книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

= —0,13. В результате уточненного решения получается положитель-

]Г\

Следовательно, величина о„, найденная в различных вариантах решения, колеблется в очень широких пределах, что свидетельствует о резкой чувствительности результатов применения вариационных методов к выбору аппроксимирующих функций.

Обратимся к данным, полученным в результате интегрирования дифференциальных уравнений с помощью ЭЦВМ, приведенным на

ветствующие основным формам равновесия (эти формы показаны на

рис. 35). Наинизшая точка кривой соответствует величине стн = 0,067 при стреле прогиба и/ # 22,5/1. Следовательно, величина нижнего кри­ тического напряжения, полученная в этом решении осесимметричной задачи, лежит значительно ниже, чем это вытекает из решений по ме­

тоду Ритца, и вместе с тем выше значения он = —0,13, полученного в одном из решений по методу Бубнова-Галеркина. Надо полагать, что коэффициент 0,067 не является окончательным и возможны дальнейшие уточнения. Приведенное решение построено на основе теории пологих оболочек, и результаты могут быть иными, если использовать уточнен­ ные уравнения. Кроме того, задача считалась осесимметричной. Во мно­ гих случаях при потере устойчивости реальных оболочек развивается ряд вмятин, заполняющих некоторую область оболочки; выпучивание сопровождается взаимным влиянием (интерференцией) вмятин. Учет такого характера выпучивания оболочки требует рассмотрения несим­ метричной задачи.

Данные теоретического исследования влияния начальных неправиль­ ностей формы показывают, что при стреле начальной погиби вмятины,

равной толщине оболочки, верхнее критическое напряжение ое сни­

жается на 39% по сравнению с ов для оболочки идеальной формы. Экспериментальные данные показывают [1 ], что имеющиеся теорети­

ческие исследования далеко не охватывают всего диапазона различных

ния критического напряжения характеризуются значительным разбро­ сом и зависят от величины угла, охватываемого сегментом. Введем

нии давлением масла величина о составляла от —5-5— до - 0 г . . Испы- о,о

тания при постоянном объеме дают меньшее рассеяние эксперименталь­ ных точек, чем при постоянном давлении. В случае медных оболочек

Можно считать, что реальные критические напряжения акр подъеми­ стых сферических сегментов лежат между верхним критическим значе­

нием св = 0,605 и нижним значением, которое условно будем считать

к снижению окр. Впредь до накопления новых теоретических и экспери­ ментальных данных в практических расчетах следует исходить из раз-

зоваться приведенными в табл. 2 ориентировочными данными для срасч н критического давления драСц относящимися к тщательно изготовлен­ ным оболочкам.

2. Расчетные значения напряжений и нагрузок для сферических оболочек

При начальных прогибах, достигающих величины порядка толщины оболочки, эти значения следует снизить приблизительно в 1,5 раза.

коэффициент к находят по формуле

Эллипсоидальные оболочки

При расчете эллипсоидальных оболочек следует различать вытяну­ тые оболочки (а <С Ь, рис. 36) и сплющенные (сжатые) оболочки (а > Ьл рис. 37).

^Задача об устойчивости эллипсоидальной оболочки, подвергающейся действию внешнего равномерно распределенного давления д, родственна аналогичной задаче, относящейся к сферической оболочке: в обоих

случаях речь идет об образовании местных вмятин. Для вытянутой эл­ липсоидальной оболочки главные радиусы кривизны являются наиболь­ шими в зоне экватора 1 (рис. 36), где и следует ожидать появления вмя­ тин. Значение верхнего критического давления

В случае сплющенной оболочки следует ожидать появления первых

= -^-; заменяя в формуле (220), относящейся к сферической оболочк

Если сплющенная оболочка подвергается действию внутреннего

давления, при а > Ь У 2 кольцевые напряжения в оболочке будут сжи­ мающими. Максимальные сжимающие напряжения будут у экватора, где и образуются начальные вмятины. Критическое давление в этом случае

Чв=Т Щ г = Щ '

Практические расчеты эллипсоидальных оболочек надо вести по величине значение которой составляет приблизительно такую же долю от <7е, как и для сферических оболочек.

ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ

Исходные зависимости

Оболочка считается пологой, если стрела подъема И не превышает 1/ьот наименьшего размера в плане. Примеры пологих оболочек пока­ заны на рис. 38. Поперечная нагрузка может быть направлена нор­ мально к срединной поверхности (давление газа или жидкости) или

перпендикулярно к основной плоскости (собственный вес оболочки, вес снега для покрытии и т. д.).

Для расчета на устойчивость пологой оболочки важно исследовать

большие прогибы с позиций нелинейной теории. Различные варианты диаграммы нагрузка — стрела прогиба для оболочек различной кри­ визны показаны на рис. 39. Если оболочка весьма пологая (рис. 39, а), параметр нагрузки ц монотонно возрастает с увеличением стрелы про­ гиба /; диаграмма имеет точку перегиба С. На первом участке ОС жест­ кость оболочки падает, на втором — возрастает. На рис. 39, б показана зависимость для оболочки, имеющей начальную стрелу подъема, сравнимую с толщиной; график имеет предельную точку А , соответ­ ствующую верхней критической нагрузке, и точку В, соответствующую нижней критической нагрузке. При известных условиях — в случае мертвой нагрузки — становится возможной потеря устойчивости прощелкнванием оболочки к новому устойчивому равновесному состоянию. Зависимость ц ([), изображенная на рис. 39, в, соответствует оболочкам большой кривизны; ветвь АВ неустойчивых состояний лежит вблизи

Другой подход состоит в рассмотрении оболочки как пластинки с начальной погибыо.

Пусть контур оболочки прямоугольный, в этом случае удобно ввести декартовы координаты х, у, откладываемые в основной плоскости 1—4 вдоль сторон контура (рис. 40). Началь­ ное положение точек срединной поверхности определяется координатой г. Прогиб [^отсчи­ тывают от исходной срединной поверхности параллельно оси г. Уравнения, отвечающие данной трактовке, получим, положив в зави­ симостях (248а), (249а) кх = ку= 0 и вводя г вместо ш0; тогда придем к следующим соот­ ношениям:

При использовании этого подхода размеры оболочки целесообразно представлять как размеры в плоскости ху.

Если центральный угол 2<р, охватываемый наибольшим размером оболочки, настолько мал, что можно принять соз <р & 1, з1п ср = ф, то системы уравнений (248а)—(249а) и (250)—(251) являются эквива­ лентными.

Панель, прямоугольная в плане

Рассмотрим случай панели, имеющей прямоугольное очертание в плане (см. рис. 38, а). Главные кривизны кх, ку принимаем постоян­ ными. По краям оболочка шарнирно скреплена с ребрами, абсолютно жесткими на изгиб в направлении нормали и имеющими малую

имеет точку перегиба с горизонтальной касательной. В этом случае подкоренное выражение в формуле (260) обращается в нуль. Предельное значение к* будет

При достаточно малых значениях кривизн прощелкивание оболочек будет исключено (см. рис. 41), однако в этих случаях начальный участок диаграммы имеет малый угол с осью абсцисс, и жесткость оболочки ока­ зывается. незначительной. Поэтому важно возможно точнее определить

9в и Ян Для оболочек относительно

большой кривизны.

В уточненных решениях функ­ ции и»иФ выражаются в виде рядов

й /

Решение будет тем точнее, чем большее число членов удерживается в рядах (261). Уточненные диа­ граммы, полученные по результа­ там решения, выполненного с по­ мощью цифровой электронной машины, приведены на рис. 41 сплошными линиями. Отличие от данных первого приближения ока­

зывается существенным, начиная с к* «а 36. Уточненные решения дают несколько меньшие верхние критические нагрузки; при этом заметно возрастает нижняя критическая нагрузка.

На рис. 42 показана зависимость верхней и нижней критических нагрузок от параметра к* для панелей с различным отношением сторон по данным четвертого приближения при V = 0,3. Прощелкивание

Если в решении исходить из аппроксимирующего выражения для Ф в виде Ф = С/ (х) V (у), где V и V — «балочные» функции, удовлетво­ ряющие условию защемления балки по краям, то четвертое граничное условие (252) может быть выполнено во всех точках края. При этом для квадратной панели в уравнении (259) заметно изменяется только коэф­ фициент при р ; он оказывается равным 7,48 вместо 8,77.