книги / Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

Д о к а з а т е л ь с т в о Очевидно, что rjf = (а: —с)2 4- у2. Подставим сюда выражение для у2, найденное из уравнения эллипса. Мы полу­

Так как х ^ а и е < 1, отсюда следует, что справедливо первое из равенств (4): 7*2= а —еж. Второе равенство доказывается аналогично.

Предложение 3. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, не­ обходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов рав­ нялась большой оси эллипса 2а.

Необходимость условия очевидна: если мы сложим равенства (4)

Докажем достаточность. Пусть для точки М(ж, у) выполнено усло­ вие (5), т. е. ___________ <__________

\/(ж - с)2 + у2 = 2а - ч /(я+ с)2 + у2.

Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные

Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение (2). Мы придем к равенству 62ж2 -Ьа2у2 =

= а2Ь2, равносильному уравне­ нию эллипса (1).

С эллипсом свйзаны две заме­ чательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе коорди­ нат (рис. 30)

Директрису и фокус, которые лежат по одну сторону от центра, будем считать соответствующими друг другу.

Предложение 4. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, не­ обходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентри­ ситету эллипса е.

Докажем это предложение для фокуса JF2(—с, 0). Пусть М(х,у) — произвольная точка эллипса. Расстояние от М до директрисы с урав­

Из формулы (4) мы видим теперь, что r2/cf2 = е.

Обратно, пусть для какой-то точки плоскости r2/d 2 = et т. е.

у/(х + с)2 + у2 = е(х +

Так как е = с/а, это равенство легко приводится к виду (6), из кото­ рого, как мы знаем, следует уравнение эллипса.

Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноничес­ ким уравнением. Пусть Мо{хо,Уо) — точка на эллипсе и у0 ф 0. Че­ рез Мо проходит график некоторой функции у = /(ж), который цели­

ком лежит на эллипсе. (Для уо > 0 это график f\(x) = by/l —х2/а 2:

Для уо < 0 — график / 2(ж) = —by/ Т — х2/а 2. Не уточняя знака уо, обо­ значим подходящую функцию f(x).) Для нее выполнено тождество

*2 , (Я*))2 _ ,

а2 62

Дифференцируем его по х:

±2 + Ш - = о.

а2 ^ Ь2

Подставляя х = хо и /(*о) = Уо, находим производную от / в точке ж0> равную угловому коэффициенту касательной:

Теперь мы можем написать уравнение касательной:

При выводе уравнения (8) мы исключили вершины эллипса (а,0) и (—а,0), положив у0 ф 0. Для этих точек оно превращается, соот­ ветственно, в уравнения х = а и х = —а. Эти уравнения определяют касательные в вершинах. Проверить это можно, заметив, что в верши­ нах х как функция от у достигает экстремума. Предоставим читате­ лю проделать это подробно и показать тем самым, что уравнение (8) определяет касательную для любой точки Mo(®o>Jft>) на эллипсе.

Предложение 5. Касательная к эллипсу в точке Мо(хо,Уо) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяю­ щими эту точку с фокусами.

Д о к а з а т е л ь с т в о Нам надо сравнить углы <р\ и <Р2 , составлен­

ные векторами /VMo и F^MQ с векто­ ром п, перпендикулярным касатель­ ной (рис. 31). Из уравнения (8) на­ ходим, что п(ж0/а 2, уо/Ь2), и потому

( № , n ) = g ( * o - c ) + gyo =

ваемых вершинами гиперболы. Ось ор­ динат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они на­ зываются ее ветвями. Числа а и Ь

называются соответственно вещественной и мнимой полуосями ги­ перболы.

В точности так же, как и для эллипса, доказывается Предложение 6. Для гиперболы оси канонической системы ко­

ординат являются осями симметрии, а начало канонической систе­ мы — центром симметрии.

Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с про­ извольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде у = Агж, поскольку мы уже знаем, что пря­ мая х = 0 не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения нахо­

Это позволяет указать координаты точек пересечения (ab/v, abk/v) и

74 Га . III. Линии и поверхности второго порядка

(—ab/v, —abk/v), где обозначено v = (Ь2 —а2к2)1/2. В силу симметрии достаточно проследить за движением пер­ вой из точек при изменении к (рис. 33).

Числитель дроби ab/v постоянен, а знаменатель принимает наибольшее зна­ чение при к = 0. Следовательно, наи­ меньшую абсциссу имеет вершина (а, 0). С ростом к знаменатель убывает, и х рас­ тет, стремясь к бесконечности, когда к приближается к числу Ь/а. Прямая у = = Ьх/а с угловым коэффициентом Ь/а

не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффици­ ентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим поло­ жительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу.

Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положе­ ния по часовой стрелке, то к будет убывать, к2 расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет по­ ложения с угловым коэффициентом —Ь/а.

К прямой у = —bx/а относится все, что было сказано о у = Ьх/а: она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипер­ бола имеет вид, изображенный на рис. 33.

Определение. Прямые с уравнениями у = Ьх/а и у = —Ьх/а в канонической системе координат называются асимптотами гипер­ болы.

Запишем уравнения асимптот в виде Ьх — ау = 0 и Ьх 4- ау = 0. Расстояния от точки М (х,у) до асимптот равны соответственно

Если точка М находится на гиперболе, то Ь2х2 — а2у2 = а262, и

Предложение 7. Произведение расстояний от точки гиперболы до асимптот постоянно и равно а262/(а2 + 62).

Отсюда следует важное свойство асимптот.

Предложение 8. Если точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса по абсолютной величине неограниченно возрастает, то расстояние от точки до одной из асимптот стремится к нулю.

Действительно, хотя бы одно из расстояний hi или Л2 при этих условиях должно неограниченно возрастать, и, если бы предложение было неверно, произведение не было бы постоянно.

Введем число с, положив

натами (с, 0) и (—с, 0) в канонической системе координат. Отношение е = с/а, как и для эллипса, называется эксцентриси­

тетом. У гиперболы е > 1.

Предложение 9. Расстояния от произвольной тонки М (х,у) на гиперболе до каждого из фокусов следующим образом зависят от ее абсциссы х:

Доказательство этого утверждения почти дословно совпадает с доказательством предложения 2, и мы не будем его воспроизво­ дить. Заметим, что равенства (11) можно подробнее записать так:

для правой ветви гиперболы (х ^ а)

Предложение 10. Для того чтобы точка М лежала на гипер­ боле, необходимо и достаточно, чтобы разность ее расстояний до фокусов по абсолютной величине равнялась вещественной оси ги­ перболы 2а.

Необходимость условия уже доказана. Для доказательства доста­ точности условия его нужно представить в виде

у/{ х - с)2 + у2 = ±2а + \/{х + с)2 + у2.

Дальнейшее отличается от доказательства предложения 3 только тем, что нужно воспользоваться равенством (10), а не (2).

Директрисами гиперболы называются прямые, задаваемые в ка­ нонической системе координат уравнениями

Директрисы лежат ближе к центру, чем вершины, и, следователь­ но, не пересекают гиперболу. Директриса и фокус, лежащие по одну сторону от центра, считаются соответствующими друг другу.

Расстояние от М* до директрисы с уравнением х = —а/е но форму-

Из формулы (11) мы видим теперь, что г*/d' = е.

Уравнение касательной к гиперболе в точке MO(X0,2/O)J лежащей на ней, выводится так же, как соответствующее уравнение (8) для

Предложение 12. Касательная к гиперболе в точке Мо{х0,уо) есть биссектриса угла между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.

Доказательство почти не отличается от доказательства предложе­ ния 5. Рекомендуем читателю полностью провести доказательства этого и остальных утверждений, здесь сформулированных, но не до­ казанных для гиперболы.

3. Парабола. Параболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется канони­ ческим уравнением

при условии р > 0.

Из уравнения (15) вытекает, что для всех точек параболы х ^ О . Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Форма параболы известна из курса средней школы, где она встре­ чается в качестве графика функции у = ах2. Отличие уравнений объ­ ясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связа­ ны равенством 2р = а " 1.

Фокусом параболы называется точка F с координатами (р/2,0) в канонической системе координат.

Директрисой параболы называется прямая с уравнением х = —р/ 2 в канонической системе координат (PQ на рис. 37).

Предл ожени е 13. Расстояние от точки М(ж,у), лежащей на параболе, до фокуса равно

,Для доказательства вычислим квадрат расстояния от точкиМ(ж, у)

до фокуса по координатам этих точек: г2 = (ж — —р/2)2 + у2 и подставим сюда у2 из канони­ ческого уравнения параболы. Мы получаем

г2 = (л: 1 )2+2ра: = (а:+1 )2-

Отсюда в силу х ^ 0 следует равенство (16). Заметим, что расстояние от точки М до ди­ ректрисы по формуле 9 § 3 гл. II также равно

ка М лежала. на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы этой параболы.

Докажем достаточность. Пусть точка М(ж,у) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы:

Возводя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные чле­ ны, мы получаем из него уравнение параболы (15). Это заканчивает доказательство.

Параболе приписывается эксцентриситет е = 1. В силу этого со­

верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.

Выведем уравнение касательной к параболе в точке М0(хо, уо), ле­ жащей на ней. Пусть уо ф 0. Через точку Мо проходит график функ­ ции у —/( ж), целиком лежащий на параболе. (Это у = у/%рх или же у = = —у/2рх, смотря по знаку уо.) Для функции /(ж) выполнено тож­ дество (/(ж))2 = 2рж, дифференцируя которое имеем 2/(ж)/'(ж) = 2р. Подставляя ж = ж0 и /( ж0) = у0, находим /'( жо) = р/уоТеперь мы можем написать уравнение касательной к параболе

У~Уо = —( х - Х 0).

Уо

Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что у%= 2ржо.

78 Гл. III. Линии и поверхности второго порядка

Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив уо ф 0, уравнение (17) превращается в уравнение х = 0, т. е. в уравнение касательной в вершине. Поэтому уравнение (17) справед­

ливо для любой точки на параболе. Предложение 15. Касательная к

параболе в точке M Q есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет M Q с фокусом, и лу­ чом, выходящим из этой точки в направ­ лении оси параболы (рис. 38).

Д о к а з а т е л ь с т в о Рассмотрим ка­ сательную в точке Мо(хо,уо). Из урав­ нения (17) получаем ее направляющий вектор v(yo, р)' Значит. (v,ei) = уо и

cos <pi = уо/ 1v |. Вектор F M Q имеет компоненты XQ —р /2 и уо, а потому

(FM0, v) = х 0уо - | Уо + РУо = Уо (*о + | ) •

Но \FMQ\ = XQ 4- р /2. Следовательно, cosy?2= У о /|v|. Это заканчивает доказательство.

Заметим, что |F7V| = |FMo| (см. рис. 38).

Упражнения

1.Докажите, что вершины гиперболы и точки пересечения ее асимптот

сдиректрисами лежат на одной окружности.

2.Фокус эллипса (гиперболы или параболы) делит проходящую через него хорду на отрезки длины и и t>. Докажите, что сумма 1/и -{- l/v посто­ янна.

3.Выведите уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярной сис­ теме координат, приняв за полюс фокус, а за полярную ось — луч, лежащий на оси симметрии и не пересекающий директрису, соответствующую дан­ ному фокусу.

4.На плоскости нарисованы эллипс и парабола вместе с их осями сим­ метрии. Как с помощью циркуля и линейки построить их фокусы и ди­ ректрисы? Тот же вопрос относительно гиперболы, у которой нарисованы асимптоты. (Задача построения осей симметрии и асимптот решается на основании материала §3.)

5.Пусть и и v — длины двух взаимно перпендикулгфных радиусов эллипса. Найдите сумму 1/и2 + l/t>2.

6.Найдите кратчайшее расстояние от параболы у2 = 12л? до прямой х —

—У + 7 = 0.

7.Докажите, что отрезок касательной, заключенный между асимпто­ тами гиперболы, делится пополам точкой касания.

8.В уравнение касательной к эллипсу (8) в качестве хъ и уо подставлены координаты точки, лежащей не на эллипсе, а вне эллипса. Как расположена получившаяся прямая?

9.Из точки на директрисе проведены две касательные к параболе. До­ кажите, что они взаимно перпендикулярны, и отрезок, соединяющий точки касания, проходит через фокус.

§3. Линия второго порядка, заданная общим уравнением

1.Пересечение линии второго порядка и прямой. Рассмот­ рим линию второго порядка, заданную общим уравнением

вдекартовой системе координат, и исследуем пересечение этой линии

спроизвольной прямой

Значения параметра t , соответствующие точкам пересечения, долж­ ны удовлетворять уравнению, получаемому подстановкой (2) в (1):

А(х о + а*)2 + 2В(х0 4- atf)(i/o 4- pt) + С(уо + fit)2+

4- 2D(XQ 4- at) + ‘2E[yo + fit) + F = 0. (3) Раскрывая скобки и приводя подобные члены, мы получим уравнение

Вообще говоря, уравнение (4) квадратное, имеет не больше двух корней, и прямая пересекает линию или в двух точках, или в одной точке (кратные корни), или не пересекает ее (комплексные корни). Но возможны “исключительные” прямые, для которых Р = 0, т. е.

и, следовательно, уравнение (4) является линейным. В этом случае оно имеет один корень при Q ф 0, а при Q = 0 либо выполнено тож­ дественно (если и R = 0), либо не имеет решений. Следовательно, “исключительные” прямые или пересекают линию в единственной точке, или лежат на ней целиком, или не имеют с ней общих точек.

В равенство (9) не входят координаты начальной точки прямой. Кроме того, оно остается справедливым, если умножить а и р на общий ненулевой множитель.

Определение. Направление, определяемое вектором, компонен­ ты которого удовлетворяют уравнению (9), называется асимптоти­ ческим направлением линии второго порядка.

80Гл. III. Линии и поверхности второго порядка

2.Тип линии. Выясним, сколько асимптотических направлений может иметь линия второго порядка. Обозначив

сформулируем следующее Пр едложение 1. Линия второго порядка имеет два асимптоти­

ческих направления, если S < 0, одно, если 5 = 0, и ни одного, если 8 > 0. До каз а те ль ст в о . Рассмотрим несколько случаев.

1) Пусть А = С = 0. Тогда В ф 0 и 8 = —В 2 < 0. Уравнение (9) имеет вид 2Ва/3 = 0, и ему удовлетворяют векторы (1,0) и (0,1).

2)Пусть С ф 0. Тогда вектор (0,1) не является решением этого уравнения, и каждое решение можно задать угловым коэффициен­ том к = /3/а, удовлетворяющим уравнению Ск2 + 2Вк + А = 0. Дис­ криминант этого уравнения равен В 2 —АС = —5. Следовательно, оно имеет два вещественных корня при 8 < 0, один корень при 8 = 0 и не имеет вещественных корней при 8 > 0.

3)Случай А ф 0 исследуется аналогично случаю 2, только нужно рассматривать не угловой коэффициент, а отношение а//?.

Поскольку разобранные выше случаи исчерпывают все возмож­ ности, предложение доказано.

От противного нетрудно проверить, что и обратно число асимпто­ тических направлений определяет знак 8.

Мы определили асимптотические направления при помощи анали­ тического условия (9). Поэтому в принципе при изменении системы координат асимптотическое направление могло бы перестать быть асимптотическим, или, наоборот, обыкновен­ ное направление стать асимптотическим. Из геометрического смысла асимптотических направлений видно, что в действительности асимптотические направления не зависят от

выбора системы координат.

Используя канонические уравнения, легко проверить, что эллипс не имеет асимптоти­ ческих направлений, парабола имеет одно, а гипербола — два асимптотических направле­ ния (рис. 39). Поэтому линии второго порядка

называются линиями гиперболического, параболического или эллипти­ ческого типа, смотря по тому, имеют они два, одно или не имеют ни одного асимптотического направления.

Для линий гиперболического типа 8 < 0, для параболического ти­ па 8 = 0, а для эллиптического 8 > 0.

3. Диаметр линии второго порядка. Назовем хордой любой отрезок, концы которого лежат на линии, а остальные точки на ней