книги / Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

преобразованиями, оставляющими неподвижной точку А .

Нетрудно доказать, что произвольное аффинное преобразование есть произведение параллельного переноса и преобразования, имею­ щего неподвижную точку.

Определение. Аффинное пространство называется точечным евклидовым пространством, если его пространство векторов евклидо­ во. В этом случае расстоянием между точками А и В называется длина вектора АВ.

Трехмерное точечное евклидово пространство совпадает с прост­ ранством, изучаемым в элементарной геометрии, если в последнем фиксировать единицу измерения длин.

Декартовой системой координат в аффинном пространстве назы­ вается совокупность точки О и базиса е пространства У . Если в У задана система координат О, е, то каждой точке А из У взаимно од­ нозначно сопоставляется упорядоченный набор из п чисел, а именно координаты вектора ОА в базисе о. Эти числа называются декар­ товыми координатами точки, а столбец из них — ее координатным столбцом. Эти определения фактически повторяют определения из гл. I, и потому основные утверждения и формулы оттуда справедли­ вы и для любых аффинных пространств. В частности:

координатный столбец вектора АВ равен разности координатных столбцов точек В и А;

координатный столбец точки P(sl,x) равен сумме координатных столбцов точки А и вектора х.

Формулы замены координат точки при изменении системы коор­ динат выводятся и выглядят так же, как и соответствующие форму­ лы из §3 гл. I.

2.Плоскости в аффинном пространстве. Пусть в аффинном

пространстве У заданы точка AQ и ^-мерное (к > 0) подпрост­ ранство У 1 в его пространстве векторов У . Множество У* всех то­ чек вида Р(Ао, х ), где х Е JSf', называется к-мерной плоскостью в У . Точка А0, разумеется, лежит в плоскости. Мы назовем ее начальной точкой, а подпространство У* — направляющим подпространством.

Любая точка плоскости А = Р(Ао,ж) может быть принята за ее начальную точку. Действительно, любая точка В = Р{Ао, у) предста­ вима в виде В = Р(А,у — х), так как АВ = АоВ —AQA. Наоборот,

Р {А ^) = Р{А0,г + х).

Не представляет труда доказать, что A-мерная плоскость являет­ ся fc-мерным аффинным пространством.

Предложение 2. Если в У выбрана декартова система коор­ динат,, то к-мерная плоскость может быть задана системой линей­ ных уравнений ранга п —к. Обратно, множество точек, координаты которых удовлетворяют совместной системе ранга п —fc, являет­ ся к-мерной плоскостью.

252 Гл. VIII. Аффинные пространства

Д оказ ате ль ст во . Если — координатный столбец начальной точки, то по определению столбец £ = г) + является координатным столбцом точки плоскости тогда и только тогда, когда г) - - коор­ динатный столбец вектора из направляющего подпространства. По предложению 4 §2 гл. VI в этом случае г) должен удовлетворять од­ нородной системе ранга п — к вида Ur) = 0. Следовательно, столбец £ удовлетворяет системе U£ = /3, где /3 = (У£0. Вторая часть предложе­ ния следует из теоремы 3 §6 гл. V.

Общее решение системы линейных уравнений дает параметричес­ кие уравнения (п —г)-мерной плоскости, в которых фундаменталь­

(п —1)-мериан плоскость называется гиперплоскостью. Она зада­ ется одним линейным уравнением a if 1+ ... + a n£n = /?. Одномерная плоскость называется прямой линией. Она может быть задана пара­ метрическими уравнениями вида £ = £о + <*?.

Упражнения

1 . В некоторой декартовой системе координат четырехмерного аффин­ ного пространства плоскость задана системой уравнений

€*+§** + ** + €* = 1, 2£! + 3£2 + + 5£4 = -1 .

Напишите ее параметрические уравнения (найдите начальную точку и базис в направляющем подпространстве).

2. а) Что может представлять собой пересечение двух плоскостей?

б) В гг-мерном аффинном пространстве оцените размерность плоскости, получаемой как пересечение плоскостей размерностей ki и &г-

3.Докажите, что в аффинном пространстве любые две прямые лежат

внекоторой трехмерной плоскости.

§2. Общая теория линий и поверхностей второго порядка В этом параграфе мы возвращаемся к геометрии трехмерного то­

чечного пространства, которой были посвящены первые главы книги. Настоящий параграф может изучаться независимо от § 1. Он содер­ жит применение результатов, полученных для квадратичных форм евклидова пространства, к исследованию произвольной линии или по­ верхности второго порядка.

1. Закон преобразования коэффициентов. Мы начинаем с рассуждений, одинаково пригодных для линий второго порядка на плоскости и поверхностей второго порядка, и потому не будем фик­ сировать размерность п - - она равна 2 или 3 в зависимости от того, какой случай иметь в виду. (В действительности читатель сможет за­ метить, что многое здесь справедливо для любых размерностей.)

И линии, и поверхности мы будем называть поверхностями, чтобы не делать большого числа оговорок.

Рассмотрим произвольное уравнение второго порядка

пп

связывающее координаты точек на плоскости или в пространстве, причем о точках, которые ему удовлетворяют, не будем предполагать ничего, даже того, что такие точки существуют. Если мы изменим систему координат и подставим в (1) выражение старых координат через новые, то мы получим новое уравнение (также второго порядка согласно теоремам 1 и 2 § 1 гл. II). Мы будем говорить, что уравне­ ние перешло в новое уравнение, или, что то же самое, что преобразо­ вались его коэффициенты.

Получим закон, по которому преобразуются коэффициенты урав­ нения. Напомним, что замена системы координат распадается на пе­ ренос начала координат и изменение базиса. Если мы изменим базис при неизменном начале координат, то старые координаты выразятся через новые по формуле п

k=l

где <х\ — элементы матрицы перехода от старого базиса к новому. Подставляя это в уравнение (1), получаем

£+253 ai0<>i(,k + <*0= 0

i,k

Если мы перенесем начало координат в точку с координатами р*

(1 ^ < п), оставив базис без изменения, то старые координаты выразятся через новые по формуле _

Подстановка в уравнение (1) дает

53«У(I* +Р*)(? +Р3) +253М?+ ft) +а00=0,

к

нием индексов суммирования. Выражение для свободного члена аоо нам не потребуется.

Формулы (2) и (3) выражают искомый закон преобразования ко­ эффициентов уравнения. Обсудим его.

Члены второй степени в уравнении (1) образуют однородный мно­ гочлен второй степени. Мы видим, что его коэффициенты не меняют­ ся при переносе начала координат, а при замене базиса преобразуются как коэффициенты квадратичной формы. Поэтому многочлен

можно рассматривать как квадратичную форму. Назовем ее малой квадратичной формой. Из сказанного вытекает

Предложение 1. Ранг и сигнатура малой квадратичной фор­ мы (4) не меняются при изменении декартовой системы координат.

Получим закон преобразования в другой форме, позволяющей до­ казать инвариантность еще двух чисел. Рассмотрим однородный мно­

Левая часть (1) получается из (5) при £° = 1.

Многочлен (5) можно рассматривать как координатную запись квадратичной формы при некотором выборе базиса в (п 4* 1)-мерном пространстве. Назовем эту квадратичную форму большой квадратич­ ной формой. Ранг и сигнатура этой квадратичной формы не изменят­ ся, если перейти к другому базису с произвольной матрицей перехо­ да 5 порядка п Н-1, но нам потребуются матрицы перехода, имеющие специальный вид. Выпишем его при п = 2:

Если положить f 0 = £'° = 1, а £* (?' = 1,..., п) интерпретировать как де­ картовы координаты точки n-мерного пространства, то в (7) записано самое общее преобразование декартовой системы координат.

Итак, мы доказали Предложение 2. Ранг и сигнатура большой квадратичной фор­

мы (5) не меняются при замене декартовой системы координат.

Поверхность, определяемая уравнением (1), не изменится, если умножить левую часть уравнения на какой-либо отличный от нуля множитель. При этом ранги большой и малой квадратичных форм не изменятся, а сигнатуры могут изменить только знак (если множи­ тель отрицательный). Отсюда следует

Теоре ма 1. Четыре числа — ранги и модули сигнатур большой и малой квадратичных форм — являются инвариантами поверхности второго порядка.

Обозначим ранг и модуль сигнатуры малой квадратичной фор­ мы соответственно через г и сг, а ранг и модуль сигнатуры большой квадратичной формы — через R и Е.

2. Линии второго порядка на плоскости. В теореме 1 § 1 гл. III мы показали, что любое уравнение второго порядка на плос­ кости за счет выбора декартовой прямоугольной системы координат может быть приведено к одному из девяти канонических видов. В соответствии с этим имеется девять классов уравнений второго по­ рядка.

Составляя матрицы большой и малой квадратичных форм для ка­ нонических уравнений, мы можем непосредственно усмотреть зна­ чения г, (г, R и £, соответствующие каждому классу. Единственное затруднение возникает в случае параболы. Матрица большой квадра­ тичной формы для ее канонического уравнения имеет вид

иобнаружим, что R = 3 и Е = 1. Матрица S не имеет вида (6), но R

иЕ не меняются при произвольной замене базиса.

Выпишем канонические виды уравнений второго порядка на плос­ кости вместе со значениями рангов и модулей сигнатур в табл. 1.

Из теоремы 1 видно, что уравнениям одного класса соответствует один и тот же набор инвариантов, а из табл. 1, что наборы инвариан­ тов, соответствующие уравнениям разных классов, различны. Таким образом, имеет место

Теорема 2. Аффинный класс уравнения второго порядка с двумя переменными однозначно определяется числами г, Я, сг и Е.

Кроме того, мы видим, что значение г = 2 характеризует цен­ тральные линии, а их разделение на линии эллиптического и гипербо­ лического типов определяется значением а. Значение R < 3 соответ­ ствует “распавшимся” линиям, в состав которых входят веществен­ ные или мнимые прямые. Это было установлено в §3 гл. Ill в связи с геометрическим смыслом определителей 6 и А. Сейчас мы в сос­ тоянии посмотреть на них с более общей точки зрения.

Таблица 1

3. Ортогональные инварианты. Вместе с малой квадратичной формой мы можем рассматривать ее присоединенное преобразова­ ние. Если пользоваться только прямоугольными системами коорди­ нат, то матрица малой квадратичной формы совпадает с матрицей присоединенного преобразования. Поэтому коэффициенты ее харак­ теристического многочлена не меняются при замене одной декарто­

вой прямоугольной системы координат другой такой же системой. Определение. Величины, не меняющиеся при замене одной де­

картовой прямоугольной системы координат на другую декартову прямоугольную систему, называются ортогональными (или евклидо­ выми) инвариантами.

Итак, с линией связаны два ортогональных инварианта

/о — это знакомый нам детерминант S. При произвольных заменах координат его величина меняется, но знак (или обращение в 0) оста­ ется инвариантным. Об 1\ речь шла в упр. 6 § 1 гл. III.

Замена базиса (6) имеет специальный вид, но если прямоугольная

258 Гл. VIIL Аффинные пространства

диагональный вид. Таким образом, мы будем исходить из уравнения

A itf1)2 + А2(£2)2 + А3(£3)2 + 2а10£1+ 2а20£2 + 2а3о£3 + «со = 0 (11)

и запомним, что уже выбран определенный ортормированный базис. На коэффициенты уравнения не накладывается никаких ограниче­ ний, за исключением того, что Ai, Л2 и Аз не обращаются в нуль од­ новременно. Дальнейшие упрощения определяются следующим вспо­ могательным предложением.

Предложение 3. Если в уравнение (11) входит с ненулевым коэффициентом квадрат одной из координат, то при помощи перено­ са начала координат вдоль соответствующей оси можно обратить в нуль член с первой степенью этой координаты.

Это доказывается так же, как и предложение 1 § 1 гл. III.

Нам будет удобно рассмотреть отдельно несколько случаев, соот­ ветствующих различным значениям инвариантов г, (7, R и Е.

1. Пусть г = 3. Это равносильно тому, что ни одно из Ai, А2 и Аз не равно нулю. Тогда в силу предложения 3 начало координат можно перенести в такую точку, что уравнение (11) примет вид

1Аа. Пусть Е = 4. Это означает, что А,, А2, Аз и р одного знака, коэффициенты в уравнении (13) отрицательны, и оно приводится к

Это уравнение называется уравнением мнимого эллипсоида. Ему не удовлетворяет ни одна точка.

1А6. Если Е = 2, а <т = 3, то общий знак Ai, А2, A3 противоположен знаку р. Коэффициенты в (13) положительны, и уравнение приводит­ ся к каноническому виду

Ю! + ( ^2'2 , ( е у _

=1.

6*Ь с£а*

Поверхность — эллипсоид.

1Ав. При Е = 0 и сг = 1 знак одного из собственных значений (можно считать, при необходимости изменяя нумерацию базисных векторов, что это Аз) противоположен знаку двух других (Ai и Аг) и совпадает со знаком р. В уравнении (13) два положительных и один отрицательный коэффициент. Поверхность — однополостный гипер­ болоид с каноническим уравнением

1Аг. Пусть теперь Е = 2, <т= 1. Знак одного из собственных зна­ чений (считаем, что Ai) противоположен знаку двух других и про­ тивоположен знаку р. Теперь в уравнении (13) два отрицательных и один положительный коэффициент. Оно приводится к виду

и определяет двуполостный гиперболоид.

1Б. Пусть R = 3. При г = 3 это равносильно р = 0. Уравнение (12)

Оно называется уравнением мнимого конуса. Поверхность состоит из одной точки.

1Бб. Если <г = 1, то одно из собственных значений отличается зна­ ком от двух других. Уравнение приводится к каноническому виду

(Начало координат переносится вдоль осей £1 и £2.) Выпишем детер­ минант матрицы большой квадратичной формы для уравнения (14):

Отсюда видно, что переносом начала координат вдоль оси £3:

уравнение можно преобразовать в

Ai(fx)2 + А2(£2)2 + 2азо|э = 0.

Далее есть две возможности в соответствии со значением <т.

260 Гл. VIII. Аффинные пространства

2Аа. сг = 2. Тут Ai и Х2 одного знака, и, в случае необходимости, заменяя базисный вектор е3 на —е3, мы приведем уравнение к виду

Это — каноническое уравнение эллиптического параболоида.

2А6. <т = 0. В этом случае Ai и Х2 имеют разные знаки, и уравнение приводится к каноническому виду

(Тут также может потребоваться изменение направления е3.) Это уравнение определяет гиперболический параболоид.

2Б. Пусть R = 3. Тогда а 3о = 0, и левая часть уравнения не со­ держит координаты £3. В соответствии со сказанным в § 1 гл. II это означает, что уравнение определяет цилиндр, образующие которого параллельны базисному вектору е3, а направляющая определяется в плоскости векторов ei и е2 уравнением (14) при а 3о = 0:

Уравнение (16) на плоскости может определять одну из пяти цен­ тральных линий второго порядка. Им соответствуют пять цилиндров, которые это уравнение может определять в пространстве: эл­ липтический цилиндр, гиперболический цилиндр, пара пересекающих­ ся плоскостей (направляющая — пара пересекающихся прямых), пара мнимых пересекающихся плоскостей (поверхность состоит из прямой линии, направляющая — точка, т. е. пара мнимых пересекающихся прямых) и, наконец, мнимый эллиптический цилиндр (пустое мно­ жество, направляющая — мнимый эллипс). Канонические уравнения

Переносом начала координат вдоль оси £/2 преобразуем (18) в уравне­ ние A i^"1)2 + 2u£"2 = 0, которое приводится к каноническому виду

fc"1)3 = 2р£"2, р > 0 .