книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

§ 6. МАРТИНГАЛЫ

41

Я

Е (Ul (а, Ъ ) <

^

Е ((У„ -

а)+) < ^

Е ((Хг - а)+].

Так как это неравенство выполняется для каждого п, то

Р ( sup

\Xt\ > X ) ^ ± { E { \ X 0\

+ Е (\хт\)}

llSQOlO.T]

)

К

Е (f/* IQP'[0-T] (а, Ъ ))^ ^ - аЕ {(Хт -

а)+).

тельно потока

то Х ( =

lim Х г, { е Т , существует п.п., и не-

rlt.r^Q

^

трудно видеть,

что

отображение t -► Xt

непрерывно

справа

и име­

ет пределы слева. Кроме того,

Х = (Х,) — субмартингал

относитель­

но

Действительно,

величина

Xt

согласована

с

=

и так как для всякой

последовательности е„ I 0 семейство

{Х<+|!(1}

равномерно интегрируемо согласно теореме 6.7, то

Е (Xt : В) =

lira Е (Х ,+в|1 : В) < lira Е (Х ,+е„: В) =

Е ( Х 5: В)

П~*эс

Л—*оо

для s > t

и B^&~i. Аналогично, Е(Х г,

В)^Е(Х,\

В)

для

всякого

B<^@~t и, следовательно,

Х,£?Х, н. н. Резюмируем

эти

результаты

в следующей теореме.

Т е о р е м а

6.9. Пусть X =

(X(),sT — субмартингал. Тогда

X t =

—■ lim

Х г существует п.н. и X =

(Х ,)*= т— субмартингал

такой,

rif.rS Q

^

что отображение

t

X t непрерывно справа и имеет пределы слева

п. н, Кроме того, X, <

Xt п. н. для всякого ( е Т .

Процесс Х - * ( Х () из этой теоремы называется непрерывной

справа модификацией

процесса Х — (Х,). Очевидно,

Р[Х4= Х 4] = 1

ДЛИ каждого I <"•Т

тогда и только тогда, когда функция t ь* Е (Xt)

непрерывна справа.

части этого параграфа мы рассматриваем только

II

оставшейся

непрерывные справа мартингалы. Первая теорема легко вытекает

из теоремы 6.2 и ее следствия.

— непрерывный справа мар­

Т е о р е м а

6.10. Если

Х = (Х()

тингал с Я(|Х(|Р)< ° ° ,

то для всякого Т > О

Р\

sup

| Х ,| » Л < Я [| Х 7.|,’]Л Р

(Р > И-

(6.15)

[то,г]

J

Е Г sup

|ХДг,| < ( р /( р - 1 ))" £ [| Х т |Р]

(Р > 1 )-

(6.16)

ме[о,Л

J

теоремы 6.7.

6.11.

(Теорема

о

преобразовании свободного выбо­

Т е о р е м а

ра.) Пусть Х =

(Х,)(=Т— непрерывный справа субмартингал отно-

сительнЪ

(@~t)

и

(о()(е[о. о») — семейство ограниченных

моментов

остановки

со

свойством Р[о<

о,] = 1, если t < s. Пусть

Xt ~Ха

=

для

/ е Т . Тогда

X = (Xt) — субмартингал

относи­

гал X = (Х„) относительно (&~п

может быть представлен в виде

Хп- М „ + Ая,

п = 0,

1, 2, ....

(6.17)

где М = (Мп) — мартингал относительно

а Л = ( Л „ ) — возра­

стающий

процесс, согласованный

с (^ „ ),

т. е. Л„5£Л„+1 п. п., п =

= 0, 1, 2, . .. Процесс

А = (Л„)

можно

выбрать предсказуемым

(т. е. А„

^ „ - i -измеримы, п =

1,

2, ...)

с

Л0 = 0

п. н., и при этих

условиях

разложение

(6.17)

единственно.

Действительно, процесс

Л =(Л„)

с

А0=

О,

(6.18)

Лп =

Ап

+

Е (Х„ — Х„_, |

,,-]), п =

1,2, . .

ем два разложения Х„ = Мп + АИ= М„ + Ап,

то

разность

Мп—

— М п = Ап— Ап измерима относительно ^ „ - 1

и,

следовательно,

Мп — Мя =

h [Мп—■Мп|

)i_ij = Mn-i — Мп—\.

Гак как

Мй—

— М0 — Х 0

— Х 0 = 0, то имеем Мп— Мп = 0 для всех п, и тем са­

мым доказана единственность такого разложения.

В случае непрерывного времени положение более сложное*).

О п р е д е л е н и е 6.2.

Интегрируемым возрастающим процессом

пазовом процесс А = (Л,)

со следующими свойствами:

*)

В последующем изложении мы фиксируем иоренл

постное пространство

(£2, :Т,

Р) с потоком (В~t). Мартингалы, субмартингалы,

согласованность, мо­

46

ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ

ограниченный мартингал, то

2п - 1

— 1

* 1тЛ")] - Л

£ Ь

Г

« , -

Щ

-

,1. Т

Ш

ч г Щ

2?г—1

2 п - 1

— 2

Е \mxn) (Y <„)

У

;J

2

Е\тхп) (А ы)

— Л („Л!.

h= о

L

‘ft

\

*й +1

(ft

й=о

L

\

*ft+l

*ft /]

Устремляя n

oo, получаем

£ [тиаЛа] =

£

7И.

о

Заменяя т = ( т в

на

m = {inIAs)

для каждого

£ е[0 ,

а],

нетрудно

заключить, что

Е [mtAt] = Е

ms_dAf

о

Таким образом, процесс А =(Л,) натурален.

О п р е д е л е н и е

6.5.

Субмартингал

Х = (Х() называется регу­

лярным, если для всякого я > 0

и o „ e S ,

с олто

имеем

Т е о р е м а

6.13.

Пусть

X = (Х<) — субмартингал

класса

(DL)

и A —{At) — натуральный

интегрируемый

возрастающий

процесс

в разложении

(6.21).

Тогда процесс А непрерывен в том и только

в том случае, когда X — регулярный субмартингал.

очевид­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если процесс А непрерывен, то,

но, субмартипгал X регулярен. Действительно, любой мартингал X

регулярен, так

как

Е (Ха = Е (Ха)

для

всякого

a e S „

Обратно,

предположим, что субмартингал X = (Х()

регулярен. Тогда

процесс

А={ЛЛ

регулярен, и нетрудно видеть,

что

если

a„ t a, о„ е

S„, то

тогда А0п| Аа.

Определим

последовательность разбиений Д„

отрез­

ка [0, а], как и в доказательстве теоремы 6.12. Положим для

с > 0

Ant =

Е

с|^«|,

t = (#\

Так как

А1} — мартингал

па интервале

(f(hn), ffc+i],

то легко ви-

деть, что

' t

'

t

Е

J А?М,

=

Е

fA^dAs

для

всякого

£ е= [О, а].

(6.22)

-0

0

§ 7. БРОУНОВСКИЕ ДВИЖЕНИЯ

47

в >

0 определим

inf U

s [0, я]; Л " — Л(Д с > е } ,

0>,,е ~

я,

если

{

} =

0 .

Так как

Л’(; =

Л0Д с

для

любого

п,

то из

с п

г = а

следует,

что

Л? — Л , Д с < е

для

всех

t е= [0,

я].

П усть

<p„(f)

определяется

п о­

средством

равенства

Ф„ U) =

Для

t s

Тогда

a„. e и

<р„(о„. „)

принадлежат

S„. Т ак как

Л,

убы вает

по

п,

то

о„. е возра­

стает

по

п. П усть

о £ = lim

о п е. Тогда

o Ee S 0

и

П т <р„ (о „,е) == аг.

п->лс

41*оо

Согласно

теореме

о

преобразовании

свободного

выбора *)’

Е [ А с.гё]

= ^ [Л д -^ ^ .^ Д с ]

и, следовательно,

7? [A >n(Hn,e) А с

^ ап,е А с ]

=

Е [ Л0)1 е

^ a;iiE А с] >

e/J (°>ье <

Е).

Л егко

видеть, что,

в

силу

регулярности

Л ,,

выраж ение

в левой

стороне

стремится

к

нулю

при

П оэтому

П т Р (a „ie< ; я) = О

Ь-*ЭО

и

отсюда

lim Р I sup

|А " — Л, Д с |>

е\ =

0.

Отсюда следует, что

п - * х

U S lO .n ]

/

найдется такая

подпоследовательность nt, что

sup IЛ и — Л ,Д с | - * - 0

при

I —*■оо

ц. н.

i s t o . o ] 1

1

П оэтому,

согласно

(6 .2 2 ),

1

|(Л ; Д Д d A „

=

Е

f (Л5_ Д с) dAs

и, таким

образом.

0 — £

f (Л „Д с — A ,-/ \ c)d A t

> Е

-S {(Л.,дс) - ( Л 5_ д с)}*

u&<t

Отсюда, очевидно, следует, что функция

t

Л(Дс

непрерывна

11,11,1 елмдонателыт, в силу произвольности

с

функция

t

Л,

не-

tlpepwiiiiH

п, п

| 7. Броуновские движения

П усть

ф ункция

p (t, х ) ,

t > 0, х

е

Rii

определяется

равенством

p (t, x ) =

(2 n t)~ dn exp [— \xV/2t\

(7 .1)

в

X =

( X ,) js[0i и, — й-мерпый

непрерывный

процесс

такой,

что

для

*)

Поскольку

Д"

— мартингал на

(Д'Д

4 + \ ]’

то применение

теоремы о

преобразовании свободного выбора законно, если

стп е е ( Д " \

Затем

Явдо провести суммирование по всем к.

48

ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ

всяких 0 <

£i <

... <

tmи Е(е

(Rd) , i — 1, 2,

т,

Р [Xti ^

Ец Xt2^

Е2, • •., X tmе

£'m)|=

=

J р (dx)

j p (tx, xx— x) dxy

j p (f2 — tx, x2— xx) dx2 ...

Rd

E 1

E 2

••• J P (tm

tm—u Xm

l )^mi

(7.2)

Em

где fx — вероятность на (Rd, $ ( R d ).

что Х — (Х,) — d-мерный не­

Свойство (7.2)

равносильно

тому,

прерывный

процесс

такой, что

для

всяких

0 =

f„ <

i, < ... <

tm ве­

личины Xf

, Х[

t , X t — X t ,

. . . , Х , т

— .Х^

независимы в

сово-

купности,

Р (° =

р,

а

Р **

*‘- 1 — гауссовское

распределение с

плотностью p(ti — ti-1, х),

г =1 ,

2, .... т.

с

вышеприведенным

О п р е д е л е н и е

7.1.

Процесс

Х = (Х,)

р. Вероятностный закон Рх на

(Wd, $ (W d)) называется d-мерной

мерой Винера с начальным распределением

(или законом)

|х.

Таким образом, d-мерпая мера Винера Р с начальным

законом

|х — это вероятность на (Wd, &(Wd ), характеризуюхцаяся

тем,

что

P{w: w(ti)^Ei, W (U)^ E2, ...,

w(tm ^ E m}

задается

выражением

в правой части

(7.2).

вероятности

р на (Rd,

3}(W))

су­

Т е о р е м а

7.1. Для любой

Д о к а з а т е л ь с т в о . Единственность

меры очевидна. Докажем

ее существование. Рассмотрим сначала

случай с d = 1 и р = б0.

El

^2

Е{ | Z (0 -X (s )| 4} = 3 | t - s | 2, f > s > 0.

(7.3)

процесс X = (Х(£)), что для всякого

f e [ 0 , °°) X(t) = X(t) н. н.

Вероятностный закоп Р0 процесса X па

(W 1, ^ ( W 1)) является ме­

§ 7. БРОУНОВСКИЕ ДВИЖЕНИЯ

49

“■a: + X(f)

является мерой

Випера

с начальным закопом б*. Пусть

«■-(ж 1,

хг,

...,

i ') s R l\

Рассмотрим

одномерные

меры

Винера

Рхи i =

1, 2, .

. а. Произведение

мер

Рхi ® Pxt <8> •.. <8>Pxd на

W 1X W 1X . . . X W ‘ = W d обозначим

через

Рх. Нетрудно

проверяет­

ся, что

Рх— d-мерпая

мера

Винера

с

начальным законом

б*. Для

Всякой

вероятности

р на

(R ,

№

0 )

равенство

Рц (#) =

-= J Рх (В) р (dx)

определяет

d-мерную

меру Винера с

начальным

Rd

аакопом р.

пространстве

(Wd,

^ (W d),

Р„),

где Р„ —

На

вероятностном

Предположим теперь,

что

задано

вероятностное

пространство

( Q , ^ , Р ) С ПОТОКОМ

( Т ( ) l s [0, оо).

непрерывный

процесс

X =

О п р е д е л е н и е

7.2.

d-мерный

■=(X(/))fe[o, с») называется d-мерным

{&~t)-броуновским движением,

если он

(&~j)-согласован и удовлетворяет условию

Л’[ехр [t<|, Х ( — X e>]i£T,] =

exp [— (t — s) It 172]

п. н.

(7.4)

дли всякого

и

t.

не

зависит от

(и,

следова­

Из (7.4)

вытекает, что X, — X s

тельно, не зависит от о[Хи: и

s]) и что вероятностный закон раз­

ности X, ~ X s

является гауссовским

распределением

p(t — s,

x)dx.

'Гак что X удовлетворяет

(7.2) и поэтому является d-мерным броу­

новским

движением

в смысле

определения 7.1.

Обратно,

любое

d-мермое броуновское движение Х = (Х,)

является d-мерным

STt =

броуневским

движением

относительно

естественного

потока

— П <7|^ч:

+ е|.

с -«

Логин проверяйте»» справедливость следующего результата.

Т е о р е м

й

7.2.

Если

X •- |Х ,

( X j ,

Xf, . . . , Х ? ) | —

d-мерное

(9*t) броуновское движение, то при t > s >

О

Д ( Х ; - Х ] | ^ )

=

0

п. и.

(7.5)

и

Д ( ( Х { - Х * ) ( Х * - Х 0 | ^ . )

=

( * - * ) 6 у

и. к.

(7.6)

Таким образом,

если

i?(| Х„ |) <

оо,

то (X ))

для всякого г =

■= 1, 2,

...,

d

является

квадратично

интегрируемым

мартингалом

относительно

(@~t)

и

Х }Х ]— б

— мартингал относительно

i, 7 = 1,

2, ...,

d.

Мы увидим

в теореме

II-6.1,

что

эти

свойства