Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1267 вузов, 4648 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
13.11.2023
Размер:
24.79 Mб
Скачать
☆

Колебания систем с несколькими степенями свободы

271

ставляют в выражение (136) и после вычисления

определяют поло­

жение нового центра. С помощью этого центра строят второй элемент фазовой траектории и т. п.

Пример б. Построить фазовый портрет фрикционной автоколебательной системы с характеристикой трения по формуле (129). Численные данные:

гн=0,102 дан-сек/см; с=1000 дан/см; Н+= 10 дан; Vо =

= 9,5 см/сек; о* = 10 см/сек.

Находим

р =

К т г - 100

 

! (У. У) =

2,87у + 2,%0у3-

0.10уя;

б ( у г V) =

— 0,029\> — 2,80уг -}- 10л>®.

При наугад взятых начальных

слопиях у 0 = О, ''^в=0,09

находим

о = —0,018 и строим первый уча­ сток фазовой траектории до точки

Сь которой соответствует V,= 0,08 (рис. 28, а). Далее вычисляем б, — =0,015; из нового центра проведена вторая дуга до точки Сг, в которой л>=0,07 и т. д. Фазовая траектория в целом показана на рис. 29, б и обозначена цифрой II; она пред­ ставляет собой свертывающуюся

спираль. Другая фазовая траекто­ рия, начинающаяся в точке О, 0,045 является развертывающейся спи­ ралью и обозначена цифрой I. Фазо­ вые траектории типа / и II неогра­

ниченно приближаются к замкнутой траектории Л, являющейся предель­ ным циклом. По кривой А находим максимальное и минимальное откло­ нения системы 0,06 см; —0,05 см. Полуразмах колебаний составляет 0,055 см [по формуле (131) в этом случае получается а= 0,064 см\

КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Свободные колебания

Формы дифференциальных уравнении движения. Наиболее общей формой дифференциальных уравнении движения являются уравнения Лагранжа

“М|

в которых I — время; од — обобщенные координаты; п — число сте­ пеней свободы; Т — кинетическая энергия системы; (За — обобщенные

силы.

Кинетическая энергия является квадратичной функцией обобщенных скоростей од:

1

Пш

<4к<пяь (*. к = 1, 2, ... , п ).

(139)

т = - о -

2

А I. к=\

272 Основы теории колебаний механических систем

Числа сць = аы называют инерционными коэффициентами.

В задачах о свободных колебаниях упругих систем без демпфирова­ ния обобщенные силы <3к выражают через потенциальную энергию П системы

<?* =

- - Ц

г

(* = 1. 2, .... л);

 

(140)

причем потенциальная

энергия

системы

 

 

1

”

ЪЫПЧк У, * = 1, 2, ...

, п)

(141)

Л = -я-

2

 

*, к=\

является квадратичной

функцией

обобщенных координат.

Числа

од = сы называют упругими коэффициентами. Соответственно

диффе­

ренциальные уравнения

движения

(138) принимают вид

 

аи Я г + а 12Я г + • ■*~Ьа\пЯп —

 

= —си Я \ —с\гЯъ — 444 — СщЯги

 

а ч\Я\ + а 22Я2 4" 4444~а т Я п =

(142)

= —С2\Я\ -^2273 - *• 4- С2 пЯп\

 

аП\Я\ 4" а.пгЯг

ОппЯп —

 

—СГЦЯ\ - СП2Яй - 4 **- СппЯп‘

Простым линейным преобразованием координат одну из квадратич­

ных форм — кинетическую или

потенциальную

энергию — можно

привести к сумме квадратов.

 

 

 

 

Если к сумме квадратов приведена кинетическая энергия, т. е.

 

1

п

 

(143)

т -----к- Ц акЧЬ

 

г

к=1

 

 

.

 

я

ЪЫЖЯь

 

1

2

(144)

<.

к= 1

 

 

то система (142) переходит в систему дифференциальных уравнений,

разрешенных относительно обобщенных

ускорений:

 

а\Я1------СиЯ1 С12^2

444 — С1пЯп»

 

агЯг = сг\Ях — ^22^2 — 4 44— СгпЯп\

(145)

 

 

апЯп — — стЯ1 — стЯг

сппЯп'

 

Колебания систем с несколькими степенями свободы

273

Это прямая форма дифференциальных уравнений колебаний. Если

в сумме квадратов приведена потенциальная энергия, т. е.

 

1

**

 

 

Т = -о- 2 а и Д Щ к '

 

* I, й= 1

(146)

1

П

о

 

л = 4 - 2

№

 

^ Л=1

то система (142) переходит в систему уравнений, разрешенных относи­ тельно обобщенных координат:

С1<71 — — ап <7! —

— • • • — ОщЧп\

 

С2?2 =

°22<72 — * * * — с2 пЯп\

(147)

спЧп — агпЯ\

атЯ2 — • • • — аппЧп

 

и представляет собой обратную форму дифференциальных уравнений колебаний.

К прямой форме дифференциальных уравнений движения можно прийти, непосредственно пользуясь вторым законом Ньютона для выде­ ленных из системы материальных точек; выражая силы упругости через перемещения, можно записать

п

 

 

 

пщ + 2

г^Ук = 0,

(148)

где Ш1 — /'-я сосредоточенная масса;

У1

— ее перемещение;

г& — бди-

ничная реакция (понятие, используемое

в методе перемещений). Если

кроме сосредоточенных масс механическая система включает в себя также твердые тела, то углы поворота этих тел также можно обозначить через У1 , в этих случаях под т ; понимают моменты инерции относительно осей, вокруг которых происходят повороты у^. Суммы, находящиеся в каждом из уравнений (148), представляют собой взятые с обратным

знаком силы, действующие на каждую массу /л,-, во многих

задачах эти

силы легко определяют непосредственно, без вычислений

как это

можно проследить на примере 7.

Обратную форму дифференциальных уравнений можно также полу­ чить непосредственно из линейных соотношений строительной механики

(< = 1.2........

«).

(149)

к=1

 

 

записываемых для безмассового упругого каркаса системы. Здесь 6/* — единичное перемещение (понятие, используемое в методе сил)', Рь — сила, действующая по к-щ направлению.

В задачах о свободных колебаниях Рк — —пгкУк и из соотноше­ ния (149) получаем следующую систему дифференциальных уравнений движения:

/I

(150)

У1-}- ^ дц<гпкУк —О*

к= 1

 

274

Основы теории колебаний механических систем

Пример 7.

Рассчитать систему,

показанную на рис. 29, тремя способами;

здесь т , и т*

— массы грузов;

сх и с, — коэффициенты

жесткости упругих

связей;

Ух н у я — перемещения

грузов

от

положения

равновесия.

С п о с о б

1 (использование

формы

уравнений

Лагранжа). Кинетиче­

ская и

потенциальная энергия

 

 

 

 

 

 

 

 

_

тгу\

 

п

схи\

' '2 (и2 -У \У

 

Г= —

'

П=

 

2

'

2

■

Производные

дп ду» = СЛ(у»—Ух).

Дифференциальные уравнения (138);

™\У\ + СхУх — сг (уя — ух) » 0; '

(151)

т%Уг +Са (Уя — Ух) = 0 .

Сп о с о б 2 (прямая форма). Единичные реакции

Г11 = ГЧ — ---

<?а ; Г ц

Дифференциальные уравнения (148);

™хУх + (<м + *») Ух — с,Уг — 0;

(152)

т,у\ — с,ух + сяуж= 0.

 

В данном случае (так же, как и вообще для всех систем цепного вида) эти дифференциальные уравнения движения удобно составлять путем непосред­ ственного определения упругих сил, действующих на каждую из масс:

М х = — СхУх

+

р* (Уя

— Ух):

= — сг (уж— Ух),

без предварительного нахождения коэффициентов г^ . Определив силы N 1,

Ыг, можно сразу записать дифференциальные

уравнения движения:

т х у \

=

М х :

 

. т гу'я

=

N 3 ,

 

совпадающие с дифференциальными уравнениями (152).

С п о с о б 3 (обратная форма).

Единичные перемещения

л

1 .

а

а

 

1

1

. 1

О ц в ——,

б1Я= 6 ,,= ——,

ба, = —--- Ь —— •

 

 

 

 

СХ

Р|

С%

Дифференциальные уравнения (150):

 

 

 

,

- 1

,

••

1

 

 

Ух + ™ хУх - г -

+

т , у ,

—- = 0;

 

 

 

С,

 

 

Сх

(153)

 

 

 

 

 

 

 

Уя

+ ПХяУх

 

 

^

--- 1- -р—\=

0.

Системы дифференциальных уравнений (151) н (153) эквивалентны.

 

Колебания систем с несколькими степенями свободы

275

В

принципе всегда можно

найти такие

обобщенные координаты

61.

.......... ^л. связанные с координатами

<72, . . дп линейными

соотношениями

 

 

 

 

 

 

л

 

 

 

 

71=

2

Ь1к\к\

 

 

 

 

к= 1

 

 

 

 

п

ьгьЫ

 

 

 

<?2 =

2

 

(154)

 

 

к =

1

 

 

 

п

 

 

 

 

Яп =

^

 

 

 

А= 1

чтобы выражения кинетической и потенциальной энергии были при­ ведены к суммам квадратов

г - 4

- Ё

й:

^

к= 1

(155)

 

 

я - 4г 2к=1

К й -

При этом дифференциальные уравнения движения приобретают осо­

бенно простую

форму

 

 

 

 

1 +

Я1| , =

0; '

 

 

1а +

^2^2 =

О»

(156)

 

 

 

 

 

^л +

^л^л =

0.

 

Координаты

называют нормальными координатами.

 

Составление частотного уравнения. Эквивалентные одна другой си­ стемы дифференциальных уравнений (142), (145) или (147) имеют частные решения:

?! = А *

(р * < + ф*);

 

Ь =

81п (рк( + ф*,);

(157)

 

 

ч'п = Апк 5Ш (рк1+ ф*),

описывающие гармонические колебания с частотой рк>Для определе­ ния рк служит уравнение частот, форма которого зависит от способа,

276 Основы теории колебаний механических систем

избранного для составления дифференциальных уравнений

дви­

жения:

использовании

уравнений Лагранжа

 

 

при

 

 

 

ацра — Сц;

Д12Р2

<Т2,

атР“— Сщ

 

 

 

аг\Р2— сп 1

а^^р1

с22,

а 2п Р 2 — С2п

 

 

 

 

 

 

=

0;

(158)

 

атР“ — Спи

а пчР

спг> • ■

ОппР2~ Спп

 

 

при использовании

прямой формы

 

 

 

 

ЩРг ~ гц\

— Г12; .

— Г1П

 

 

 

— Ъй

^гР3 — г22»

— Г2,П

 

 

 

 

 

 

=

0;

(159)

 

— Гпи

— сл2;

тпр2 — гпп

 

 

при

использовании

обратной формы

 

 

 

 

I — /П1ви р2;

— т 26 12р2;

— тпЬтР*

 

 

 

— /М ы р8;

1 —/п2622р2; ... ;

— тп62„р2

 

 

 

 

 

 

=

0.

(160)

 

— т^бщр2;

— /п26Л2ра; . . .;

1 — тпЬппр*

 

 

Все корни Рр Р2, .

., р^ частотного уравнения вещественны и не­

отрицательны.

 

 

 

 

 

Собственные формы. Каждому значению р\ соответствует система

соотношений между амплитудами

 

 

 

 

Агк .

А^к

.

 

(161)

 

А\к '

 

А1к *

 

 

 

 

 

определяющая собственную форму колебаний. Эти соотношения полу­ чают из дифференциальных уравнений движения, если в них подставить частные решения (157). Так, при прямом способе составления уравнений

задачи из выражений

(148)

и (157)

получаем

 

-

+ 2

ГйА , =

0 (з. ‘ = 1, 2.........л).

(162)

к=1

Среди л уравнений (162) независимыми являются только п — 1 уравнений: последние и определяют систему соотношений (161).

Собственная форма характеризует лишь конфигурацию механиче­ ской системы при ее моногармонических колебаниях и масштаб для пе­ ремещений может быть выбран произвольно. Иногда бывает удобным придать полную определенность каждой из собственных форм колеба­

Колебания систем с несколькими степенями свободы

277

ний. Для этого пользуются тем или иным условием нормирования; в част­ ности, применяют какое-либо из следующих условий;

А1к= 1

(к = 1, 2, . .

п)\

(163)

= 1

(А = 1 ,2 ........

И);

(164)

1= 1

ПП

 

2

т1А% = 2

т!

(* = '• 2,

. л).

(165)

 

5= 1

1 =

1

 

 

 

Значения

А[к,

удовлетворяющие

условиям

нормирования,

ниже

обозначены

а

 

 

 

 

 

Любые две различные собственные формы колебаний ортогональны

одна к другой:

п

2 > 1,а ,А а= о а ф к).

(166)

1=1

 

Общее решение системы дифференциальных уравнений движения представляет собой сумму частных решений (157):

Щ=

п

Аси 5Ш [Рк* + Ф*)

 

п),

 

2

(* = 1, 2, . .

(167)

 

к= 1

 

 

 

 

которая может быть также представлена

в виде

 

 

Ш =

п

аит 51П (ри( + <Ри)

(« = 1, 2, . .

п),

(168)

2

 

к=\

 

 

 

 

 

где им — амплитуды нормированной собственной формы; ак и

<р&—

постоянные, определяемые начальными условиями;

 

 

 

 

Я\ (0) — Ям*

Я\ (0) — Ям*

 

 

 

 

Яг (0) = Яго'’

Яг (0) =

Яго’*

 

(169)

 

 

Яп (0) — Япо*

Яп (0) — Япо*

 

 

При произвольно заданных начальных условиях осуществляется

полигармонический колебательный процесс (167) или (168). При специ­ альном выборе начальных условий могут быть реализованы в чистом виде моногармонические колебания (157) с общей частотой ри- Такие колебания называют главными.

Пример 8. Определить собственные частоты н собственные формы колеба­ ний системы, показанной на рис. 29.

Частное уравнение в форме (159) будет

278 Основы теории колебаний механических систем

отсюда

 

 

+ С»

Р1-

 

 

 

 

 

 

 

- =

0;

 

 

2

+ ^

)

±/ т

 

 

 

СгС2

01,2 = т ( ^ 7

( ^

- + ^

) 2

г п 1т

2

Если, например,

сх =

ся и тг =

 

 

 

 

 

^____У/

 

^

У?

 

 

 

 

 

 

 

I

т7

кончателыю

 

 

 

5 -АЛ М Ц ^ > АМ г{

 

 

Р»= 0,618 1/

—

;

 

 

1

У т

 

В этом случае уравнения (153) имеют вид: при < = I

- "М15Р* + [(*, + с2) И15 - с,/!.*] = 0;

при * «= 2

— т А 2$р \ + [“ с2/415 + с2/12а] = °*

Первое из этих уравненнй дает

 

 

 

^2$

„

т Р ]

 

 

 

 

^ 1»

 

«

’

т. е. собственные формы колебаний определяются отношениями

 

^ 1 1 -=

1,62;

 

-4 ^ - = — 0.613.

 

Лц

 

 

 

А и

 

Те же результаты можно найти и из второго уравнения (170).

Для нормирования

первой

собственной

формы по условию (164) имеем

 

 

ш^

2

+

0

 

 

 

ц

^2А21 = 1§

подставляя

сюда 4 *1 ~

1>62 и т1 = т1, находим

 

л и

 

 

0|618

 

 

 

 

 

 

аг1 = -—

 

 

 

 

УШ :

Vт

Для нормирования

второй собственной формы по условию (164) имеем

 

 

Ш1‘Л12 + //,2'422=

11

и так как

А1г = — 0.618, то

1,27

 

 

0,785

 

ДИ =

г— ;

0*8= -----— -

 

 

 

Ут

•

 

У7п

Влияние инерции вращения твердых тел на собственные частоты одно- и многомассовых систем. Если входящие в упругую систему массы обладают значительной инерцией вращения, то остаются справедливыми дифференциальные уравнения свободных колебаний (148) и (150),

Колебания систем с несколькими степенями свободы

279

однако под ус следует подразумевать не только линейные перемещения, но и углы поворота, а под т* как массы тел, так и соответствующие мо­ менты инерции. Учет последних приводит к увеличению числа степеней свободы системы, при этом низшая собственная частота уменьшается и обнаруживаются дополнительные (более высокие) собственные ча­ стоты.

Пример 9. Определить собственные частоты и собственные формы колеба­ ния консольного стержня с грузом на конце (схема 9 табл. 6).

О б о з н а ч е н и я : I — длина стержня; ЕУ — изгнбная жесткость} т — масса груза; р — радиус инерции груза относительно его центра тяжести; у | — линейное смещение центра тяжести груза; у г — его угол поворота (рис. 30, а).

Дифференциальные уравнения (150) имеют вид

Ух +ту\Ъц + тр’АГаби = 0'*

Ул + тухЬгх + гпргухЬгг = 0.

Единичные перемещения й[ь в данном случае будут (рис. 30, б)

ЙЦ 2ЕУ б1# — <Т.|

Iх

Ьгг = -

2ЕУ

Частное решение (157):

 

 

= а1* 3,11 (рА* + фА): »2к=агкЛа ( V + ф*).

После подстановки этого решения в дифференциальные уравнения движе­ ния получаем

а\к~ та\$\\рк ~ тр~а2кЬ12рк—0;

(171)

Чк" та1к62\рк ~ тр2Чк^22р1=0:

280 Основы теории колебаний механических систем

отсюда следует частотное уравнение

1 — "»бп р |

—тр2612р^

 

— трЧп р1

1 — тр2й22р2

соответствующее равенству

(160).

 

 

 

 

Подставляя в частотное уравнение указанные выше выражения единичных

перемещений, находим

 

 

 

 

 

 

2 _ ^Е ^

(

Р

,

л/~

I*

,

^1 .2 — ,„/■

^

+ Зр* *

V

9 р 4

+ Зр* + V *

Отсюда следуют приближенные (для ( > р) выражения для собственных частот колебаний

Для определения собственных форм можно воспользоваться любым из уравнений (171). Так, нз первого уравнения находим

 

А2к

1~ тЛПрк

 

А\к

тр2(>12рк

после подстановки найденных собственных частот получаем

_

I

Да» ^

 

/*-Зр*

~ Зр* ’

эти формы показаны на рис. 30, в.

Влияние вязкого сопротивления на свободные колебания. Если меха­ ническая система содержит г? элементов вязкого трения, направления действия которых / = 1, 2, . . . . 5, то дифференциальные уравнения движения системы в обратной форме имеют вид

0*+ 2 п1кЯк&ск-\~

( ^ 2)

к= 1

/=1

где ку — коэффициент сопротивления

/-го элемента трения.

Если каждое из направлений у совпадает с каким-либо из направле­ ний к (т. е. если все элементы трения присоединены к массам системы), то число уравнений (172) равно п. Если же имеются такие элементы трения, которые создают силу сопротивления, не приложенную непо­ средственно ни к одной из масс системы, то уравнение (172) следует составлять также для направлений действия этих сил, при этом каждый из таких элементов трения увеличивает число степеней свободы системы на ,/а (см. табл. 7).

Решение системы дифференциальных уравнений движения (172) обнаруживает затухающий характер колебательного процесса системы, но при умеренном демпфировании частоты колебаний незначительно отличаются от собственных частот недемпфированной системы.

Как правило, дифференциальные уравнения движения не допускают разделения на независимые уравнения для каждой из собственных форм. Такое разделение становится возможным лишь в некоторых особенных

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности