книги / Метод крупных частиц в газовой динамике

Придавая конкретные значения параметрам щ , хф, будем получать раз­ личные разностные схемы:

—при н1= х а= х 3= 1, ив= х 7=1/2, х °= х £=1 получаем разностные схемы типа метода частиц в ячейках (PIC) 1141;

—при х1= х 2= 1, х 3= х 4= х Б=0, хп= х £—1 получается разностная схема метода крупных частиц с ДА! первого порядка точности;

—при х1= х 2= х 3= 1, хв= х 7=1/2, хи= х £=1 получается разностная схема метода FLIC [24] без искусственной вязкости, введенной на эйлеровом этапе;

—однопараметрический класс ^разностных схем метода крупных частиц, получающийся при X i=x2= l, х3=0, х4= х Б= 1 —а, х“= х £=1 (а — параметр), изучался в работе Ю. М. Давыдова, С. П. Шевырева [198J;

— при а= 1 /2 имеем разностную схему, которая была использована

Ю.М. Давыдовым, Л. В. Шидловской [203];

—Хирт [25] рассматривал разностную схему с х1= х 2= х 8= 0, в которую была добавлена искусственная вязкость q (т. е. давление р было заменено на p+ q)t где

Гиперболическая форма первого дифференциального приближения (Г- форма п. д. п.) вышеописанного многопараметрического класса разностных схем метода крупных частиц имеет вид:

му п. д. п. разностной схемы метода крупных частиц с AM первого порядка точности (3.12), которая приводится в работе Е. В. Ворожцова, В. М. Фомина, Н. Н. Яненко [231].

Для разностной схемы метода FLIC [24] без учета искусственной вязкости имеем х1= х 2= х 3=1, хв= х 7 =1/2, х“= х £=1 (при этом/=1). Таким образом, Г-формы п. д. п. разностных схем методов крупных частиц и FLIC отличны, что является следствием различий их разностных схем.

Из Г-формы п. д. п. (12.5) разностной схемы (12.3), (12.4) следует, что: а) члены xKixupXXi 2тх1хи (рхи)х>хКгКи(рхЕ)х появились на лагранжевом этапе при расчете потоков массы, импульса, энергии через границы ячеек

вследствие использования величин и, полученных на эйлеровом этапе; б) член тх2х£ (ц (/ш)х)х возник из-за использования Ё на лагранжевом

эта пе;

в) член 4"т (p ^ f) Ki/ появился из-за использования величин и в уравне­ нии энергии на эйлеровом этапе.

§Т] МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ 3 1 3

параметр). При проведении тестовых расчетов одномерной задачи по рас­ пространению ударной волны было показано, что при а ==1/2 разностная схема дает меньшие колебания на фронте ударной волны, чем при а = 1. Это полностью соответствует выводам а).

Из графиков, представленных в работе Н. Н. Анучиной Ц4], следует, что в методе PIC, которому соответствует х1= х 2=Из=1» хв= х 7=1/2, xu= x f = l , наибольшие колебания в задаче о распаде разрыва (обусловленные, в частности, немонотонностью разностной схемы) возникают при использовании на лагран-

жевом этапе величины* скорости и. При употреблении ы = ~ (и+ и) = \и\х/г

зование 1и]ни вместо и на лагранжевом этапе приводит к появлению членов хнт (ирх)х X2, нпт(Ерх)х в уравнениях неразрывности, импульса, энер­

Два коэффициента диффузии аХ1и а33 увеличиваются, а а22 уменьшается с уве­ личением х“. Следует, однако, заметить, что в области малых скоростей умень­ шение а22 несущественно, так как в а22 входит член 0,5р|ы|Дх, пропорциональ­ ный модулю скорости. В зонах больших скоростей влияние Аа22 может быть существенным. Суммарный эффект использования Ы ха на лангранжевом этапе

заключается, по-видимому, в увеличении роли вязкостных членов разностной схемы, что приводит к сглаживанию колебаний в области немонотонного счета (что соответствует результатам [14]).

2. В связи с развитием метода крупных частиц для решения сложных за­ дач газовой динамики представляет определенный интерес сравнить его раз­ ностную схему с разностной схемой метода FLIC без искусственной вязкости.

Разностные уравнения сохранения массы й импульса совпадают, а раз­ ностное уравнение для уравнения сохранения энергии на эйлеровом этапе

одну из разностных схем многопараметрического метода крупных частиц, в которай для аппроксимации члена (ри)х в уравнении энергии на эйлеровом этапе применяется ZIP-метод [25]. При этом используется [MJ-II/,.

Коэффициенты диффузии, представляющие собой диагональные элементы матрицы аппроксимационной вязкости, совпадают для уравнений неразрыв­ ности и импульса и различаются для уравнения энергии, причем

Аа39= — -у ру их Ах2 + Atpa (Е + и2)

для метода крупных частиц и

Да31 = -^ - р а ^ + Atpa (£ + и2)

для метода FLIC.

Из полученных результатов следует, что в методе крупных частиц коэффи­ циент диффузии ааз на волнах разрежения (их> 0) меньше, чем у метода FLIC,

эффициент диффузии а88 метода FLIC меньше, чем у метода крупных частиц. Этим, по-видимому, и объясняется тот факт, что метод крупных частиц устой-

чив без введения явных членов искусственной вязкости, а метод FLIC — неус­ тойчив. В окрестности волны разрежения метод крупных частиц имеет мень­ ший коэффициент диффузии а33, чем метод FLIC. Однако, как показали много­ численные расчеты, метод крупных частиц устойчив и в этих зонах. Увеличе­ ние диссипации может привести к большему размазыванию и, в конечном счете, к снижению точности.

3.Система уравнений (12.1) описывает одномерное движение невязкого

и нетеплопроводного газа без учета ряда физических эффектов (излучения и т.’д.), которые могут (при определенных условиях) оказывать большое влияние]на течение. Например, при Т Х Ю 4)К учет излучения приводит к сущест­ венному возрастанию плотности и понижению температуры в ударном слое.

Подробное описание алгоритма метода крупных частиц для задач радиа­ ционной газовой динамики и результатов численных расчетов дано в гл. XI. Здесь для анализа полученных разностных схем исследуется одномерный (по пространству) случай.

Рассмотрим следующую систему уравнений газовой динамики:

где|(2ф=Ф ф(Р» ut E), (cp={w, £}) — известные функции плотности, скорости и удельной полной энергии. Здесь ф ={и,£} — верхний индекс, а не показатель степени.

Для построения рациональн ой разностной схемы воспользуемся расщепле­ нием (12.8) на две вспомогательные системы:

Гр?1- о.Нр^ + х^ + х*ю»)?- о,

(12.9)

р™Е?>+щ (ри)У +хя W - 0 ) ;

и

_Д ля аппроксимации (12.9), (12.10) используем разностную схему (12.3), (12.4), в которой члены (Q4*)* (ф= {«,£}) будут аппроксимироваться цент­ ральными (разностями, т. е.

'*2Ах [ ^ Ф)?+1— №Ф)*-1]>

как!для системы (12.9), так и для системы (12.10). Заметим, что подобным об­ разом аппроксимируется член рх.

Ах2, Ах3, АхДt в случае к„=Ия=0, т. е. при учете Qu, QE только на втором: этапе.

Следует заметить, что дифференциальное приближение (12.15) было по­ лучено для потока, текущего слева направо, т. е. при *С>0. Для противо­ положного направления потока достаточно заменить (Ах) на (—Ах) в (12.15).

Если в (12.15) учитывать только члены, пропорциональные At, то учет

энергии соответственно. Приведем два показательных примера, в которых используются более сложные, чем описываемые (12.1), модели течения и ад­ дитивно добавляемые члены Qu и QE имеют конкретный физический смысл.

В качестве п е р в о г о примера использования (12.15) рассмотрим одно­ мерные течения идеального невязкого, нетеплопроводного газа с учетом излу­ чения. Излучение будем вводить в приближении объемного высвечивания. Газ будем считать серым, коэффициент поглощения с учетом вынужденного испускания которого не зависит от частоты, температуры и давления. В этом случае имеем

этапах приводит к уменьшению коэффициента диффузии а33 на величину

(Fr — число Фруда). Для определенности будем считать, что сила тяжести направлена вдоль оси х. Введение силы тяжести, помимо усложнения ис­ ходной системы (12.1), приводит к стратификации: первоначальному полк> параметров потока с

Рх(Х, t) |<=0 > О, РА- (х, t) |t—о > 0.

Вначале рассмотрим влияние введения в разностную схему члена с силой, тяжести. Из (12.15) следует, что при наличии силы тяжести учет расщепления приводит к увеличению (уменьшению) коэффициентов диффузии а1Ъ ай2, а33 на величины

соответственно, если

Таким образом, если направление потока совпадает с направлением дейст­ вия силы тяжести, то учет расщепления приводит к увеличению диагональных

318 РАЗВИТИЕ МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. XII

элементов матрицы а; в противном случае коэффициенты диффузии умень­

шаются.

Теперь рассмотрим вторичный эффект действия гравитационного поля — влияние стратификации, обусловленной силой тяжести. Если в предыдущих параграфах не учитывалась априорная информация о знаках р*, рх> то в слу­ чае стратифицированной среды р^Х ) и р^Х ) в первоначальный и близкие к нему моменты времени. В случае ux\t=o=0 анализ диагональных членов матрицы (12.6) показывает, что а2а и а33 уменьшаются.

Из полученных в настоящем параграфе результатов следует, что введение расщепления приводит к появлению добавочных членов в дифференциальных приближениях разностных схем (Г-, П-формах дифференциального представ­ ления или п. д. п.). Априори неясно, какую роль будут играть эти члены. В ряде случаев (например, в методах PIC, крупных частиц, FLIC) расщепле­ ние системы уравнений газовой динамики происходит по физическим процес­ сам [222, 232, 233], что соответствует учету сил давления на первом этапе и конвективных членов на втором.

Таким образом, остаточные члены, возникающие из-за расщепления, мо­ гут как улучшать (уменьшать колебания за ударной волной), так и ухудшать результаты (давать большее размазывание монотонного профиля ударной волны). Они требуют детального анализа, что и было проведено выше для раз­ личных видов течений. По параметрам, входящим в разностные схемы, можно оптимизировать решения [401] и разностные схемы [221].

Как отмечает Г. И. Марчук [222], формальное расщепление может ском­ прометировать саму идею расщепления, и лишь дополнительные соображения приводят к схемам, теоретически оправданным и эффективным в приложе­ ниях.

§ 2. Разностные схемы метода крупных частиц для расчета нестационарных трехмерных течений

1. В этом параграфе будут рассматриваться многопараметрические классы разностных схем метода крупных частиц для решения пространственнонестационарных задач аэрогазодинамики (Ю. М. Давыдов [213, 219, 437]).

Система уравнений газовой динамики для трехмерных течений записы­ вается в виде

(p£)t+ [(P+ pE) « ],+ [0>+ pE) »]„+ [(p+ pE) w]2= 0 ,

P=»P(P,3), 9 = E — 2 ( U* + V2 + W*),

где и, v, w — компоненты вектора скорости вдоль осей х, у, г соответственно. Сначала рассмотрим традиционную разностную схему метода крупных

частиц с AM первого порядка точности [1, 20, 22].

Как и для двумерных (плоских и осесимметричных) задач, расчет каждого шага по времени разбивается на три этапа:

1) э й л е р о в этап, когда пренебрегается всеми эффектами, связанными с движением жидкости (потока массы через границы нет)) это соответствует

чений параметров потока ф={р, и, vt w, В ) на основе интегральных законов сохран ния массы, импульс v энергии ля каждой ячейки.

сам [222, 232, 233]: учет сил давления производится на эйлеровом этапе, а эффекты конвективного переноса — на лагранжевом и заключительном.

Введем равномерную сетку по пространству с сеточными параметрами Ах, Ау, Аг и индексами i, /, k вдоль осей х, у , г соответственно. Шаг по вре­ мени At может быть переменным.

На эйлеровом этапе будем использовать центрально-разностные аппрок­ симации:

Разностные формулы на лагранжевом и заключительном этапах запишутся в виде