов подтверждает выводы теории. Но если зонная теория предпочтительнее при рассмотрении почти свободных валентных электронов, напри мер 5-электронов в щелочных металлах, то изложенный метод дает лучшие результаты при анализе металлов повышенной ва лентности и с электронами, более сильно связанными с атома ми, например d-электронами в переходных металлах.
Метод анализа с помощью электронных спектров называется методом сильной связи. Он позволяет объяснить свойства мно гих металлов в тех случаях, когда остальные теории оказы ваются бессильными. Например, почему цинк и подобные ему металлы являются хорошими проводниками электрического тока вопреки тому, что имеют два электрона на последней ва лентной оболочке, которые заполняют полностью первую зону Бриллюэна, а перекрытие между зонами отсутствует.
Рассмотрим прежде всего электронные спектры щ е л о ч н ы х
металлов. Их атомы имеют |
по одному |
валентному электрону: |
||
у лития |
это |
25-электрон, у натрия — 3s, |
у калия — 4s, у руби |
|
дия— 5s, |
у |
цезия — 6 s. При |
сближении |
атомов щелочных ме |
таллов, например натрия, будет происходить следующее. В 3sоболочке натрия имеется один валентный электрон, в Зр-обо- лочке электронов нет. Однако при сближении атомов натрия они прежде всего войдут в соприкосновение с оболочками, на которых нет электронов, т. е. Зр-оболочками, а затем произойдет перекрытие оболочек валентных электронов. Поэтому при сбли жении прежде всего будет происходить расщепление уровней 3р- и Ss-оболочек (см. рис. 4.10,6). Дальнейшее уменьшение расстояния между атомами будет приводить к еще большему расширению зон Зр и 3s, и, наконец, при каком-то расстоянии начнут расщепляться уровни, принадлежащие внутренним элек тронам. Но так как внутренние электроны сильно связаны с ядром, то это расщепление будет незначительным и умень шится с приближением к ядру, кроме того, само расщепление будет смещаться в сторону уменьшения межатомного рас стояния.
Расширение Зр- и Ss-уровней настолько значительно, что обе зоны перекрываются, образуя непрерывную полосу. В резуль тате уже невозможно говорить о том, что электрон находится
в3sили Зр-состоянии, можно лишь утверждать, что в твердом натрии валентные электроны с наименьшей энергией пребывают
всостояниях, мало отличающихся от 3 5 -состояний свободных электронов. Такие состояния называются гибридными.
Гибридные состояния можно условно разделить на 3s и Зр. Такое подразделение позволяет утверждать, что электронное строение атомов натрия и атомов, составляющих кристалл нат рия, различно: в свободном состоянии атом не имеет электро нов в Зр-состоянии, а в кристаллическом натрии часть валент ных электронов обладает свойствами, характерными для Зр-со- стояний.
Перекрытие зон валентных электронов и зон, свободных от электронов (в случае натрия это уровни 3s и Зр), позволяет объяснить, почему двухвалентные металлы являются проводни ками электрического тока (бериллий, магний, кальций, цинк, стронций, кадмий, барий, ртуть), если их внешние s-оболочки имеют по два электрона, а зоны не перекрываются. Поскольку число валентных электронов у этих металлов четное, а перекры тия зон Бриллюэна не происходит, то они должны быть изоля торами электрического тока. Однако перекрытие зоны валент ных электронов с p-зонами, свободными от электронов, обеспе чивает им способность проводить ток.
Особенностью |
п е р е х о д н ы х металлов |
является то, что |
в металлическом |
состоянии у них имеются |
частично заполнен |
ные электронами |
внутренние rf-оболочки, а именно Зй-оболочки |