Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2023

Размер:

24.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 5729 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Колебания систем с несколькими степенями свободы

281

случаях (например, если каждый упругий элемент системы является одновременно носителем вязких свойств, причем отношение коэффи циентов жесткости и коэффициентов вязкости одинаково для всех таких элементов системы).

Вынужденные колебания

Формы дифференциальных уравнений движения. В общем случае, когда заданы возмущающие силы

		Р1=Р1«У' Р2=Р2 (0;					•	Р п= Р п((),			(173)
действующие по направлениям 1= 1, 2,									дифференциальные
уравнения движения имеют вид
		тУ1 + 2	П м =		(0		(I = 1 ,2 , .		. , п)		(174)
		к =	1
(прямая форма) или
		№ + 23 Ъьтиуь =					23	(П			(П5)
(обратная форма).			к=1				Л=1
(обратная форма).								движения.		Решение си
	Решение	дифференциальных			у р а в н е н и й			движения.		Решение си
стемы (174)		[или системы (175)1 можно представить в виде разложения
по	собственным формам				п
					п
				=			(0 ;
				к= 1
					п
			Уг = 2 ] а2А<7л(0;								(1 7 6 )
				к= 1							(1 7 6 )
					п
			Уп =		2	йпкЯк (0.
				Аг=1
где	ацг — амплитуды		нормированных собственных						форм		колебаний
[при условии нормирования				(164)],			а функции ^		(/)	определяют из
системы дифференциальных				уравнений
						п
			«1 + Р1?1 =			2 ] аМР * (0 ;
						к =	\
						п
			<72"1"Р^2 =			2	акчРк (О!				(177)
						к =	\				(177)

Яп+Р\чп = ^ а кпРк {1),

к = 1

282 Основы теории колебаний механических систем

где р1г р2, . . рп — собственные частоты. Способы решения уравне ний (177)"при любом виде правых частей см. стр. 245—250.

Если силы Я/ (0 изменяются по синфазным гармоническим законам с общей частотой (о, т. е. заданы в виде

Р 1 = Р 01

0)/; Р й = Р 0251П (О/, .

. , Р п = Р 0 п 51П со/, (178)

то решением любого из уравнении (177) служит сумма

2	Р о к а Ы
= Щ ------ 5" <■><		(179)

Р: ~ ш

ивместо выражения (179) получаем

пп

2	2	а Ы р оЬ
У1 = 5=1	*=1	о------	5Ш (*1.	(180)

В этом случае амплитуды колебании могут быть также найдены непосредственно, если положить в системах (174) или (175)

Ус = Ас 5Ш <в/.

(181)

Амплитуды А( определяют из системы алгебраических уравнений

— 1ЩА1СО2 + 2	п кАс = Р 10	(182)
к =	1

(прямая форма) или

пп

А с — юа 2	&1кт к А с = 2 Ь с к Р к о	(183)
к= 1	к= 1

(обратная форма).

Пример 10. Определить амплитуду колебаний системы, показанной на рис. 29, если к первой массе приложена возмущающая сила рх = Р0 з1п ы1. В данном случае можно пользоваться системой уравнений (182):

—/П1Л 1 0 * + (с1 + ся) А \ —

—с 2 А 1 = Р0‘,

тяА — сЯА | сяА з = 0,

или системой уравнений (183):

Рис. 31

Колебания систем с несколькими степенями свободы				283
После решения любой из этих систем получаем
А,=	Р0 {с2 — тсо»)	Са	Ль	(184)
А,=	(С1 + с2 ~ ш1(°2) (с2 ~ ш2<°2) с2	с- —	Ль	(184)
	(С1 + с2 ~ ш1(°2) (с2 ~ ш2<°2) с2	7
Если о> = 1 /^Ц то амплитуда колебаний		первой массы	равна	нулю
	V т

(антирезонанс первой массы). При этом амплитуда Л 3 колебаний второй ^ассы

		.	Р0
составляет А 2 = —
			сз
Зависимость амплитуды колебаний нерпой массы от частоты возмущающей
силы для		случая с1 = с. =		с. тг = т 2 =	т, Р0 = 1 показана	на рис. 31.
	При ев =		0,618 1 / ^ - и	а = 1,62 ] /	вознпкаст резонанс,	а при о) =
= 1/ Х		-	антирезонанс.
г	т

Действие сил вязкого сопротивления. При гармонических возмущаю щих силах (178) влияние сил вязкого сопротивления выражается в двух основных эффектах:

фазы колебании различных точек системы не совпадают между собой и отличаются от фазы возмущающих сил;

амплитуды колебании точек системы меньше соответствующих ампли туд системы без трения и всегда конечны (включая резонансные условия).

Амплитуды вынужденных колебаний определяют путем подстановки решения

У1 = А( $ш (со* — <р/) (/ = 1 ,2 ,.	. ,	п)	(185)
в дифференциальные уравнения движения.
Вместо выражения (185) можно также принять
У1 = сц 5Шсо* Ь[ с0$ со* (I = 1,2, .		., л).	(186)

Пример 11. Определить амплитуду колебаний системы, показанной на рис. 29 после введения гасителя (рис. 32). если на первую массу действует

возмущающая сила Р\=Рр з1п со/. Дифференциальные уравнения дви

жения

0*11/1 +	СхУх+ Ся (У 1 —		Д *)+ -
+ к (уг — у я) = Р о 51П			о>/;		(187)
ШгУг + сг (уя — у х)+					(187)
ШгУг + сг (уя — у х)+
+	к (ул -	у\) = 0.
Решение		системы (187) разыскивают в виде
				у \| =	ах $1п	«о! +	Ьх со5 со/;
				Уя =	а я 51П	оз/	к я С05 со/.
После подстановки решения (188) в уравнения (187) получаем
[—Мхах®3 + (сх +				Ся) 01	— сгая — Л6,со — кЬгсо —			з!п о>/ +
+	[—тхЬх<й* + (Сх + с,) Ьх — СяЬг + ках(й — 6а2со] соз со/ = 0;
	(—т 2а 2ооя +			е2а2 — с2Я1		— кЬ2со + А6,со]51П со/ +
	4- [—ШяЬя^1 +			сгЬг — сгЬг + Ла2со — Ла,©] соэ со/ = 0.

284 Основы теории колебаний механических систем

Каждое из выражений, стоящих о квадратных скобках, должно быть равно нулю (для тождественного удовлетворения обоих уравнений); это дает четыре алгебраических уравнения для определения 01, ая, Ьх, Ья. Амплитуда колебаний первой массы оказывается равной

Л1= УГа1 + *1 =

_________________________________ Р 0 ] /~ ( г , — /71,0)»)1 + к 2 (й ш______________________________

/ [ ( —		4- с1) (с2 — т2(йг) —тгся<лгУ + Л ,(0* (—/п»©1						~	тясо*)1
									(189)
Аналогично может быть найдена амплитуда колебаний второй массы по
формуле
					л2 = ] / а\ + ь\.
						ЛИТЕРАТУРА
1.	А н д р о н о в			А.	А.,	В и т т А. А.,	X а й к и н	С. Э.. Теория
колебаний.		М., Фнзматгнз, 1956.
2.	Б а б а к о в		И. И. Теория колебаний. М.. ГИТТЛ, 1958.
3.	Д е н - Г а р т о г				Д ж.	Механические	колебания.	М.,	Фнзматгнз,
1960.	И о р и ш Ю. И.				Внброметрия. М.. Машгиз, 1960.
4.	И о р и ш Ю. И.				Внброметрия. М.. Машгиз, 1960.
5.	К а н и нг х э		м	В. Введение в теорию нелинейных систем. М., Гос-
энергонздат,		1962.	Г.		Нелинейная механика. М., ИЛ, 1952.
6.	К а у д е р е р		Г.		Нелинейная механика. М., ИЛ, 1952.
7.	К и н	Н.Т он	г.		Теория механических колебаний. М., Машгиз, 1963.
8.	Л о й ц я нс к и й				Л. Г., Л у р ь е А. И. Курс теоретической меха
ники.	Изд. 5-е, т. 2, Гостехнздат, 1955.							колебаниях. М.,
9.	П а и о в к о		Я	Г. Внутреннее трение при упругих				колебаниях. М.,
Фнзматгнз,		1960.	Я. Г. Основы прикладной теории упругих колебаний.
10. П а и о в к о			Я. Г. Основы прикладной теории упругих колебаний.
М., «Машиностроение»,				1967.

11.П о н о м а р е в С. Д. н др. Расчеты на прочность в машиностроении.

Т.3, разд. 2, М., Машгиз, 1959.

12.С то кс р Д ж. Нелинейные колебания в механических и электри ческих системах. М., ИЛ, 1952.

13.Т и м о ш е н к о С. П. Колебания в инженерном деле. М., Фнзматгиз, 1967.

14.Ф и л и п п о в А. 11. Колебания механических систем. Киев, изд-во «Наукова думка», 1965.

15.	Вульфсон И. И., Коловскнй М. 3. Нелинейные задачи д и н а м и к и
машин.	Л., «Машиностроение», 1968.

16.Днментбсрг Ф. М., Шаталов К. Т., Гусаров А. А. Колебания ма шин. М., «Машиностроение», 1964.

17.Коловскнй М. 3.. Нелинейная теория виброэащитных систем. М., «Наука», 1966.

18.Кононенко В. О. Колебательные системы с ограниченным возбужде нием. М., «Наука». 1964.

19.ЗЬоск апй у!ЬгаЫоп ЬапйЬоок, N . У. 1961, V. 1.

См. также литературу к гл. 5.

Глава 5

СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ)

Общие сведения

Ниже рассмотрены задачи о колебаниях стержней, представляющих собой систему с непрерывно распределенной массой. Такая система с распределенными параметрами имеет бесконечное число степеней свободы и, соответственно, обладает бесконечно большим числом соб ственных частот и собственных форм колебаний.

Собственная форма колебаний Х& (х) представляет собой функцию координаты х сечения стержня, описывающую конфигурацию системы при ее моногармоническнх колебаниях с собственной частотой рь. Такие колебания называют главными, они происходят по закону

	Чк (х,1 )= Х к (х)Тк (1),		(1)
где	Тк (I) = Ак 51П (рк1 + ф,)		(2)
	Тк (I) = Ак 51П (рк1 + ф,)		(2)
есть функция	времени, содержащая постоянные Аь и ф&,		связанные
с начальными	условиями. При этом	(х, I) имеет смысл	характер

ного перемещения сечения: продольного перемещения иь (х, 0 в задачах

о	продольных колебаниях, углового перемещения фд (х, 1)	в	задачах
о	крутильных колебаниях или поперечного перемещения о&	(х,	0 в за

дачах об изгибных колебаниях. Колебания типа (1) возникают при специальном задании начальных условий (см. ниже); при произвольно заданных начальных условиях колебательный процесс представляет собой сумму главных колебаний

Ч(х, 1) = ^ Х к(х)Тк (().	(3)
к= 1
Собственные частоты образуют бесконечный спектр	р2, . .

цифры, стоящие в индексах, располагают так, чтобы выполнялись неравенства

Р\ < Ра < Рй < -----

(4)

236Свэбодные и вынужденные колебания стерокней

Взадачах о продольных или поперечных колебаниях собственные

формы удовлетворяют условиям ортогональности I

\| т (х) X; (х) Хь (') дх = 0 при I ф к\	(5)
о

здесь т (.х) — интенсивность распределенной массы стержня. Если кроме распределенной массы со стержнем связаны сосредоточенные массы т5, расположенные в сечениях с абсциссами х$, то условия ортогональности имеют вид

I
\| т (х) Х( (х) Хк (х) йх +	2 ] т**1 (х5) Хк (х5) = 0.	(6)
0	5

В задачах о крутильных колебаниях условия ортогональности при нимают форму

]/(х )Л ,(* )Х * (х )Л с = 0 ,	(7)
0

где-/ (х) — полярный момент инерции единицы длины стержня отно сительно его оси.

При наличии сосредоточенных по длине стержня дисков с полярными

моментами инерции / 5, расположенными в сечениях с абсциссами		х5,
условия ортогональности имеют вид
I
\| / () X,. <) X* (*) йх +	2 / Л («) к (лг5) = 0.	(8)
0	6

Масштаб собственных форм колебаний может быть принят произ вольно. Удобно выбрать этот масштаб так, чтобы выполнялись условия нормирования

\| т (х) Х\ (х) дх +	^	т5Х\ (х5) =	1	(9)
и	5
(в задачах о продольных или поперечных колебаниях);
/
\|/( * ) Х * ( * ) Л * +	2	7.Х ?(*,) =	1	(10)
0	5

(в задачах о крутильных колебаниях).

Узлами к-й собственной формы называют неподвижные сечения * стержня, совершающего /г-е главное колебание с частотой рк. Число узлов к-й собственной формы равно к — 1; узлы двух смежных собствен ных форм перемежаются.

* Кроме сечений, неподвижность которых обеспечивается наложена связями.

Свободные колебания (точные исследования)

287

Продольные и крутильные колебания стержней; поперечные колебания струн

Основные соотношения при продольных и крутильных колебаниях стержней, а также для поперечных колебанй струн приведены

втабл. 1 (сечение постоянное, масса распределена равномерно).

Об о з н а ч е н и я : Р, Уп— площадь и полярный момент инерции поперечного сечения; р, Я, О — плотность и модули упругости мате

риала стержня; и = и {х, /); V = V (х , /), <р = ср (х, () — продольное и поперечное перемещения и угол поворота текущего поперечного се чения х в текущий момент времени /; /л*, У* — масса н момент инерции груза, соединенного с концом стержня; с — жесткость упругой связи, находящейся на конце стержня.

Для определения спектра собственных частот нужно записать гра ничные условия в развернутой форме; при этом образуется однородная система двух уравнений относительно постоянных Сь и Як- Далее фор мулируют условие существования ненулевых решений для Си и йь. Таким образом, получается уравнение частот; корни этого трансцендент

ного уравнения и являются искомыми		частотами. После этого	обра
зуются собственные формы колебаний.
Пример I. Определить собственные частоты и формы продольных колеба
ния консольного стержня (левый конец х =		0 закреплен, правый конец х =
= / — свободный).
Граничное условие на левом конце:		0.
Х'(0) =	Эк =	0.
Граничное условие на правом конце
Х ‘ <0>= с* 4 г “ »-^Г-
Частотное уравнение
Р{Л
С 0 5 — — = 0 .
Его корни	а
Л(2к — \)а
Рк=-	21
Собственная форма колебаний
Х к (х) = Ск б1п Я (2 к — 1) х
		21
Результаты для различных комбинаций граничных условий			даны

в табл. 2 (данные относятся как к продольным, так и к крутильным

колебаниям).

В задачах о колебаниях стержней со ступенчатым изменением попе речного сечения, а также в случаях, когда со стержнем связаны сосре доточенные массы или сосредоточенные упругие связи, удобно поль зоваться методом начальных параметров и нормировать не собствен

ную форму колебаний Х&, а функцию времени	Тк:
Г* = 81п (р * '+•?*)•	(,1)

При этом собственная форма приобретает смысл кривой амплитуд колебаний, постоянные Си и Ьк выражают через начальные параметры и собственную форму записывают в виде

“ м - - д а “ " 1 Г (продольные колебания);

I. О с н о в н ы е с о о т н о ш е н и я п р и п р о д о л ь н ы х , к р у т и л ь н ы х к о л е б а н и я х с т е р ж н е й н п о п е р е ч н ы х к о л е б а н и я х с т р у н

Соотношения

Дифференциальное уравне ние задачи о свободных колебаниях

Частное решение

Общее решение

Колебания стержня

продольные

8 дги

дги

адх* - Л*

а*= —

"*=**<*> Ти «)

II —ТМ з

крутильные

, д-ф дг<

‘~дхГ ~ д12

а. = ±

ч>к = х к <*> ГА«>

<N3

ФА(Х, ( )= 2 *к к=\

Поперечные колебания струны

	I	1 ,
		,
а	*1а
	I

ч - * к <*> тк<*>

со

ч <*. <> = 2

к= 1

Собственная форма	Л	Ркх	Рк*
колебаний	Х к (*> = Ск		+ Ок см

стержней колебания вынужденные и Свободные

	Функция времени
	Свободное сечение
	Закрепленное
	сечение
	Дополнительный
	груз на левом
	конце
2	То же на правом
?	То же на правом
я	конце
я
с-
и
	Упругая связь
	на левом конце
	То же на правом
	конце

ЕРХ' = —т ^ 'Х

Ер X* = гпт ‘Х

ЕРХ' = сХ

ЕРХ' = - с Х

Тк Ш = Ак (Л лр^+ ф *)

X' = 0

X = 0

С^рХ' =-1+Р*Х

0 ^рX '= ^ 'Р * X

ОЗрХ* = СХ

сирх г = —сх

П р и м е ч а н и е . Начальное натяжение струны N считается настолько значительным, ним можно пренебречь его малыми изменениями при колебаниях.

исследования) (точные колебания Свободные

290Свободные и вынужденные колебания стержней

2.Собственные частоты и формы продольных и крутильных колебаний

для некоторых граничных условий

Схема стержня		Собственные частоты						Собственные формы
Схема стержня		Собственные частоты						колебаний
1		рк ~			я (2к — 1)				Хк <ЛГ>=
1-------------------		рк ~				21		- с к * «
1-------------------								- с к * «
2		Частотное уравнение •
1------------------- •		Р1	{		р1	=	РР1	х к 1х)	= с к 5,п
1------------------- •		а	*		а
3						кпа		х к (х>= Сл5Щ -*^
						кпа
I------------------- I			Р* = —
I------------------- I			Р* = —
ч		Частотное уравнение							Рь»
1---------------		,В - Ё - - Е 1 - ____ ё ! .						Хк М = С к зШ - г -
1---------------		*	а	'	а		Л
*	Значения низшего корня частотного уравнения даны в табл. 3.
	3. Значения низшего корня						частотного уравнения
		для	схемы			2	табл.	2
рР1	Р1*	рР1					Р11	РР1	р!1
ш.	а	т.					а	т,	а
со	1,57	3					1,20	0,50	0,65
100	1,56	2					1,08	0,30	0,52
20	1,62	1,5					0,98	0,20	0,42
10	1,42	1,00					0,86	0,10	0,32
5	1,32	0,90					0,82	0,05	0,21
4	1,27	0,70					0,75	0,01	0,10

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 5729 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20231.5 Mб6Прочность и разрушение материалов..pdf
#
12.11.20233.07 Mб0Прочность и устойчивость статически неопределимых рам..pdf
#
12.11.202311.03 Mб5Прочность конструкций при малоцикловом нагружении..pdf
#
12.11.20239.81 Mб0Прочность легких и ячеистых бетонов при сложных напряженных состояниях..pdf
#
12.11.202315.87 Mб4Прочность сварных соединений при переменных нагрузках..pdf
#
13.11.202324.79 Mб6Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3.pdf
#
12.11.20233.68 Mб1Прощай, Россия! Суждение научного инженера наедине с собой..pdf
#
12.11.202317.75 Mб9Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения..pdf
#
13.11.202324.47 Mб2Психоаналитические теории личности. Зигмунд Фрейд и постфрейдисты.pdf
#
12.11.2023642.14 Кб0Психология безопасности труда..pdf
#
20.11.20231.99 Mб1Психология делового общения.-1.pdf