книги / Метод крупных частиц в газовой динамике

(12.22) — (12.23) полностью выписана в работах Ю. М. Давыдова, В. П. Скот­ никова [219, 437]. Проводится рассмотрение соответствующих дифферен­ циальных приближений [218, 219].

2. Как отмечает Г. И. Марчук [222], в методах частиц целесообразно ис­ пользование и. неявных схем. Такие алгоритмы также были рассмотрены. В случае неявности эйлерова этапа метода крупных частиц энергетическое соотношение, записанное в терминах давления, решается продольно-попереч­ ной прогонкой. Например, для трехточечной прогонки имеем следующее урав­ нение перехода от одного временного слоя к другому [213]:

здесь

Л, = { к - \) { Ы 12у- рЧ/р'и,,,

/9,. = (х-1)(Д//2)*/>?/р?_1/2,

*/ = 1 + « |- М , .

—<Г,- = — рЧ + р1 (X— 1) At (tt?+1/2— H?_i/s)/A.

дования устойчивости всего разностного оператора на полном шаге необхо­ димо оценить устойчивость других этапов. Эти оценки проводятся в прост­ ранстве L2, поэтому в итоге условие устойчивости определяется в L2Воз­ можно проводить исследование устойчивости неявных разностных схем с по­ мощью аппарата дифференциальных приближений (см. [222] и др.), т. е. с единых позиций на всех этапах расчета как явных, так и неявных. В этом случае критерии устойчивости будут получены в L,.

Построены также абсолютно устойчивые (неявные на всех трех гидроди­ намических этапах) разностные схемы метода крупных частиц для расчета слабосжимаемой жидкости.

3. С помощью метода крупных частиц были проведены численные расчеты пространственно-трехмерных задач гидродинамики [213, 346, 348, 437, 466, 467]. Использовались как явные, так и неявные схемы. Приведенные ниже результаты получены, по вышеописанной разностной схеме приX

X = = I . х3 = х4 = х5 = 0,. кп= х Е= \.

В качестве примеров рассмотрим обтекания тел конечных размеров со срывом потока. Заметим, что при решении пространственно-трехмерных газо­ динамических задач могут возникать качественно новые явления, не наблю­ даемые в двумерных случаях [319].

Рассмотрим сверхзвуковое (/14^=2,84) установившееся обтекание прямо­ угольного параллелепипеда (рис. 12.1, 12.2) при нулевых углах атаки <о и крена 6 . Расчеты проводились и для ненулевых значений указанных углов на до-, транс- и сверхзвуковых режимах, а также для нестационарных граничных условий, но в этих случаях картина течения оказалась чрезвычайно сложной и требует пространного описания, выходящего за пределы настоящей работы.

На рис. 12.1, 12.2 приведены проекции векторов скорости на плоскости, перпендикулярные скорости набегающего потока и пересекающие срывные области за кормой. Так как ю =6=0, в поле течения левая вертикальная ОА

инижняя горизонтальная ОБ плоскости являются плоскостями симметрии.

Втрехмерном случае наблюдается, как видим, поперечная закрутка об­ ластей возвратно-циркуляционного течения, что приводит к спиралевидному сходу вихревой пелены с кромки тела. Структура потока, выявленная в ходе численного эксперимента, зависит от наличия и числа реально существующих плоскостей симметрии течения. При наличии двух упомянутых плоскостей

(ОА и ОБ) срывная область состоит из четырех спиралевидных «жгутов»: на рис. 12.1 показана 1/4 области течения. Заметим, что в этом случае высота кормы меньше ее толщины; в случае же, когда высота кормы больше ее тол­ щины, направление закрутки меняется, как показали расчеты, на противопо­ ложное. Если высота кормы равна ее толщине и не вводятся иные возмущения,

вдвое. При произвольных со и б в отсутствие плоскостей симметрии картина естественно несимметрична.

§ 3. Исследование устойчивости разностных схем на границах расчетной области

методом дифференциальных приближений

Постановка краевых условий, как известно, оказывает сильное влияние на решение уравнений в частных производных [331, 364, 394 и др.]. Тип гра­ ничных условий и вид их разностной аппроксимации влияют также на устой­ чивость используемых алгоритмов ([228, 233 и др.]).

Известные подходы для исследования устойчивости на границах, как например, метод энергетических неравенств [228], применимы для линейных схем. Здесь делается попытка получить критерии устойчивости в нелинейном случае ([220, 437 и др.]). Для этой цели развивается метод дифференциальных приближений (д. п.) Яненко — Шокина. Среди многочисленных работ этих авторов отметим первые публикации [13, 59—61] и др. В работах ряда авто­ ров метод д. п. эффективно применялся при исследовании как линейных, так и нелинейных задач во внутренних расчетных точках. Распространим этот подход на граничные узлы [216, 220, 346, 348, 350, 437].

В качестве примера рассмотрим разностные схемы метода крупных час­ тиц. В нем граничные условия формируются с помощью слоев фиктивных ячеек [2 0 ], а на границах сложной формы используется методика дробных ячеек [30]. Теоретический анализ (подтвержденный многочисленными расче­ тами) показал, что аппроксимация не ухудшается, если на границах исполь­ зовать более простые формулы для целых ячеек [20], сохранив постановку граничных условий для дробных ячеек, предложенную в [30] *).

*) CN:. §3 главы III.

обозначим линейный относительный размер дробной ячейки вдоль оси х; тогда длина дробной ячейки равна 1Ах. Граница тела расположена справа от дроб­ ной ячейки. Индекс I относится к дробной ячейке, a i+ 1 — к граничной.

Краевые условия для газодинамических переменных определятся следую­

Аналогично ставятся краевые условия на дробном шаге!

1/2ти l/2mtt

Разлагая (12.26) в ряд Тейлора по сеточному параметру Дх в окрестности точки х, получим д. п. разностных граничных условий (12.26)

1 / 4

При этом разностное граничное условие (12.26) для и аппроксимирует физическое граничное условие (12.30) с точностью 0(Дх2).

г-Pi-1 [гджруГ^Р" Pi-г) + 2А х р 1 (p?+1 _ Pi-1)] +

P?+1— Р? = Д< [р ,+ 1/2ри + О (А/*)].

ихх, Ехх (диагональных членов матрицы аппроксимационной вязкости) в урав­ нениях неразрывности, импульса и энергии соответственно в качестве крите­ рия устойчивости, получим следующие условия устойчивости, когда поток втекает в ячейку:

а «+ 2 + ^ - + ^ Р> 0 .

Р

(а о+1) [1 + 1/2 (1/аРи—Ра)]+2 (2—х)+1/2 (1/2а в—а„) (|Зв+ 1 ) — xQ >0, (12.38)

А=0

Случаи, когда поток вытекает из ячейки, втекает в ячейку (или вытекает из нее) через обе границы, рассматриваются аналогично.

По описанной методике легко получаются «краевые» условия устойчивости для дробных и целых ячеек метода крупных частиц со вдувом и отсосом потока, а также для других физических краевых условий на теле (моделирующих абляцию, скольжение и т. д.). В этом случае вместо (12.30) рассматривается

¥ ( * + ( / — 1/2)Дх) = ¥ (ф )товерХ||0СТИ, ф = {р, Е, и},

и соответственно более сложные зависимости вместо (12.26). С помощью ука­ занного подхода также исследовались условия устойчивости на открытых гра­ ницах расчетной области с учетом невозмущенного набегающего потока, сво­ бодного вытекания и т. п.

2. Метод д. п. с успехом применяется также для приграничных точек (от­ стоящих от границы на небольшое число узлов так, что расстояние от них до границы значительно меньше характерного размера), где полученные крите­ рии устойчивости отличны от соответствующих условий как для внутренних, так и граничных точек сетки. Категория приграничных точек (являющихся формально внутренними, но в которых заметно влияние краевых условий) еще не обсуждалась в литературе.

Рассмотрим приграничную целую ячейку, центр которой расположен на расстоянии (s+ /—0,5)A*, s > l, слева от границы тела. Пусть индекс i отно­ сится к этой приграничной ячейке, тогда дробной ячейке соответствует ин­ декс i+ s, а граничной i+ s+ 1 . В качестве примера рассмотрим прежний слу­ чай краевых условий непротекания на теле. Тогда разностные граничные

Пользуясь описанной выше методикой, получим следующие условия устойчи­

разом [216, 218, 437].

При s = 0 вид условий устойчивости для приграничных ячеек становится аналогичным соответствующим условиям для граничных ячеек ((12.41) при

Простейший путь состоит в сгущении сетки в зонах сильного изменения ре­ шения и разрежении в областях слабого изменения. Например, там, где пред­ полагаемое решение будет иметь большие градиенты газодинамических функ­ ций (в окрестностях ударных волн, контактных разрывов и т. д.), используется

более частая сетка.

Получим разностную схему метода крупных частиц на неравномерной

сетке [221, 437].

Введем неравномерную по пространству (но фиксированную во времени) сетку (xf}, где под сеточным параметром hi_1будем понимать разность х,-—х£_г [227]. Относительно сетки по времени^"} будем предполагать, что *"+1=Н -А*я, где k tn может быть переменным (зависеть от номера п временного слоя).

Уравнения (12.42) являются очевидным обобщением традиционной разностной схемы эйлерова этапа метода крупных частиц на равномерной сетке (ср. с (3.4)).

Р?+1Ф?+1—Р?Ф?+Л*<фиф>? = 0,

„[(Рф)?+1+(Рф)?] (“?+1+ “?)-[(РФ)?+(Рф)?-а] («?+«?-!) ,

Через <^риср^>? обозначается конечно-разностная аппроксимация дифферен­ циального оператора (ршр)*, где <р={1, и, Е }.

В (12.43) ft= f(h i, f 1), где/(А, £) определена при min А *<А<тах hiy t^O .

Для аппроксимации необходимо, чтобы /= 0(тахА *). При /?=А *=А =const получается разностная схема метода крупных частиц с АМ первого порядка точности на равномерной сетке.

Члены аппроксимационной вязкости, пропорциональные Ах, равны

4" (f Iи 1(РФ)*)*» гДе ф={1, и, £}» Для уравнений неразрывности, импульса,

энергии. Если положить /(A, tf)=aA(a=const>0), то коэффициенты диффузии будут пропорциональны локальному размеру ячейки. В случае [/(А, 01^=0 коэффициенты диффузии будут зависеть только от локальной скорости потока, т. е. аппроксимационная вязкость будет одинаковой (в случае равенства мо­ дулей скоростей) как для «больших», так и для «малых» ячеек.

В общем случае можно положить / = / ( ф, фж, A, t)9 где ф ={р, н, £ }, и функцию f подбирать таким образом, чтобы получить наилучшее решение.

Заметим, что если использовать квазиравномерную сетку [227, 234], т. е. hi— то применение разностной схемы метода крупных частиц (на равномерной сетке) также обеспечит аппроксимацию исходной системы урав­ нений.

§ 5. Метод крупных частиц для решения уравнений Навье — Стокса

1. Перейдем к рассмотрению уравнений Навье — Стокса. Эта задача от­ носится к классу эволюционных задач математической физики, предъявляющих экстремальные требования к объему памяти и быстродействию ЭВМ [379, 380].

В настоящее время наблюдается повышенный интерес к изучению потоков вязкого теплопроводного газа. Однако здесь исследователи наталкиваются на значительные трудности, связанные с попыткой получения численного реше­ ния уравнений Навье — Стокса при больших числах Рейнольдса (Re). Из­ вестно, что при превышении некоторого критического числа Re (порядка 108ч-103) разностная схема становится либо неустойчивой, либо полученные результаты не отвечают, вообще говоря, уравнениям Навье — Стокса, хотя вычислительный алгоритм формально позволяет проводить устойчивый счет сквозным образом практически для всех Re.

Такая альтернатива имеет, по-видимому, глубокий смысл. Уравнения Навье — Стокса, выводимые в предположении прямой пропорциональности тензора напряжений и тензора скоростей деформаций, справедливы для тон­ ких пограничных слоев или для потоков газа со значительной вязкостью, где все течение определяется молекулярными эффектами (малые и умеренные числа Re). Значительная величина молекулярной вязкости делает эти течения гидро­ динамически (и численно) устойчивыми. Ламинарные течения при больших числах Re гидродинамически неустойчивы. Малой величины молекулярной

°но становится турбулентным. В возникающей при турбулентном обмене эффективной «турбулентной вязкости» доля молекулярной вязкости весьма незначительна [169] (обычно [Амол/ртурб~10~ 5-г-10"6). Механизм переноса становится, таким образом, иным — вместо молекулярного турбулентным. Поэтому в разностных схемах (обычно высокого порядка точности [390, 393]), достаточно адекватно описывающих при больших числах Re уравнения Навье— Стокса (см., например, [409]), молекулярный диссипативный механизм стано­ вится недостаточным для поддержания устойчивого течения (а другого меха­

низма переноса в алгоритм не заложено). Это и не позволяет получать устой­ чивое решение.

В разностных схемах сквозного счета постоянно присутствует значитель­ ная аппроксимационная вязкость, обеспечивающая устойчивость вычислений [410, 411]. При малых и умеренных числах Re величина этой аппроксимацион­ ной вязкости мала по сравнению с членами, учитывающими молекулярные эффекты, поэтому получаемое решение отвечает уравнениям Навье — Стокса. При больших же числах Re молекулярные эффекты становятся малыми по сравнению со схемными, и получаемое решение, несмотря на вычислительную устойчивость, уже не отвечает уравнениям Навье — Стокса.

Следует отметить, что наличие в разностной схеме членов с молекулярной вязкостью делает решение зависимым от ее величины не только при малых числах Рейнольдса (где она определяет течение), но и при умеренных значе­ ниях ReM0JI, где величины схемной и молекулярной вязкостей становятся сравнимыми. Даже в том случае, когда величина аппроксимационной вяз­ кости значительно превышает величину молекулярной вязкости, эта зависи­ мость может иметь место (что и наблюдается в расчетах некоторых авторов), хотя течение уже определяется схемными эффектами.

Подобная ситуация наблюдается, по-видимому, и в динамике разрежен- ных газов при решении задач с малым числом Кнудсена (Кп) [412]. Переход от свободномолекулярного режима к режиму сплошной среды при уменьшении числа Кп с вычислительной точки зрения встречает трудности, аналогичные тем, которые возникают при увеличении числа Re (уменьшении коэффициента молекулярной вязкости) в уравнениях Навье — Стокса. Наличие малых пара­ метров (р, Кп и т. д.) в уравнениях обусловливает существование их крити­ ческих величин в разностных схемах, когда влияние соответствующих членов на решение становится сравнимым с влиянием аппроксимационных эффектов.

Повышение порядка аппроксимации разностных схем не дает, вообще говоря, принципиального решения этой проблемы. Может оказаться, в част­ ности, что схема первого порядка точности на реальных сетках точнее схемы второго порядка точности [63, 396]. Это происходит потому, что сравнение разностных схем по порядку точности целесообразно проводить лишь асимпто­ тически при малых значениях сеточных параметров. Используемые же на практике реальные сетки довольно крупны и на них асимптотические оценки могут «не работать». К тому же практическое построение разностных схем высокого порядка точности, обладающих необходимыми качествами [384], представляется весьма сложным и реализуется лишь на достаточно простых

моделях.

2 . В работах [205, 214, 352] предлагается разностная схема, позволяющая проводить расчет как при малых, так и при умеренных числах Рейнольдса. Анализируя дифференциальные приближения, можно показать, что члены аппроксимационной вязкости здесь достаточно малы и «не забивают» молеку­ лярные эффекты даже при довольно больших числах Рейнольдса. В то же время их величина достаточно велика, чтобы обеспечить устойчивый счет. Поэтому данная разностная схема метода крупных частиц позволяет получить надежные результаты в широком диапазоне чисел Рейнольдса (Re<103).