книги / Курс аналитической геометрии и линейной алгебры
..pdf
|
Указания и ответы к упражнениям |
291 |
|
§2 |
|
2 . |
Факт очевиден, если использовать результат упр. 3. Но попробуйте |
|
доказать это непосредственно.
5. Непосредственный подсчет не сложен, но можно ввести декартову прямоугольную систему координат, оси которой направлены вдоль радиу сов, и сослаться на результат упр. 6 § 1 .
6 . Проведите касательную к параболе, параллельную данной прямой.
§3
6 , Посмотрите на упр. 4.
§4
1. Следует различать два случая: когда пересечение есть прямая, и когда оно — пара совпавших прямых.
5.Решение. Уравнением линии пересечения является система
Ъх1 - Зу2 + 4г2 = 0, —х 2 + у2 - г 2 = 1.
Если мы исключим 2 (т. е. найдем его из второго уравнения и подставим
в первое), то получим уравнение х7+ у2 = 4. Это уравнение — следствие системы, и потому определяет множество, содержащее линию пересечения. Так как в уравнение не входит г, это множество — цилиндр с образующи ми, параллельными ез. Пересекая цилиндр плоскостью 2 = 0, мы получаем окружность с уравнением 2 = 0, х2+ у7 = 4, на которой лежит ироекция. Однако проекция не совпадает с окружностью. Исключая 2 , мы должны бы ли запомнить условие z 2 = —1 —хг + у2 ^ 0 . Итак, проекция — две дуги окружности: х2 + у2 = 4, у2 —х2 ^ 1 на плоскости 2 = 0.
6 . Гипербола не умещается в полуплоскости.
Глава IV
§2
8.Посмотрите, во что переходят начало координат и базисные векторы.
9.Множество образов всех точек при линейном неаффиином преобра зовании — прямая линия или точка.
11.Гомотетия с центром в точке пересечения медиан.
§3
1. Преобразуйте плоскость так, чтобы две из прямых перешли в оси координат.
3.Искомые направления совпадают с теми, о которых идет речь в пред ложении 7.
4.Обратите внимание на то, что прямая, имеющая единственную общую точку с параболой или гиперболой, не обязательно является каса тельной.
Глава V
§3
3.б) Коэффициенты разложения те же, что и в упрощенной матрице.
4.Что означает теорема о базисном миноре при Rgi4 = 1?
19а
292 Указания и ответы к упражнениям
5. Элементарными преобразованиями строк обратите в нулевые все строки, кроме отмеченных.
6 . Оцените ранги матриц ||A|i?||, ||А |А + ВЦ.
§4
5.Индукция. Разложите детерминант по столбцу, не пересекающему подматрицу.
6 . При произвольном п индукция по к. Разложите по первому столбцу. 8 . Используйте результат задачи 7, а).
9. Пусть общий корень t Умножим первый столбец на £3, второй — на £2, третий — на t и все прибавим к четвертому столбцу.
§6
4. Используйте упр. 3, б) из §3 и способ построения матрицы (8) из §6 .
Глава VI
§ 2
2 . Вектор с координатами f \ £2, £3, £ 4 принадлежит -£?; тогда и только тогда, когда совместна система уравнений с неизвестными а и /3:
|
1 |
|
5 |
е |
а |
2 |
|
6 |
|
3 |
+ 0 |
7 |
— |
|
|
4 |
|
8 |
*4 |
4. Для нахождения линейных зависимостей между векторами можно привести матрицу из их координатных столбцов к упрощенному виду с помощью элементарных преобразований строк. Находим, что си, а2 и Ь\
линейно независимы, а 62 = ia i — -аг 4* 36ь Поэтому z = aj —02 —4(62 — |
|
4 |
4 |
- З 61) принадлежит -Sf'nJSf".
§ 4
3. В инвариантном подпространстве нечетной размерности найдется собственный вектор.
6 . Пусть р(А) — характеристический многочлен матрицы х у т . Чему равно р(—1 )?
8 . Т 2 = Е. Отсюда следует, что А2 = 1.
9. А ~ 1А В Л = В А .
1 0 . Воспользуйтесь теоремой 4.
§6
6 . Если В — матрица билинейной функции, то В£ = 0 — система урав нений ее нуль-пространства (см. упр. 5). Пересечение нуль-пространств всех форм задается системой D £ = 0 . Поместим в этом пересечении по следние п —к базисных векторов.
7. Если АТА£ = 0 , то £ТАТА£ = (А£)Т(Л£) — 0, и потому А£ = 0 .
8 . Найдется верхняя треугольная матрица S такая, что STВ S = Е (см. доказательство критерия Сильвестра).
9. Пусть k(xi) > 0, а k(#2) < 0. Рассмотрим многочлен k(tai 4-д72) от переменной t .
Указания и ответы к упражнениям |
293 |
Г л ава VII
§ i
4. б) Если вы нашли такую матрицу, то постарайтесь с ее помощью по строить матрицу такого типа вдвое большего порядка. Что это за матрицы для п = 1 и п = 2?
5. R = QTА.
§ 2
6. |
Чтобы найти инвариантные подпространства, представьте характе |
ристический многочлен А4 + 1 как (Л2 + >/2А + 1)(А2 — у/2 \ + 1) и восполь зуйтесь предложением 8 §4 гл. VI. Второе подпространство — ортогональ ное дополнение первого.
§3
7. См. задачу 9.
§4
3. Преобразование унитарного пространства, имеющее такую матрицу в ортонормированном базисе, является унитарным.
Глава VIII
§ 2
2. R = 4, г = 2. Малая квадратичная форма не является ни положитель но, ни отрицательно полуопределенной.
О Т В Е Т Ы
Глава I
§i
1.\ВС\/\СА\ = А/(1 - А). 2. ЛС(1,1/2). 3. (5, -3).
4.Точка пересечения медиан: АО —О-{АВ + АС).
|
§2 |
1. |
(1,1). 2. D(x1 - xt + Xi, y i - y t + уз). |
4. |
х = гсозуэсоз#; у = rsin^cosfl; z = rsinfl. |
|
§3 |
1. а = act', х = ax' + a0. Координаты уменьшаются вдвое.
2. х = U -x' + у' + 1), у = -\(х ' + у' - 1).
3. О' — противоположная О вершина параллелепипеда, построенного на базисных векторах. Концы соответствующих базисных векторов совпа дают.
§4
3 . (3 /2 )а . 5 . c o s# = (c o s а — c o s /3 c o s 7 )/(s in /3 s in 7 ) . 6 . — 1 2 у / 2 .
294 |
Указания и ответы к упражнениям |
7.Необходимо и достаточно, чтобы детерминант матрицы был положи-
телен.
8.(см)“\
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава II |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 1 |
у = о.4- х2+ у2 = 4*2. |
|
1. х2+ у2 = 4. |
3. х2+ ху + у2 - |
х - |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§2 |
|
|
1. |
* = 2 - |
2t, |
у = 2 -М, г = |
*. 2. х = |
1 + 2*, - 3*2, у = *ь * = fe. |
|||||||
3. (2,0,2), |
«1 |
= -1 , t2 = |
L |
4, Зх — |
|
2у—5г-{- 4= 0. |
||||||
5- а)г = 1 |
$ |
+ *а; |
6)r = - W |
" |
W |
+ t[n,,ni1- |
||||||
1. |
0 ( - 8 ,1), г = 4. |
2. (>M 2 + |
§ 2 |
|
< 0. |
|||||||
|
|
|||||||||||
3. а? = 8fc, у = |
65i, z = 49£. |
|
|
|
|
|||||||
4. |
Oj(0,2 ,1), г, = |
|
0 2 (о, |
i ) , г, = |
|
|||||||
в. о (« |
5 |
|
40/ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
\ 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в |
_ |
_ |
I _ |
( r i - r j . a o . a j ) |
, _ . |
|
|
|||||
6 |
. г = |
r i |
+ |
a j |
— -------------------г - - |
+ a e i . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
( a o |
. a i . a j ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава |
III |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§1 |
|
|
1 . |
- |
£ |
|
= |
1; . |
= |
^ |
- |
У') - |
У = |
£ < « ' + * ) + \ . |
|
2 . у'2 = |
2*'; |
* ' = |
4* + 3» + _ 1 , у ' = Г 3* + |
4У - 1 |
||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
Возможны: пары пересекающихся, параллельных и совпавших пря |
||||||||||||
мых. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
А = С, В = О, D2 Н- Е2 > ЛК |
5. Эллипс с полуосями 4>/2 и 3\/2. |
||||||||||
§ 2
3. Для эллипса, параболы и ближайшей к фокусу ветви гиперболы г =
= р/( 1 - ecos<p). Для второй ветви гиперболы г = —р/(1 -f ecos<p).
5.i +i. 6.2>/2.
а' 6^
8. Прямая соединяет точки касания касательных, проведенных к линии из данной точки.
§3
4. о ( - i , i ) ; Эх + у + i = 0, аг +Эу - i = °.
5. Пара пересекающихся прямых.
7. х - Зу + 3 = 0.
Указания и ответы к упражнениям |
295 |
§4
2.а) Однополостный гиперболоид х2 + у2 —2г2 4 4* = 4;
б) конус х2 4 у2 = 2(г - 2)2.
3. Для гиперболического параболоида, заданного каноническим уравне нием, нормальные векторы плоскостей ni(6, а,0) и п2(—6, а, 0).
Глава IV
|
|
§ i |
1. |
б) Да; в) нет. 2. |
(fgh)-1 = h~1g“,f“1. |
3. х* = 5 —у, у* = 5 |
—х. |
|
|
|
§ 2 |
I. а) Да. б) нет. 2. Прямая у = 3. 4. (1,1). |
||
6. |
Свободные члены заменятся на нуль. |
|
7. а) х* = 62х 4 а2у 4 с2; |
||
б) х* = aix 4 2Ъ\у + ci, у* = 6ix 4 счу + d; у* = -а2х 4 62у 4 -с2. |
|
Л |
i |
8.y = x tg ^ . 9. Нет.
10.В любом случае — векторы, коллинеарные е2, при а 4 6 ^ 0 еще и
коллинеариые (а 4 Ь, —1).
I I . х* = - ^ х , у* = 2 У*
12.Осевая симметрия относительно у = —xtg
§3
1.1/3.
3.Векторы, коллинеарные вектору: а) а(3,2); б) Ь(—2,3). Соответст вующие растяжения: а) 2>/26; б) \/26.
6.а) Ось одной симметрии перпендикулярна а, ось другой получена из нее параллельным переносом на (1/2)а.
б) Оси обеих симметрий проходят через О, ось второй получена пово
ротом оси первой на угол р / 2.
7 . gf, где f : {х* = х, у* — Ху - a}, g: {х* = х, у* = у 4 а}; f — сжатие к прямой у = —а/(1 —Л).
Глава V
§ i
1 3
1.а) ; б) 9; в) 48, не считая ее самой. 7 9
2.а) Нет; б) да; в) да; г) нет; 3. 2В.
4.D = (3 —2\)А —(1 4 А)В 4- АС, А произвольно. 5. а) Нет; б) нет.
6.Нет, а = 2Ь —с.
§2
2.а) Да; б) нет. 4. а) Нет. б) да.
296 |
|
|
|
Указания и ответы к упражнениям |
|
|
|
|
||||||||
5. |
а) Матрице (—Е) отвечает центральная симметрия, а / |
— поворот |
||||||||||||||
на 7г/2 ; |
|
|
|
Ъ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
, где а и о ^ О |
произвольны. |
|
|
|
|
|||||||
-(а2 + 1)/Ь |
- а |
|
|
|
|
|||||||||||
7. |
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1 |
3 |
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
0 |
- 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
0 |
1 0 |
|
|
|
0 |
0 II II 1 |
0 0 |
||||||
1 0 0 |
0 |
II 1 |
||||||||||||||
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1/2 |
0 |
0 |
1 |
II |
0 |
0 |
2 |
II II |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
§3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. a) |
Rg А = 2, базисная подматрица, например, |
1 |
2 |
|
|
|||||||||||
3 |
5 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) ||7 8 9|| = 2||4 |
5 6|| —||1 2 3||; |
3 |
= |
II |
2 |
II |
|
1 |
II |
|
|
|||||
6 |
2 II |
5 |
|| — |
4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
II |
8 |
II |
|
7 |
|
|
|
г) 9 — все квадратные подматрицы второго порядка. |
|
||||||||
2. а) Ранг не больше двух; |
б) Ранг не больше п /2. |
|
|||||||
1 0 |
- 1 |
- 2 |
- 3 |
5 |
= - 3 |
II |
1 |
2 |
|
3. а) 0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
; б) 7 |
II |
3 + 4 |
4 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
|
5 |
6 |
|
§4
1. a ndetA |
4.46. |
|
|
|||
7. |
б) 6 = det Л, k = ^ ( - 1 |
)t+Jdij, где |
— дополнительный минор |
|||
|
|
|
и |
|
|
|
элемента atJ матрицы Л. |
|
|
||||
8. (Зп + 1)/2. |
10. 10. |
|
|
|||
|
|
|
|
§5 |
|
|
|
1 |
d |
|
|
|
|
|
ad —be |
—с |
|
|
||
|
|
|
|
§6 |
|
|
|
-1 -1 |
-Б |
|
|
||
3. |
1 |
0 |
. 5. а) Не существует; б) Л . |
|||
4. |
||||||
|
0 |
1 |
Еп—г |
|
|
|
|
-г || |
|
1 |
|
|
|
6 . |
1 + с |
-2 |
|
|
||
|
0 || |
|
1 |
|
|
|
|
|
Указания и ответы к упражнениям |
297 |
|
|
|
|
Глава VI |
|
|
|
|
§ i |
|
1. А = |
ад Ejj. |
|
|
|
|
ij |
|
|
стандартного |
2. n(r* + 1)/2. За базис можно принять матрицы Eij { i ^ j ) |
||||
базиса пространства квадратных матриц порядка п. |
|
|||
1 |
—а |
а2 |
—а3 |
|
0 |
1 |
—2а |
За2 |
|
0 |
0 |
1 |
-З а |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
Р(0 = Р(в) + p '(a )(t - |
а) + jp"(a)(* - а)2 + |
ip"'(a)(t - а)3 |
(штрих обо- |
|
значает дифференцирование по t). |
|
|
||
4. /] раскладывается по ej; / 2 раскладывается по ei,e2; / 3 |
раскладыва |
|||
ется по ei, е2, е3; ...; / n- i |
раскладывается но ei, |
еп-ь |
|
|
5. Ориентированы одинаково. |
|
|
||
|
|
§2 |
|
|
|
/ |
- 2£2 + $3 = О, |
|
|
1 . Например, ai,a2. |
2 . \ |
2*1-3 $ 2+£4 =0. |
|
|
3.Например, линейная оболочка векторов е3 и 64.
4.а) ai,a2,6i; б) си - а2.
5.а) Да; б) да; в) нет.
1 |
2 (3 |
|
§ 3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
2 |
4 |
(3 |
0 |
-1 |
о |
о |
3 |
6 |
(3 |
0 |
|||
0 |
о |
:I |
2 |
О |
2 |
-1 |
0 |
о |
:2 4 |
|
|
|
|
оо |
;3 |
6 |
|
|
|
|
2 3 J |
0 |
Я |
|
|
||
0 |
0 |
|
1 5 |
|
|
|
2.Инъективно при Rg С = 2. Сюръективным быть не может.
3.а) Нет; б) да. 7. а) Нет; б) да.
|
|
о |
1 |
§4 |
5. |
л, |
|
||
О |
|
, где А\ — квадратная подматрица порядка г и ранга г. |
||
|
О |
|
||
7. |
Для Ai = |
7 базис в собственном подпространстве — векторы с ко |
||
ординатами |
|| 1 |
—2 |
0 ||т и || 0 3 1||т . Для А = —7 собственный вектор с |
|
координатами ||2 1 |
—3 ||т . |
|||
8. |
Для Aj = |
1 собственное подпространство — множество симметрич |
||
ных матриц. Для А2 = —1 собственное подпространство — множество ко сосимметричных матриц.
298 |
Указания и ответы к упражнениям |
||||||
1 |
1 |
0 |
II |
|
3 |
2 |
0 |
11. 5 = - 1 |
- 3 |
|
0 |
3 |
- 2 |
||
0 |
’ |
= |
|||||
0 |
1 |
1 1 |
|
0 |
0 |
3 |
|
§5
1.а) Нет; 6) да, если f(rr) = 0 для всех х.
2.||0q - og||, где q = S±(ei,e2).
3. |
a) v>, = О, i ^ k; </>. = (i - |
- k)a'-fc-1, i > k (* = 1, |
6) |
Vi = 0, * ф k + 1; v»*+i = |
*!• |
§ 6
|
|
1 |
1 |
3 |
|
1 |
1 |
3 |
0 |
|
|
|
|
- 2 |
4 |
0 |
0 |
|
|||
1. а) |
—2 |
4 |
0 |
6) |
|
|||||
0 |
0 |
1 |
0 |
|
||||||
|
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
А1 |
8 |
3 |
|| |
1 |
1/2 |
|
|
|
|
2. |
г1 |
5 |
1 |
II. 3. |
|
|
|
|
||
|
С) |
! |
! |
|| |
1/2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
- l |
- 3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. а) (Г1)*+ (€'*)*-«'•)*; |
0 |
-1 |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
1 |
|
6) U'1)2* ^ |
2)2 |
|
y/2 |
- 1 |
- 5 |
II |
||||
>' y/2 |
° |
- i |
1 |
II. |
||||||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|| |
||
5. |
s = |
n — Rg b. Последние s строи и последние $ столбцов нулевые. |
||||||||
6. Пусть D — матрица, составленная из матриц всех форм, написанных одна под другой. Необходимо и достаточно Rg D ^ к.
7.а) г; б) 0.
9.к не является ни положительно, ни отрицательно определенной.
10.Миноры четного порядка > 0, а нечетного порядка < 0.
11.Нет.
§7
1. а) 3; б) 6; в) 14. |
|
|
|||
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
2. а) А’ = |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
2 |
1 |
||
|
|||||
|
0 |
0 |
0 |
2 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
б) А ’ = |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
, |
с |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
Ь — |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
||
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
- 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
, |
s = |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
- 1 |
0 |
2 |
||
|
|
|
0 |
1 |
0 |
- 1 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
2 |
0 |
- 2 |
|
|
|
Указания и ответы к упражнениям |
|
299 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава |
VII |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2/3 |
|
|
|
§ i |
|
|
|
|
|
|
|
||
1. а) |
2 |
0 |
|
|
; б) |
2 |
|
- 2 |
|
8 /3 |
в) arccos |
л |
||||||
2/3 |
0 |
|
2/5 |
|
8 /3 |
|
- 4 |
|
32/5 |
|||||||||
|
|
0 |
2/3 |
|
|
0 |
|
|
|
- 2 |
|
8 /3 |
- 4 |
; |
|
|||
|
|
1 1 1 - 1 || |
т |
1 |
Hi - 1 1 - i f ’, i | | H |
|
|
|||||||||||
|
|
|
’ 2 |
|
|
|||||||||||||
3. а) ||01 1 1||г, |
||1 |
1 |
1 0||т; |
б) |
||1 - |
1 О1||т. |
4. 1 / Д . |
|
||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
- 2 |
И - |
1 |
1 |
5 |
7 |
> |
|
|
|
|||
|
|
у/Ъ |
2 |
|
|
1 |
Д \ \ |
0 |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
||||||
|
|
II |
2 |
1 |
|
0 |
|
-V 5 , |
|
|
И |
0 |
|
N/2 |
|
|||
|
|
|
|
|
л/3 |
|
л/2 |
N |
|
|
л/б |
2%/б |
- Д |
|
||||
|
|
1 |
|
-л/3 |
|
Д |
1 ’ |
й = |
|
0 |
|
0 |
д |
|
||||
6. |
4у/2. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
2 |
4 |
Собственные |
подпространства |
А: ||1 |
—1||г , ||2 —3j|T. |
||||||||||||
О |
1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Собственные подпространства А*: ||4 —1||т , ||1 0||т .
3. Или тождественное преобразование, или отражение в подпространст
ве |
: если х = хг+ х”, х ' Е |
я" G |
то Д(а;) = х' —я". Если |
= {о}, |
то А = —£. |
|
|
|
|
|
4. а) 2пп!; б) бесконечно много; в) да, в случае б). |
|
||
I |
-1 |
л/2 I |
I 1 |
О О |
|
5. S= 4= II Д |
-1 |
л/2 , Л ' = |
0 |
1 |
О |
Д |
О 2 |
\/2 |
у О |
О |
4 |
6 . |
Поворот на 57г/4 в плоскости векторов 01,02 |
и поворот на тг/4 в плос |
кости векторов 61, 62. (Углы отсчитываются от ai к 02 |
и от 61 к 62.) Коор |
|
динатные столбцы 0 1, 02, 61,62 соответственно |
|
|
|
1 |
|
1 |
-1 |
|
1 |
1 |
-1 |
|
|
->1П |
|
0 |
|
л/2 |
1 |
0 |
||
|
’ 2 |
1 ’ 2 |
1 ’ 2 |
1 |
|||||
|
0 |
|
|
-л/2 |
|
|
0 |
л/2 |
|
7. а) |
|
О |
О |
|
|
|
|
|
|
|
О |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 ) Q = i |
Д |
1 |
, S = ~ |
4 |
Д |
|
|
|
|
-1 |
Д |
|
|
5 |
|
|
|||
|
’ |
3 Д |
|
|
|
|
|||
— “$ 1 |
|
! |
IIII- |
|
УЩ |
у57з I |
|||
4 |
|
-У2/3 |
уГ/з |
||- |
|||||
300 Указания и ответы к упражнениям
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§3 |
|
3 |
о |
|
1. (9 - |
15t*)/8. |
2. |
Ь*(л?, у) = |
ь(у,я)- |
|
|
|||||||||
3. -1 |
1 |
|
|||||||||||||
5. |
S = ± = |
|
|
|
Д |
|
1 |
д |
, 4(»7, ), + 4(f?s)2 + (»?3)2. |
||||||
|
|
|
|
0 |
- 2 |
Д |
|||||||||
|
|
Д |
|
|
- Д |
|
]L |
Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
?? ~ К’)*- |
||||||
6. Да; |
7. а] |
( е г |
- |
( е |
и 2 |]£ |
|
|
||||||||
8. S = |
-4 = |
|
|
|
|
; |
k(i) = |
|
|
_ (-Л\2 , |
/„2\2 |
||||
|
|
Д в |
I I 1 |
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
мер: (С1)2 и (£3)2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§4 |
|
|
|
|
1. а) |а| = 2, |Ь| = 3, cos(a, b) = |
(3 + t)/6, cos(Ь,а) —(3 —■*)/®> |
||||||||||||||
б) |
Векторы |
а |
и Ь '(-2 - |
3*/2,3/2 - |
i) |
ортогональны, |
Ь = 6 - аа, а = |
||||||||
= (3-0/4. |
I |
|
|
0 |
|
, S = |
^ _ II |
• |
^ |
||; Л и самосопряженное, и уни- |
|||||
4. А - |
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
° |
|
|
1 |
" |
‘ - |
|
|
|
|
||
тарное. |
|
0 |
|
- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
*1 If |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
’ |
7 !1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
“‘Л11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава |
VIII |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
§ i |
|
2 |
|
|
|
XI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
х2 |
= |
|
|
- 3 |
+ 1\ |
- 2 |
+ h |
-3 |
|
|
||||
хА |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
||
а) Пустое множество или плоскость; б) dim P ^ ki + k2 —я.
§ 2
( |
<' = |
т " ' - ; И + Ж ’,+ 2 ’ |
1. - ^ + o > ’)’ -€ч>)* = i, |
«■ = |
!,■ + v / f r f - |
|
I ^з = 4? »?2+ 4 »?3+з- |
||
|
v |
v o |
vo |
2- Гиперболический параболоид. |
3. —1/2 < a < 0. |
||
|
Глава IX |
|
|
2. |
а) 64; б) 64. |
§ i |
|
|
|
||
3. |
....in = (~1)т > .... *n*detS, если м , р а з л и ч н ы , и 0 в против- |
||
ном случае.