Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1267 вузов, 4649 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
13.11.2023
Размер:
24.79 Mб
Скачать
☆

Свободные колебания (точные исследования)

301

Схема

в

табл. 6

4

5

Продолжепне табл. 7

Собственная форма колсбаннЛ

X (ах) = (51 п а/ + зН а/) (сЬ ах — со$ ах) —

— (сЬ а1 + соз а/) (зЬ ах — $1л ах)

X (х) = (зЬ а/ + 51 п а.1) (сН. ах — с о б ах) —

— (сН а1+ соз аО (зЬ ах — з т ах)

X (х) = (сЬ а1— соз а1) (зЬ ах з(п ах) —

— ($Н а/ — 51п а/) (сЬ ах + со5 ах)

X (х) = (сИ о1 +со5 а1) (5Ь ах + 5т ах) —

—(зЬ а/ + з!л а/) (сИ ах + соз ах)

N.Условия сопряжения участков для балок со ступенчатым изменением

ссчсниН и сосредоточенными массами

Условия па общей границе смежных участков

Ступенчатое изменение по­ перечного сечения

2

Промежуточная опора

3

Промежуточная упругая опора

4

-------------• -------------

Сосредоточенная масса

-ч —

Юг. Л

Сосредоточенная масса с конечным моментом инер­ ции

Аналитические условия сопряжения

Х _ = Х + ; Х _ = х'^, (ЕЗХ") _= (Е^X")+ ^, (ЕЗ X")_= (ЕУХ")+

Х _ = Х + = 0; х ‘ = х'+ ;

^Е^X")_=(Е^X")+; (Е^X'а) _ = ^Е ^ X" )+ - К

Х_ = Х+\ Х_ = х'+;

{Е^ Х")_ = (ЕУХ")+;

{Е^X’^ ) _ = [Е^X'')+ + сX±

Х _ = А'+ ; Х _ =

(Е^X")_={Е^X•')+ \ ^Е^Xт) _ = ^Е^Xт) + — т5р^X

х _ = х +\ х ’ = х'^,

( ^ х ') _ = ( ы х ”) + + р2х +1

(ЕУХИ)_ *= <ЕУХМ)+ - т 8р«^±

302Свободные и вынужденные колебания стержней

9.Значении коэффициентов а/

Схема стержп

Г рафик

а I

I

0

5 0 Ш

ЕЗ

ог/

3

Длина балки 21; основной тон сим­ метричных колебаний

а1

5

Т

\

Основной тон симметричных коле­

О 10 20 30 Ь0

баний

 

Свободные колебания (точные исследования)

303

где п — номер пролета, совпадающий с номером правой опоры данного пролета. Если жесткость и интенсивность распределенной массы оди­ наковы во всех пролетах, то в уравнении (34) сокращаются все множи­

тели

.Если, кроме того, все пролеты имеют равные длины, то урав­

нение

(34) приобретает вид

 

 

Мп-Уп + 2Мп [ТпУп - ЗпУп) + М пчУм = 0.

(35)

Пример в. Составить уравнения частот двухпролетной балки с постоян­ ными жесткостью и интенсивностью распределенной массы, но с разными длинами пролетов /» и /8. В данном случае М0 = М2 = Оипо уравнению (35)

получаем

 

 

 

 

сН а /| -5]п а1, —

а I, со& а I,

с!г а /2 51 п а 13— зН а 13 соз а 13

2 5й а1{ $1п а/,

+

2 5й а/3 51п а/а

Так как М х + 0, то нулю должно равняться выражение, стоящее I скоб-

ках; это дает

 

+ сГд 1юс/2 =

с (д а /1 + с1&а/..

сЕд Иа/,

Например, при /, =

/*

наименьший

корень Ш = 1,78.

Влияние заданной продольной силы. Если стержень испытывает действие продольной силы N, то дифференциальное уравнение его сво­ бодных поперечных колебаний имеет вид

 

 

. д2у

I

N

д2о

 

(36)

ш

дх*

дГ2

1 ш

дх2

 

 

 

причем положительной считается сжимающая сила N.

 

Собственная форма колебаний определяется выражением

 

X СX) — СхзЬ Р*

С2сЬ Ра: Н- С3 зш уд: +

С4 соз ух,

(37)

где

 

______________________

 

я _

л ,

 

 

1 / 1 .

1

 

^

Е^ 1 /

2

+

V

4 *"

Л/3 ’

 

Г________________________ (38)

У ~ Е^ у

V

1

1

(Б/)2

2 т V

4

^

Л13 ‘

Величину а определяют по формуле (27). Собственные частоты р* шарнирно опертого стержня вычисляют по формуле

ь = п У 1+ш п> т>

<39>

в которой рь — к-я собственная частота при

N = 0.

 

Низшая собственная частота колебаний консольного стержня, на­

груженного на свободном конце сжимающей силой

 

' + - Ш Г -

(40>

Если консольный стержень нагружен равномерно распределенной

продольной нагрузкой, тонизшая собственная частота

колебаний

р! =р, У ' + - ш

-

(41)

304Свободные и вынужденные колебания стержней

Вформулах (40) и (41) — низшая собственная частота колебаний консольного стержня без продольной нагрузки.

Внекоторых случаях продольная сила возникает вследствие изгиба стержня и носит характер реакции. Это явление нелинейно по своему существу, и собственная частота зависит от амплитуды колебаний. Для стержня с шарнирно неподвижными опорами на концах к-ю собственную частоту колебаний находят по формуле

Рк=РкК>

(42)

где х — поправочный коэффициент, зависящий от отношения амплитуды колебаний а к радиусу инерции поперечного сечения р; значения х даны в табл. 10.

 

10. Знячсмил коэффициента х в формуле (42)

 

а

X

а

 

а

 

Р

~Р

 

Р

 

 

 

 

0

1

0,8

1,058

3

1,626

0,2

1,0008

1

1,089

4

1,976

1,0038

1,5

1,190

5

2,35

0,4

1,015

2

1,316

10

4,75

0,6

1,038

 

 

 

 

При

р -> 0 формула

(42) дает

неопределенное

значение

для р*,

так как р = 0 и х = со. После раскрытия неопределенности получается выражение для собственной частоты колебаний струны, начальное

натяжение которой равно

нулю:

____

=

4,17-^-

(43)

(если начальное натяжение велико по сравнению с его изменениями при колебаниях, следует пользоваться схемой 3 табл. 2).

Влияние сдвигов и инерции вращения. Это влияние особенно за­ метно при колебаниях стержней небольшой длины. Для шарнирно опертого стержня собственные частоты определяются формулой

 

___

(44)

где р1 =

1 / " -----низшая собственная

частота, вычисленная

без учета сдвигов и инерции вращения; К = —----- гибкость стержня;

Р — коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения (для прямоугольной формы сечения (3 = 1,2),

к — число полуволн, которые образует ось стержня при колебаниях.

 

 

Свободные колебания (приближенные

исследования)

305

Формула (44) определяет два зна­

1]. Собственные частоты

чения собственной

частоты,

отве­

ллп шарнирно опертого стержн

чающих данному числу к полуволн.

(при

— = 2,6 н 3 =

1,2)

Низшее значение

соответствует та­

 

 

 

кой форме колебании, при которой

 

 

 

поперечные

сечения

поворачива­

 

рнизш

раысш

ются в ту же сторону, что и каса­

 

тельные

к

изогнутой

оси;

второе

 

Р1

Р1

значение

соответствует

 

противопо­

 

 

 

ложным

направлениям

к

поворота

1

0,98

70,0

сечений

и

касательных

изогну­

той

оси.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3,74

73,6

 

 

частоты,

получен­

3

7,92

78,2

Собственные

4

13,0В

84,0

ные

по

формуле

(44),

приведены

5

18,77

91,6

в табл.

11.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (ПРИБЛИЖЕННЫЕ СПОСОБЫ ИССЛЕДОВАНИЯ)

Приближенные способы применяют при анализе колебаний стержней с переменной жесткостью и массой.

Способ замены распределенных параметров сосредоточенными

Этот способ допускает два варианта. Согласно первому варианту рас­ пределенную массу (рис. 5, а) заменяют несколькими сосредоточенными (рис. 5, б). Второй вариант предполагает замену стержня упругой шарнирной цепью (рис. 5, в), каждое звено которой совер­ шенно недеформируемо, а приписываемые шарнирам коэффициенты упругости вы­ бирают из условий достаточ­ ной близости общих жестко­ стей заменяемой и заменяю­ щей систем.

В обоих вариантах задача сводится к рассмотрению си­ стемы с конечным числом сте­

пеней свободы и, следовательно, позволяет найти лишь несколько (например, 5) низших частот. Для этого необходимо заменить заданное распределение масс (жесткостей) достаточно большим (во всяком слу­ чае, не меньшим, чем 5) числом сосредоточенных масс (упругих шарни­ ров). Однако и в этом случае результат может сильно зависеть от выбора мест сосредоточения параметров.

Формула Рэлея

Формула Рэлея основана на энергетическом соотношении (9), гл. 4

и в зависимости от типа колебаний приобретает одну из форм, указанных

втабл. 11, гл. 4; при этом выбирают (с точностью до постоянного мно­ жителя) функцию, описывающую форму перемещений стержня. Наряду с этим существуют иные варианты записи, приведенные в табл. 12.

306

С вободн ы е и вы нуж ден н ы е к о л е б а н и я ст ер ж н ей

Вл1| -риант

1

12. Выражения квадрата собственной частоты

Продольные

Крутильные колебания

Поперечные колебания

колебания

1

1

1

| Е Р ( Х ') 3ёх

 

| Её (X")3 ёх

0

 

0

1

| IX2 ёх

| тХ2 ёх + '%т(Х2

| тХ2 ёх + 2 т 1

 

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

|

ёх

 

 

1 * 1 *

 

 

| Мг ёх

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

| тХ2ё х - ^ ^ т . х ]

|

IX 2 ёх +

2 ^ * ]

тХ2 ёх + 2

т1 х2(

 

|

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

| <7(*) х

 

 

| р. (х) X ёх

 

^ <7(х) X ёх

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тХ2 ёх + ^ т 1Х2

 

|

тХ2 йх + 2 " * ^ /

|

/Х2 ^

+

2

 

|

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

1 ,

(х) х

ах + 2

Р,Х(

^ ц (*) X ёх +

2

|« ( * ) х а х + ^ Р 4х (

4

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

^ тХ2 ёх + 2

т1 * \

| ' * 2 -

+

 

М

^ тХ2 ё х + ^ т ^ 2;

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

^ т Х ё х + ^ т ^ !

 

 

 

 

 

|

тХ ёх + 2

т1Х1

5

& 1

 

 

 

 

 

 

Г

0

 

 

 

 

 

 

 

 

е

1

т{ А

 

|

тХ2 ёх + ^ т ^ 2

 

 

 

 

 

|

тХ2 ёх + 2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О б о з н а ч е н и я :

 

т (х) — интенсивность

распределенпой

 

массы; т1— сосредоточенные массы:

1 (д:) — момент инерции единицы

 

длины стержня отпоснтельно его

оси;

/^ — моменты инерции дисков.

Свободные колебания (приближенные исследования)

307

Вариант 1 предполагает определенный предварительный выбор функции X (х), описывающей перемещения стержня при колебаниях.

Вариант 2 не отличается от варианта 1, если задаваться функциями

X (х), а внутренние усилия определять по формулам

 

Ы = ЕРХ'\ МК= (МРХ'\ М = Е1Х\

(45)

Однако можно задаваться распределением внутренних усилий N (х), Мк (х) или М (х) и путем интегрирования соотношений (45) определять соответствующие функции X (х).

В варианте 3 сначала задаются, некоторой нагрузкой ц (х) [или моментнон нагрузкой р (х) в случае крутильных колебаний] и затем определяют вызываемые этой нагрузкой перемещения X (х).

Вариант 4 близок к варианту 3, но относится к случаю, когда зада­ ваемая нагрузка содержит также сосредоточенные силы Я/ или сосре­ доточенные крутящие моменты р/. Наибольшей определенностью об­ ладает вариант 5; здесь в качестве нагрузки <7(х) [или р (х)] принимают фактические веса единицы длины цт (х).

Применение вариантов 1—4 может привести к точным результатам (в вариантах 1 и 2 — если принимаемые функции точно совпадают с истинной собственной формой колебаний, в вариантах 3 и 4 — если принимаемые нагрузки пропорциональны истинным силам инерции, развивающимся при главных колебаниях). В остальных случаях, а также при пользовании вариантом 5 результаты вычисления собствен­ ной частоты получаются завышенными.

Пример 7. Определить основную частоту изгибных колебаний (рис. 6).

Рис. 6 Сначала воспользуемся вариантом 1 и примем

(46)

Теперь находим

I

I

0 0

н согласно варианту I табл. 12 определяем

2 _ 4/Г-/ . _т/__^0Е7_

р ~ I* ‘ 5

т1*

(47)

что заметно отличается от точного результата

(48)

308 Свободные и вынужденные колебания стержней

Причину столь большого расхождения следует видеть в недостаточно

удачном выборе функции X (х).

По варианту 2 зададимся не формой изгиба, а выражением изгибающего момента. Примем

-(-Я *

нинтегрируя 2 раза соотношение

Е^Xп

I

-------- - 5- (1 — - Г-)3 + с '

Е./Х 4 ( 1- * ) Ч * + в .

Из условий на правом конце

X (I) = 0; X' (/) = 0

С = 0; 0 = 0,

Теперь по варианту 2 т

:одим

 

 

 

108ЕУ

" И т й

г М

Ч Т *

(49)

Гораздо лучшие результаты получаются по варианту 4, если принять в качестве функции X (х) кривую изгиба, вызываемого сосредоточенной си­

лой Р на конце стержня (рис. 7, а).

 

 

 

При этом

,

Р1% ( х*

3*

, _\

V,

Л м

”

• щ ' (т*—

г

+ 2)

 

 

Р1‘

 

 

 

 

 

гЕ^

 

 

140Е^

Следующее отсюда значение собственной частоты

 

 

3,63

1 / "

е7

(60)

 

р

“ Т1"-

V

т

 

 

чается от точного значения

(48).

Свободные колебания (приближенные исследования)

309

Согласно варианту 5 необходимо принять за функцию X (х) кривую ста­ тического изгиба, вызываемого равномерно распределенной нагрузкой (рис. 7, б)

(51)

При этом

тХ ((х =

т:&1*

_

Р

тХ* ёх =

13т*ё*1*

20Сё

’

)

3240 (Её)*

По формуле табл. 12

 

I

 

 

 

 

 

 

 

ёх

 

 

 

 

|* тА

162ЕУ

Рг = 6

0

 

 

/

 

 

т а *

*

1шА'г Лс

(52)

что очень близко к точному значению (48).

Формула Граммеля

Формула Граммеля также дает всегда завышенные результаты и в за­ висимости от вида колебаний принимает форму, указанную в табл. 13.

13. Формулы Граммеля для определения квадрата собственной частоты

Вид колебаний

 

Формула

 

/

 

 

 

|

тХ2ёх + ^

Продольные

0

1

 

 

 

 

 

Ы'ёх

 

 

Г

 

 

3

Её

 

 

0

 

 

1

 

 

 

|

/ X2 Лх + 2 / ,.х?

Крутильные

0

1

 

 

 

 

 

Г л,1йх

 

 

5

а1<>

 

1

 

 

 

|

тХ2 Лх + ^

Изгнбныс

0

1

 

 

 

 

 

м* ёх

 

 

Г

 

 

ё

Её

 

 

0

 

310 Свободные и вынужденные колебания стержней

Перед вычислением собственной частоты, например изгибных коле­ баний, нужно задаться формой колебаний X (*) и, приняв за нагрузку я произведение

Я(*) = т Сх) X (х),

определить изгибающий момент М (х) из дифференциального уравн ЛГ = </(*).

После этого найденное выражение подставляют в формулу Граммеля, которая дает более точные результаты, чем формула Рэлея [при том же выборе функции X (*)).

Пример 8. Определить собственную частоту колебаннЛ консоли (рис. 6) по формуле Граммеля. Полагая

* м - М г + ж )

[что соответствует выражению (51) в решении по формуле Рэлея], принимаем за нагрузку выражение

,’= т ( 1- ^ г + - ^ - )

Двухкратным интегрировагронинем находим изгибающийн< момент

-

/ х*

2л:3

.

хв

\

 

 

 

М=

 

9/

+

90/* )

 

 

 

1~ т [ 2

 

 

 

и далее определяем

 

I

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

Г тхг</*= 0,2568/л/;

[ М*?Х’ =0,02077

Еа

 

 

 

•

I

 

 

 

 

 

 

Теперь по формуле для изгибных колебаний в табл.

13 находим

 

 

.

12.36ЕУ

 

 

 

 

 

 

Р

т1*

 

 

 

 

 

 

р =

3,51 - ]

/

"

(

5

3

)

Р

I1

V

т

 

 

 

 

 

Вариантом записи формулы Граммеля является формула Гогенем* зер-Прагера (табл. 14).

14. Формулы Гогенемзер-Прагера для определения квадрата собственной частоты

Вид колебаний

 

Формула

 

 

1

 

1

 

Продольн

Г <лпг ах

С

^ ах

 

0

т

‘ ^

ЕЕ

 

0

 

0

 

Крутильные

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

1

(м“)г ах

1

 

Поперечные

Г

Г

м*ах

0 т 0

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности