книги / Метод крупных частиц в газовой динамике

В монографии А. Н. Любимова, В. В. Русанова [279] отмечается, что рас­ чет функций С2, hy Т для воздуха с помощью решения системы уравнений тер­ модинамического равновесия довольно трудоемок и приводит к увеличению времени расчета задач в 2—3 раза по сравнению со случаем и= const. Чтобы избежать этого, была произведена аппроксимация указанных функций много­ членами Чебышева, что позволило (не уменьшая точности расчетов) понизить время расчета течений с равновесными физико-химическими реакциями на

нормальная плотность) внутреннюю энергию воздуха в грубом приближении можно описать следующей интерполяционной формулой:

# = 8,3 (77104)1'5 • (р0/р)0,12 эВ/молекула,

где Т измеряется по шкале Кельвина.

Аппроксимация давления р как функции внутренней энергии 9 и плот­ ности р предложена Батлером [281].

В работе Л. Г. Шумко [282] описывается алгоритм, позволяющий рассчи­ тывать для воздуха зависимость р = р ( р, 9) как функцию плотности и внут­ ренней энергии при давлении 10"2^ р ^ 1 0 2 атм и внутренней энергии, соот­ ветствующей температуре от 200 до 12 000КМаксимальная ошибка не пре­ вышает 5%, а среднеквадратичная — 2,3%. Уравнение р= р(р, 9) может быть разрешено в явном виде относительно р. В этом случае среднеквадра­ тичная ошибка аппроксимации плотности не превосходит 2%, а максималь­ ная — 4,5% в диапазоне 10~24-10a атм и 2,2 и 5% в диапазоне 10”34-10~2 атм.

Аппроксимации Я. Б. Зельдовича, Ю. П. Райзера [200] и Батлера [281] слишком просты и не могут обеспечить приемлемой точности, в то время как температурный диапазон аппроксимаций Л. Г. Шумко [282] не включает тем­ пературы свыше 12 000К, которые возникают в ударном слое затупленных тел, летящих в атмосфере Земли со скоростями 10 км/G и более. При этих ско­

2.Опишем явные аппроксимации термодинамических функций воздуха

р = р { р, 9 ), Т = Т (р, 9 ), разработанные С. А. Кутасовым и А. Н. Щелконого-

Рис. 11,1, в. Относительная ошибка аппроксимации температуры АТ%.

Эти формулы строились с таким расчетом, чтобы получить наиболее точ­ ную аппроксимацию давления и температуры равновесного воздуха для боль­ ших температур (Т^бОООК) и плотностей порядка 10” 4-f-10“5 г/см3.

В диапазонах 10“ б г/см3 < р < 1 0 “ 3 г/см3 и 1800К^Т<20 000К относи­ тельные ошибки в температуре и давлении не превышают ±5% везде, за иск­ лючением небольших участков

ошибки аппроксимации не превышают ± 9% . Графики зависимостей ошибок аппроксимации от термодинамических параметров приведены на рис. 11.1, а—е.

С помощью этих аппроксимаций рассчитывались течения диссоциирован­ ного, ионизированного воздуха с учетом и без учета излучения около затуп­ ленных тел методом крупных частиц.

* 3. Разностная схема метода крупных частиц для расчета течений с излучением

ОТ'

При построении разностных схем сквозного счета для расчета задач внеш­ ней радиационной газовой динамики за основу был взят численный метод круп­ ных частиц [1, 20—23, 30]. Вся структура алгоритма была сохранена. Учет радиационных эффектов свелся к введению аддитивного члена в уравнение энергии [236, 361 и др.].

При исследовании обтекания затупленных тел гиперзвуковым потоком излучающего газа система уравнений радиационной газовой динамики примет

Подобным образом определяются ДМ?, /_«/., <ф>" /—*/* и др.

Разностная схема метода крупных частиц для расчета осесимметричных течений с излучением очевидна, и для краткости изложения ее здесь приво­ дить не будем.

Расчет обтекания затупленных тел с криволинейной образующей произ­ водился в исходной прямоугольной системе координат с использованием

Внастоящей главе будут использоваться два приближения для решения уравнения переноса лучистой энергии (11.6): объемного высвечивания [4] и

плоского слоя [246].

Вприближении объемного высвечивания (учитывая излучение и пренеб­

регая поглощением) получим из (11.8)

Здесь Кп — среднепланковский коэффициент поглощения,

B= \\Bv dv.

ов

На практике в ряде случаев удобно применять эти осредненные величины. В части приведенных ниже расчетов использовались частотные характерис­ тики, для них и проведем дальнейшие рассуждения. Заменяя в (11.9) интегри­ рование по частоте суммированием, имеем

Q I/ = 4 я 2 Ж ( P i п ,) Bv (Т1,) Av.

2 7 8 ТЕЧЕНИЯ С ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. ХГ

Теперь рассмотрим плоский слой газа толщины А с известным распределе­ нием температуры и давления р=р(х), Т=Т(х), 0 < х < Д . Решение уравне­ ния (11.6) имеет вид

зованием свойств интегро-экспоненциальных функций (11.11) можно получить

Параметры газа /?, Т в точках радиационной сетки находились путем ли­ нейной интерполяции по точкам газодинамической сетки. Лучистые тепловые* потоки считались только в точках газодинамической сетки, хотя при этом сум­ мирование в (11.14) производилось по всем точкам радиационного поля.

При проведении расчетов были использованы коэффициенты поглощения; воздуха /Cv из таблиц, составленных в Институте высоких температур АН

СССР Л. М. Биберманом и его сотрудниками [283]. Диапазон частот, соответ­ ствующий волновым числам от 1,25х 103х1/см до 151,25х103Х 1/см разби­ вался на 20 интервалов с Д я= 7,5х 103Х 1/см. Составлялась таблица коэффи­

циентов к , в диапазоне изменения температуры 7,=6000-j-14 000К с узлами через 2000К и давлений р=0,1ч-10 атм с узлами через порядок. При нахож­ дении промежуточных значений /fv, необходимых в процессе счета, использо­ вались следующие формулы (pi< p< p2, Тг<.Т<.Т2):

1) линейная интерполяция логарифма коэффициента поглощения по тем­ пературе и давлению: lg K'v~ p , Т. В этом случае

Следует отметить, что точность логарифмической интерполяции lg /Cv по р, Т {при узлах 0,1,1 и 10 атм) гораздо выше, чем линейной, однако в ряде методи­ ческих расчетов и для сравнения использовалась и линейная интерполяция {это в тексте оговорено особо).

Оптические толщины вычислялись по формуле (11.12):

Tv> о= Tv> I = TVI Kv, {Pjt T t) Axr, l = 1, . . . , N .

Для определения значения интегро-экспоненциальных функций в точках, не совпадающих с узлами таблиц [284] (лгф= 0 (0,01) 2 (0,1) 10), использовались приближенные формулы (s—3, 4)

Es (х) = Es (х,р+ 6х) = Es (*ф) — 8xEs_х (хф) + у 6x*Es_2 (хф),

где аргумент дгф выбирался так, чтобы |6*K0,5/t, где h — табличный шаг по х .

При учете излучения граничные условия ставились так же, как и для задач обтекания без учета излучения; при этом в случае приближения пло­ ского слоя считалось, что излучение в ударный слой со стороны ударной волны и поверхности тела не поступает.

§ 5. Результаты численных расчетов задач внешней радиационной газовой динамики

С помощью описанных в настоящей главе разностных схем метода круп­ ных частиц был приведен численный эксперимент по обтеканию тел различ­ ной формы (рис. 11.2, а) потоком диссоциированного, ионизированного и излу­ чающего воздуха в широком диапазоне начальных данных [236, 361 и др.1.

В этом параграфе результаты расчетов с учетом излучения в приближении плоского слоя обозначаются сплошной линией, объемного высвечивания —