книги / Теплотехника (курс общей теплотехники)

Для определения этой величины служит следующее выражение:

Найти величину рСм, а также соотношения между молекулярными массами отдельных газов и числом киломолей можно следующим обра­

зом. Очевидно, киломоль смеси равен массе смеси, поделенной на коли­ чество киломолей смеси, т. е.

Рем = Мсм/#,

где N —количество киломолей смеси.

Пусть молекулярные массы для газов I, II... г... п будут соответст­ венно |Л1, рц ... р7... рп, а массы этих газов Мг, Мц.„ Мп. Тогда ко­

личество киломолей для газа I будет равно МI /р1 , для газа II Мц/рц,

для газа I Л4,/рг- и для газа п Мп/рп. Общее количество киломолей будет равно

/ рх+ Мп/рп Н----- 1- М./р. -1----- 1- Мп/цп.

Если разделить на эту величину массу .всей смеси, то мы и получим

7 * Как известно, при условиях смеси, т. е. при температуре и давлении

смеси, киломоль смеси и киломоль газа I занимают один и тот же объем,

и, следовательно, ргКг=рСмКС (где V* и УСм — объемы соответственно газа I и смеси). Из этого равенства следует, что

Р^РсМ= ^СМIV = ^См/^1 = Р//Рсм»

т. е. что молекулярные массы газов, занимающих при одинаковых условиях один и тот же объем, пропор­ циональны их плотностям. Учитывая это обстоятельство, выра­

жение

Молекулярную массу смеси называют кажущейся, так как в дей­ ствительности для газовой смеси понятия киломоля и молекулярной

31

массы условны. Фактически имеется в виду молекулярная масса некото­ рого однородного газа той же массы и с тем же числом киломолей, что

и у*рассматриваемой смеси газов, которая по своим термодинамическим свойствам тождественна данной газовой смеси. Такая замена газовой смеси на однородный газ и распространение на нее сообразно с этим основных газовых законов позволяет упрощать все расчеты.

Пользуясь понятиями массовых и объемных долей и кажущейся мо­ лекулярной массы, а также приведенными выше выражениями, .для них можно вывести ряд формул, удобных для решения задач на газовые смеси. В табл. 3-1 дается сводка этих формул.

Глава 4 ТЕПЛОЕМКОСТЬ ГАЗОВ

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В термодинамическом процессе изменения состояния газа в общем случае к газу либо подводится тепло, либо оно от него отводится; по­ этому для анализа термодинамических процессов необходимо владеть методом, позволяющим устанавливать в разных случаях количества под­ водимого или отводимого тепла. Это можно сделать пользуясь понятием о теплоемкости газов.

Под удельной1теплоемкостью* рабочего тела — газа (а в общем случае и всякого другого вещества) понимают то коли­ чествотепла, которое нужно сообщить единице коли­ чества газа в данном процессе изменения его состоя­ ния, чтобы повысить его температуру на 1 град. Так как о количестве вещества судят по его массе, по его объему при нормаль­ ных условиях или по количеству киломблёй, то в технической термоди­ намике различают три вида теплоемкостей— массовую, объемную и мольную. В первом случае речь идет о количестве тепла, необходимом для повышения температуры 1 кг газа на 1 град\ во втором случае— для повышения температуры 1м3 газа на 1град и в третьем случае— для повышения температуры 1кмоль газа на 1град. Единицей измере­ ния массовой теплоемкости служит дж/(кг-град), объемной теплоемко­ сти— дж/(м3-град) и мольной теплоемкости— дж!(кмоль-град). Мас­ совая, объемная и мольная теплоемкости соответственно обозначаются через сдж/(кг-град), с' дж](м3-град) и рс дж!{кмольград).

Учитывая изложенное выше, количество тепла, подведенного к телу при изменении его температуры на Д/=^2—и» может быть определено следующим образом:

для М кг рабочего тела

(4-1)

(4-Г) (4-1")

1Часто вместо термина «удельная теплоемкость» пользуются просто названием «теплоемкость».

33

где М — количество газа, кг; V— объем газа,- мъ\

р— плотность газа, кг/м3\

р—количество килограммов в киломоле газа, кг/кмоль, численно равное его молекулярной массе;

рс—мольная теплоемкость, дж/(кмоль-град).

В выражениях (4-1) и (4-Г) величины <2 и могут быть положитель­ ными или отрицательными в зависимости от того, положительны или от­ рицательны величины А* и с

Связь между массовой и объемной теплоемкостями устанавливается

Если рассматривать теплоемкость того или иного идеального газа

с позиций классической кинетической теории газов, то оказывается, что она представляет собой величину неизменную. В действительности теп­

лоемкость газов зависит от температуры и давления. Если же газ по своему состоянию приближается к идеальному, то зависимость тепло­ емкости от давления настолько незначительна, что ею можно пре­ небречь.

Влияние температуры на величину теплоемкости газов сказывается в том, что с увеличением температуры теплоемкость газов возрастает.

Зависимостью теплоемкости от температуры можно пренебречь то­ лько в случае грубых подсчетов и при небольших интервалах темпера­

тур. В этом случае полагают теплоемкость в заданном интервале темпе­ ратур неизменной. '

Как ясно из определения теплоемкости, величина ее зависит от ха­ рактера процесса.

В технической термодинамике особое значение имеют процессы из­ менения состояния газа при постоянном давлении и при постоянном объеме, а следовательно, и соответствующие этим процессам теплоемко­ сти. Для теплоемкостей, соответствующих процессам изменения состоя­ ния газов при постоянном давлении (изобарные теплоемкости), приняты

обозначения: ср— массовая, ср*— объемная и рср— мольная, а для теп­ лоемкостей, относящихся к процессам, происходящим при неизменном объеме (изохорные теплоемкости): с„ — массовая, с0 объемная

рс„— мольная.

Поскольку мольная теплоемкость рабочего тела представляет со­ бой произведение числа килограммов в киломоле этого тела на его массовую теплоемкость, а один киломоль газа при нормальных услови­ ях занимает объем равный 22,4 л*3, постольку

Рассмотрим основные зависимости, связывающие между собой изо­ барные и изохорные теплоемкости.

Для изохорного процесса, при котором у=сопз1 и, следовательно, (IV—0, уравнение первого закона термодинамики [см. уравнение (2— 3")] принимает вид

= йи + рйс = йи.

34

На основе этого уравнения, а также характерных свойств внутренней энергии рабочего тела как параметра его состояния (см. стр. 23) мож-

но заключить, что мерой изменения внутренней энергии для любого процесса в интервале двух любых рассматриваемых состояний может служить изменение внутренней энергии газа в этом интервале, происхо­ дящее в изохорном процессе.

Согласно уравнению (2-3"), а также (4-5), с одной стороны, и по смыслу изобарного процесса, с другой стороны, для этого процесса»учи­ тывая, что для-него р=соп$1 и, следовательно, с1р=0, можно уравнение первого закона термодинамики записать следующим образом:

Это выражение носит название уравнения Майера. Поскольку величина # по своему физическому смыслу [см. уравне­

ние (3-1")] является величиной всегда положительной, постольку всегда

сР> си; ср> < ; VеР> ^ •

В термодинамике, как будет показано далее, большое значение име­ ет величина к=сР1сь, называемая коэффициентом Пуассона.

в’ = * = кц Ь > -

Из рассмотрения уравнения (4-7), в котором в правой части для

данного газа переменной величиной является лишь су, увеличивающая­ ся, как уже указывалось, с ростом температуры, можно заключить, что

значение к с ростом температуры газа уменьшается, и, наоборот, с уменьшениемтемпературы—увеличивается.

ПОСТОЯННАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ

Как сказано выше, для грубых подсчетов применительно к неболь­ шим интервалам температур величину теплоемкости можно считать не­ изменной. В таких случаях мольные теплоемкости цсР и рс» определяют­ ся атомностью газов и для них можно пользоваться следующими значе­ ниями:

35

Из приведенных выше данных, пользуясь формулами (4-4), (4-4') (4—4") и (4—4'"), можно получить значения массовых и объемных

Если теплоемкость в заданном интервале температур принимается постоянной, то в этом интервале зависимость между ее величиной и тем­ пературой в системе координат ^ — с отображается прямой, параллельной

оси абсцисс (рис. 4-1).

ПЕРЕМЕННАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ

В большинстве случаев для определения количества сообщенного газу (или отведенного от него) тепла требуется выполнять точные рас­ четы, в которых необходимо учитывать зависимость теплоемкости от тем­ пературы, обусловленную наличием кинетической энергии внутримоле­ кулярных колебаний атомов газов. Эта зависимость достаточно точно выражается уравнением третьей степени, имеющим вид:

в котором постоянные величины а, Ь, е и т различны для различных

газов и теплоемкостей различных видов (ср, сь, сру с„) и определяются для реальных газов спектрографическими методами. Для менее точных подсчетов применительно к воздуху и продуктам сгорания топлива мож­ но принимать, что зависимость между теплоемкостью и температурой выражается уравнением первой степени

Если зависимости, определяемые уравнениями (4-9) и (4-10), выра­ зить графически в системе координат ^ — с, то для уравнения (4-9) полу­ чим кривую, пересекающую ось ординат на расстоянии а от оси абсцисс (рис. 4-2), а для уравнения (4-10) — прямую, пересекающую ось орди. нат на расстоянии а\ от оси абсцисс и наклоненную к ней под углом а, тангенс которого равен величине Ь\ (рис. 4-3). Эти графики дают воз­ можность для любого значения температуры найти по величине ордина­ ты соответствующее ему значение теплоемкости, которая называется истинной теплоемкостью данного газа при данной температуре.

При помощи этих же графиков можно определить и количество теп­ ла, необходимое для повышения температуры данного газа от ^ до 1%.

36

Из выражения (4-1") следует, что при изменении температуры от и до и

(4-11)

Для рассматриваемых случаев кубичной и.линейной зависимости теплоемкости от температуры

сти [кривой, наклонной прямой или, наконец, горизон­ тальной прямой в зависимости от характера функции

с=/(:/)] и перпендикулярами, восстановленными в точ­ ках, соответствующих начальной (/0 и конечной (?2) тем­ пературам; Измерив величину площади, можно, соблюдая правило масштабов, графически определить величину искомого количества тепла.

СРЕДНЯЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ

Для практических целей рассмотренный выше способ определения количества тепла непригоден, так как при этом пришлось бы каждый раз при определении расхода тепла строить необходимые кривые, и вычис­ лять величины соответствующих площадей либо заниматься интегриро­ ванием соответствующих уравнений. Поэтому при расчетах обычноподь-

37

зуются табличными данными, в которых приводятся значения средних теплоемкостей для различных температурных интервалов, у которых нижний предел фиксирован и равен 0°С:

Рассмотрим, что понимается под средними теплоемкостями и как можно, пользуясь ими, определять искомый расходтепла.

Пусть на рис. 4-2 линия 1—2 отображает в системе координат I— с зависимость между теплоемкостью и температурой. Тогда заштрихован­ ная площадь Р будет выражать количество тепла, которое нужно сооб­ щить 1кг газа, чтобы повысить температуру его от до ?2.

Разделим Р на разность ?2— в результате чего получим некото-

Р

рую величину ст= ----- , откуда Р=ст (12 — ^). Очевидно, что величи­ на—Их

на ст равна высоте прямоугольника /'—2'—2"—1, основание которого равно И2—1\ (рис. 4-2) и который по площадиравновеликфигурестемже основанием, но ограниченной сверху кривой 1—2. Одновременно ст мож­ но рассматривать как некоторую неизменную теплоемкость в интервале температур И2—Иь позволяющую для этого интервала определять соот­ ветствующий расход тепла.

Такую условно вводимую и постоянную по величи­ не для заданного интервала температур теплоем­ кость, пользуясь которой можно при определении рас­ хода тепла получить тот же результат, что и для слу­

чая пользования переменной и зависящей от темпера­ тур ы теплоемкостью, называю тсреднейтеплоемкостью

для этого интервала температур.

Очевидно, здесь множитель в квадратных скобках представляет со­ бой среднюю теплоемкость в интервале температур 1\—12.

Обычно среднюю теплоемкость упрощенно записывают так:

В таблицах приложений 2 и 3 приведены для некоторых газов зна­

чения средних теплоемкостей ср и ср в зависимостиоттемпературы. Вос­ пользовавшись формулами (4-6) и (4-4//), можно найти и формулы для

определения съ и с'0 : с0 = ср — Я;

_

0 22,4*

Для температур, не кратных 100°С, величины средних теплоемко­ стей находят по тем же таблицам, пользуясь методом интерполирования.

38

ТЕПЛОЕМКОСТЬ ГАЗОВЫХ СМЕСЕЙ

Если смесь задана в массовых долях, то ее массовая теплоемкость определяется выражением

Это следует из того, что количества тепла, необходимые для повы­ шения температуры гп\кг компонента I, т 2кг компонента II и т. д. на 1град соответственно равны С\Ши с2т 2 и т. д. Так как в сумме т и т 2 и т. д. составляют 1кг, то подсчитанное таким способом количество теп­ ла соответствует тому, которое требуется для повышения температуры 1 кг смеси на 1 град и поэтому является массовой теплоемкостью смеси.

Объемная теплоемкость смеси, заданной в массовых долях, опреде­ ляется по формуле

веденным в табл. 3-1.

Если смесь задана в объемных долях, то ее объемная теплоемкость

Это следует из того, что для повышения температуры г\Мъ компо­ нента I, г2 м3 компонента II и т. д. на 1град требуется затратить тепло

в количестве соответственно с\г\, с'2г2 и т. д. дж. Так как в сумме ги и т. д. составляют 1мъ смеси,.то подсчитанное указанным образом коли­

чество тепла соответствует количеству его, необходимому для повыше­ ния температуры 1мь смеси на 1 град, т. е. является ее объемной тепло­

емкостью.

Массовая теплоемкость смеси, заданной в объемных долях, опреде­ ляется выражением

Глава 5

ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Пользуясь первым законом термодинамики, характеристическим уравнением состояния газов и теорией теплоемкости, можно провести

исследование основных термодинамических процессов, рабочим телом ко­ торых является идеальный газ.

39

Однако предварительно необходимо ввести понятие об еще не упо­ минавшемся до сих под параметре состояния термодинамической'систе­ мы — энтропии и об основанной на ней диаграмме 5 — Г.

ЭНТРОПИЯ КАК ПАРАМЕТР СОСТОЯНИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЙ системы, ДИАГРАММА 5—2*

До сих пор при рассмотрении термодинамических процессов в каче­ стве параметров состояния рабочего тела использовались его давление, температура, удельный объем, внутренняя энергия и энтальпия. Однако с их помощью нельзя графически изображать количество тепла, участ­ вующее в том или ином процессе, как это делалось применительно к ра­ боте, изображавшейся в диаграмме V— р. В связи с этим в термодина­ мике пользуются еще одним параметром состояния рабочего тела — э.н- тро.пией. Понятие о нем строится на основе следующих соображений.

Уравнение первого закона термодинамики [см. уравнение (2-3")] можно записать в виде

с1д = йи + рйу —с1и Ш

В этом уравнении ^ не является полным дифференциалом, поскольку в”правую часть уравнения входит член с11уне являющийся полным диф­ ференциалом,, так как. работа является не параметром состояния газа, а функцией процесса. Вследствие этого уравнение, нельзя проинтег­ рировать в интервале двух произвольно выбранных состояний газа.

Из математики известно, что. всякий двучлен можно представить в виде полного дифференциала, если его умножить на так называемый

интегрирующий множитель.

По умножении на интегрирующий множитель 1/Т (где Т — абсолютная «температура), приведенное выше уравнение примет вид

ный дифференциал некоторой функции 5 (т. ;е. ад!Т=й5), являющейся параметром состояния газа, поскольку она. зависит только от двух параметров состояния газа и поэтому,не зависит от того, каким путем газ из одного состояния пришел в другое. Этот параметр состояния газа в общем случае называют энтропией газа, обозначают через 5 и вы­ ражают в дж/°К; энтропию, отнесенную к 1. кг газа, называют удель­ ной э'нтр о п и е й'газа, обозначают через 5 и выражают в дж/(кг-°К).

Приведенное раньше уравнение (2—7") йд —сИ—уйр

также является неполным дифференциальным уравнением, поскольку с1д не является полным дифференциалом. Однако и это уравнение при умножении его на интегрирующий множитель 1/Т может быть приведено к виду полного дифференциального уравнения

Ф- ^ Л — ЫР ^ &

Т Т Т

40