Г л а в а 1. З А К О Н Ы ДЕФ ОРМ АЦИИ

1.1.УПРУГАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

Супругой деформации начинается процесс деформирования лю­ бых твердых тел. Простота законов, устанавливающих однозначную связь между силами и упругими деформациями, способствовала тому, что теория упругости приобрела большую роль в механике твердых деформируемых сред.

Изотропное тело имеет две константы упругости: Е и р. Для анизотропных тел число упругих констант в общем случае доходит до 21.

Физический аспект процесса упругой деформации заключается в том, что явление упругости вызывается силами межатомного взаимодействия, которое возвращает атомы в положение равновесия при удалении внешней силы, вызвавшей их смещение на величину dx. Межатомная сила Р, возвращающая атом, совершает работу, одновременно происходит уменьшение потенциальной энергии U.

дР/дх = —д2Шдх2. Если рассматривать Р и U как удельные (отне­ сенные к единице объема) силу и энергию, то отношение дР/дх будет представлять собой модуль упругости Е . Следовательно,

т. е. модуль упругости равен второй производной от потенциальной энергии вдоль межатомного промежутка. Таким образом, модуль упругости непосредственно связан с силами межатомных связей твердого тела и является мерой оказываемого ими сопротивления деформированию. В этом смысле роль модуля упругости подобна роли многих тепловых характеристик кристаллов, таких как тем­ пература плавления, коэффициент теплового расширения и др. Последний характеризует сопротивляемость атомов смещению из положения равновесия под действием тепловой энергии, в то время как модуль упругости отражает ту же сопротивляемость атомов смещению под действием не тепловой, а механической энергии.

Наличие корреляции между модулем упругости металлов и их тепловыми свойствами иллюстрирует табл. 1.1. Некоторые из при­ веденных металлов выпадают по модулю упругости из общей корре­ ляционной зависимости. Например, тантал, ниобий и ванадий при высоких температурах плавления (3270, 2740 и 2190 К) имеют пони­ женные модули упругости (18,8-104, 10-104 и 15-104 МПа соответ­ ственно). Вероятная причина этого состоит в особенностях кристал­ лического строения металлов. Одним из дефектов такого строения является «дефект упаковки», заключающийся в нарушении нормаль­ ной для данного кристалла последовательности в расположении атомов. «Дефект упаковки» характеризуется энергией, измеряемой, например, в Дж/м2. Предполагается, что «дефект упаковки» возни-

П р и м е ч а н и е. Здесь Гдд — температура плавления.

кает не только гхри пластической деформации, но и в процессе роста кристаллов из жидкой фазы.

Приведенные в табл. 1.1 металлы, выпадающие по модулю упру­ гости, имеют наименьшую энергию «дефекта упаковки» по сравнению с другими металлами, что может явиться причиной снижения их модуля упругости. Таким образом, выпадающие металлы не нару­ шают выводов, вытекающих из табл. 1.1.

Расстояние между атомами в монокристаллах 1 меняется в раз­ личных направлениях. В расположении атомов металлического монокристалла имеется следующая закономерность: чем больше атомов находится в плоскости, тем больше расстояние между такими плоскостями, что обеспечивает неизменное число атомов в единице объема, а следовательно, постоянство плотности вещества. Сила межатомного взаимодействия зависит от равновесного расстояния между атомами, вследствие чего монокристаллы относительно мо­ дуля упругости анизотропны, т. е. упругие свойства зависят от направления в монокристаллах. Модуль упругости монокристалла

упругих констант в монокристаллах при разных видах анизотропии различно и зависит от симметрии в кристалле.

Число упругих характеристик в поликристаллах, состоящих из множества хаотически ориентированных монокристаллов, умень­ шается до двух, так как разные упругие характеристики в разных направлениях в отдельных кристаллах усредняются в поликристаллическом агрегате. В определенных условиях анизотропия упругих свойств может появиться и в поликристаллах. После направленной

1 Монокристалл характеризуется неизменной кристаллогеометрической ори­ ентацией во всем своем объеме.

2 Об индексах кристаллографического направления см. в п. 1.4.

низкотемпературной пластической деформации, например прокатки листов, профиля, протяжки прутков, в поликристаллах возникает анизотропия упругих свойств вследствие образования текстуры де­ формации, т. е. упорядочения кристаллографических ориентировок (подчинения ориентировок в отдельных зернах направлению глав­ ной вытяжки металла). В качестве примера можно указать, что в холоднодеформированном, а затем отожженном листе чистой меди модуль нормальной упругости, измеренный на образцах, вырезан­ ных вдоль направления прокатки листа, составлял 4,9-Ю4 МПа, а под углом 45° к направлению прокатки — 12,7• 104 МПа [5].

Коэффициент Пуассона, связанный с поперечной деформацией растягиваемого образца, также связан с проявлением межатомного взаимодействия, которое заключается в стягивании атомов в попереч­ ном сечении в результате меняющегося поля внутренних межатомных сил по мере увеличения расстояния между атомами в осевом на­ правлении.

С позиции механики важной особенностью упругой деформации является то, что закон Гука в его элементарной и обобщенной формах, являясь неточным, все же удовлетворяет нуждам большинства задач техники.

Модуль упругости отражает важное для техники свойство мате­ риалов — их жесткость, а вместе с геометрическими характеристи­ ками сечений (площади, моменты инерции и др.) характеризует жесткость элементов конструкций.

Из основных констант упругости можно получить их производ­

Постоянная Ляме применяется, например, при записи уравне­ ний обобщенного закона Гука, решенных относительно нормальных напряжений:

ах = Я0 + 2Gex; сг, = Я0 + 2Gey; аг = Я0 -f- 2Gez. (1.5)

Приведенные выше зависимости и константы можно считать строгими в пределах только небольшой деформации — е <i 0,0005.

Упругая деформация в условиях линейной зависимости относи­ тельных деформаций от вызывающих их напряжений или (в более сложных задачах) в условиях линеаризации уравнений равновесия, уравнений совместности деформаций и физических уравнений позво­ ляет применять принцип суперпозиций или частную его форму — принцип независимости действия сил, значительно упрощающие решение многих задач при сложном напряженном состоянии. В пре­ делах линейной зависимости а1} от задачи решаются путем