книги / Статистические методы в строительной механике
..pdfЗдесь |ЛГ(^)|— определитель матрицы K ( t ) , {/Г-1 (/)}д — эле менты матрицы, обратной матрице А*(0- Далее, пусть некото- ;рая величина s выражается в виде линейной функции обобщен ных координат
s — Cl f l + С2 h + |
+ СП f i r |
|
|
Тогда для этой величины имеем распределение |
|
||
Уъto, (о |
|
J2__ - |
|
exp |
(ОJ ’ |
(7.36) |
|
P-(s\(t) = —— ------- |
|
||
где o 5(if) — стандарт, вычисляемый по .формуле |
|
||
«î ( о = < < . о - 2 |
2 е' е* |
и <'■()- |
|
/=1 А=1 |
|
|
|
Из сказанного видно, насколько упрощается анализ, если |
|||
принять гипотезу нормальности |
для ускорений. Мы |
должны |
|
смотреть на гипотезу нормальности, как на первое грубое при ближение, восполняющее недостаток эмпирических данных о ре альных распределениях и подлежащее в дальнейшем проверке.
Вычислим условную вероятность того, что при реализации землетрясения с интегральными признаками gi, Q2,—gm неко торая величина s, характеризующая напряженность конструк ции, превысит опасное значение 5 хотя бы один раз. Эта за дача, очевидно, относится к первому из трех основных классов задач расчета на прочность при наличии случайных сил, выде ленных в п. 62. Мы можем использовать поэтому математиче ский аппарат предыдущей главы.
Пусть p(s, si t) — совместная плотность вероятности для па
раметра s и его первой производной s. Тогда среднее число пре вышений параметром s(t) уровня 5 за время будет
t 00,
V (s > 5 1/) = j* dx J p (5, s I T) 5ds
оо
Для вероятности превышения уровня S за то же время хотя бы один раз получим приближенные соотношения
P (S > S I <)= |
( |
'• |
V |
{ |
V (s> S\t), если S > S e(f). |
Здесь S0(t) — корень уравнения V(s>S | f) = l. Если предполо жить, что величины s и 5 имеют симметричные нормальные рас
пределения |
со стандартами сг* |
и a s- |
и пренебречь статистиче |
|
ской связью |
между s(t) и s(t), |
то |
для малых вероятностей |
|
P(s> S|f) получим формулу |
|
|
|
|
|
t |
|
S* |
|
р<,>а|Мг7йо |
|
|
||
ехр |
2<^(t) J dx. |
(7.37) |
||
чайные величины; и |
в этом |
случае |
формула |
(7.39) остается |
в силе. |
формуле |
(7.39) |
вероятность |
P Q (S > R ) есть |
Вычисляемая по |
не что иное как вероятность превышения опасного значения R при любом наугад взятом сильном землетрясении. Пусть Та— период, на протяжении 'которого регистрировались сильные землетрясения, М»— число этих землетрясений за этот период.
Тогда, рассматривая последовательность землетрясений по схеме независимых испытаний, найдем, что вероятность разру
шения Р(Т) |
,в течение срока эксплуатации |
Т будет |
|
|
Р(Т) = 1 — [1 — Po(s > Р)) Го ’ |
(7.40) |
|
Эту вероятность необходимо 'сопоставить |
с некоторой |
норма |
|
тивной вероятностью [Р]. |
службы, |
соответ |
|
Обратная |
задача — нахождение срока |
||
ствующего заданной нормативной вероятности, .приводит к фор муле
т== Т0 ln(l- fP))
JV„ 1 п [ 1 - Р 0 ( « > Л ) ] ‘
была предложена формула |
для полной энер1гии землетрясения |
|
в эргах: |
12,0+ 1,8 М. |
|
lg £ = |
(7.45) |
|
Г Хаузнер [161], исходя из дислокационной модели земле трясений, предложил некоторую объективную меру интенсив ности М, которая, грубо говоря, соответствует стандартной шкале землетрясений. Им были предложены простые формулы, связывающие 'максимальное ускорение А, .полную энергию Е и продолжительность землетрясения t со введенной им мерой интенсивности
м
А = С1ем Е=--С2е4М t = C2e 2 |
(7.46) |
Здесь Ci, С2 и С3 — некоторые константы. Первые две формулы дают результаты, довольно близкие к тому, что получается по формулам (7.44) и (7.45). Для плотности вероятности интен сивности Г .Хаузнер предложил формулу
р{М) = Се'т > |
(7.47) |
весьма близкую к эмпирической формуле (7.43). По формулам (7.46) и (7.47) нетрудно найти теперь плотности вероятности для максимальных ускорений, полной энергии и продолжитель ности землетрясения.
Разумеется, соотношения типа приведенных выше носят весьма предварительный характер и нуждаются в проверке применительно к конкретным .сейсмическим районам. Мы при вели их здесь лишь для того, чтобы показать, что построение совместной плотности вероятности для параметров, характери зующих землетрясение в целом, вполне осуществимо. В на стоящее время успешно ведется изучение сейсмичности терри тории СССР [77, 97].
83. Некоторые практические аспекты теории
■На изложенную теорию .следует смотреть, в первую очередь, как на средство исследования, потому что ее непосредственное использование для инженерных расчетов связано с серьезными математическими и вычислительными трудностями. Тем не ме нее она может быть использована для создания простых по форме нормативных расчетов.
Один из возможных путей состоит в .построении кривых, на поминающих известные «спектры ускорений». Расчет сооруже ния на сейсмическое воздействие заменится тогда расчетом на действие горизонтальных сил, соответствующих некоторому по стоянному уокорению. Это ускорение определяется в зависи мости от периода собственных колебаний сооружения. В отли чие от «спектра ускорений», мы имеем здесь семейство кривых,
каждая из которых соответствует некоторой вероятности раз рушения в течение установленного срока службы или, наобо рот, некоторому сроку службы при установленной вероятности разрушения. Эти кривые могут быть построены методами ста тистической теории сейсмостойкости.
В связи с этим возникает важный вопрос о внедрении ме тодов теории вероятностей и математической статистики в випросы сейсмического районирования. Первый шаг в этом^ на правлении должен состоять в составлении таких карт райони рования, на которые были бы нанесены кривые равной вероят ности для случайного события, состоящего в наступлении зем летрясения заданной достаточно большой интенсивности в те чение установленного срока хотя бы один раз. Таким сроком мог бы быть период, равный, например, двадцати или пятиде сяти годам. Очевидно, что здесь потребовался бы набор подоб ных карт, каждая из которых соответствовала бы вполне опре деленной интенсивности и вполне определенному сроку наблю дения (например, карта вероятностей наступления землетрясе ния интенсивностью овьгше семи баллов в течение двадцати лет). Другой способ статистичеокого представления сейсмиче ского районирования состоит в разбивке территории на доста точно малые районы, для каждого из которых строится распре деление вероятностей типа (7.43). Оба способа, разумеется, эк вивалентны. Здесь важное значение приобретает выбор до статочно объективной меры интенсивности землетрясения, свя занной детерминистически с важнейшими его параметрами (с энергией, максимальным ускорением и т. п.).
Развитая в настоящей главе теория пригодна лишь для ли нейных систем. Между тем представляет значительный интерес изучение ожидаемой реакции сооружения вне упругой стадии. Это позволит, в частности, учесть неоднократно отмечавшийся эффект «приспособляемости» сооружения к сильному сейсми ческому воздействию вследствие резкого увеличения затухания и возрастания собственного периода при появлении неупругих деформаций. Если нелинейности не очень велики, то метод ста тистической линеаризации, с успехом примененный в теории автоматического регулирования и фильтрации шумов [85, 108], может быть использован и в теории сейсмостойкости. Таким образом, метод, изложенный в настоящей главе, после некото рого обобщения может быть распространен на нелинейные си стемы.
1. |
|
А л е к с а н д р о в |
А. |
и Ж у р к о © |
С., |
Явление |
хрупкого |
разрыва. |
||||||||||
Проблемы новейшей физики, ГНТИ, 1933. |
|
|
|
|
В и т т А., |
О статисти |
||||||||||||
2. |
|
А н д р о н о в |
|
А. А., П о н т р я г и и Л. С. и |
||||||||||||||
ческом |
|
рассмотрении |
динамических систем. Жу*рн. экспериментальной и тео |
|||||||||||||||
ретической физики, т. 3, 1933, |
вып. 3. См. также: А н д р о н о в |
А. А., Собра |
||||||||||||||||
ние трудов. Изд. АН СССР, 1956. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
|
А ф а н а с ь е в |
H. Н., Статистическая теория усталостной прочности |
|||||||||||||||
металлов. Журн. |
технической физики, т. 10, вып. 19, 1940. |
кривой Велера |
с |
|||||||||||||||
4. |
|
А ф а н а с ь е в |
H. |
Н., |
Обоснование усталостной |
|||||||||||||
точки |
зрения статистической |
теории |
усталости. Журн. технической |
физики, |
||||||||||||||
т. ,14, вып. 10— 11, |
1944. |
H. Н., Теория |
|
усталостной |
прочности |
при |
сложном |
|||||||||||
5. |
|
А ф а н а с ь е в |
|
|||||||||||||||
напряженном состоянии. Сб. трудов Ин-та строительной механики АН УССР, |
||||||||||||||||||
т. 9, 1948. |
|
|
H. Н., Статистическая теория усталостной прочности |
|||||||||||||||
•6. А ф а н а с ь е в |
||||||||||||||||||
металлов. Изд. АН УССР, 1953. |
|
|
И. И., К о ч е н о в В. М., П и л ь- |
|||||||||||||||
7. |
|
Б а л д и н |
В. Л., Г о л ь д е н б л а т |
|||||||||||||||
д и ш |
М. Я. и Т а л ь |
К. Э., Расчет строительных |
конструкций по (предель |
|||||||||||||||
ным состояниям, ,под ред. В. М. К е л д ы ш а, Стройиздат, |
1951. |
|
|
|
||||||||||||||
8. |
|
Б а р т е н е в |
Г. М. и Ц е п к о е Л. П., |
Масштабный эффект и проч |
||||||||||||||
ность стекла. Доклады АН СССР, т. |
121, № 2, 4959. |
|
|
|
|
|
Изд. |
|||||||||||
9. |
|
Б а р т л е т т |
М. С., 'Введение в |
теорию |
случайных (процессов, |
|||||||||||||
ИЛ, 1958. |
|
|
М. |
Ф., |
Воздействие |
ветра |
на |
высокие |
сооружения, |
|||||||||
10. |
Б а р ш т е й н |
|||||||||||||||||
Строительная механика и расчет сооружений, № 3, 1959. |
|
|
|
|
||||||||||||||
11. |
Б а р ш т е й н |
М. Ф., Применение вероятностных -методов к расчету |
||||||||||||||||
сооружений на сейсмические воздействия. Строительная механика и расчет |
||||||||||||||||||
сооружений, Я? 2, |
1960. |
|
утомляемости стали -при .повторных перегруз |
|||||||||||||||
12. |
Б а х а р е в |
В. М., Об |
||||||||||||||||
ках, Труды ЦИАМ, № 91. Оборонгиз, 1945. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
■13. |
Б е л л м а н |
Р., Теория устойчивости решений дифференциальных |
||||||||||||||||
уравнений. Изд. ИЛ, |
1954. |
|
|
|
Ф. С., Вопросы |
надежности радио |
||||||||||||
14. |
Б е л о е |
Ф. И., С о л о в е й ч и к |
||||||||||||||||
электронной аппаратуры. Госэнергоиздат, |
1961. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
15. |
Б е л я е в |
Б. |
И., Статистический метод определения нормативных |
|||||||||||||||
напряжений для стальных конструкций. Строит, -промышл., № 3, 1954. |
|
|
||||||||||||||||
'16. Б е л я е в |
Б. И., Статистический метод расчета |
железобетонных кон |
||||||||||||||||
струкций. Строит, промышл., № 8, 1957. |
устойчивость |
упругих |
систем. Гос- |
|||||||||||||||
17. |
Б о л о т и н |
В. В., |
Динамическая |
|||||||||||||||
техиздат, 1956. |
|
В. В., |
Статистические |
методы |
в |
нелинейной |
теории |
|||||||||||
18. Б о л о т и н |
||||||||||||||||||
упругих оболочек. Известия АН СССР, ОТН, № 3, 1958. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
•19. Б о л о т и н |
В. В., |
Нелинейная теория упругости и устойчивость «в |
||||||||||||||||
большом». Сб. «Расчеты на прочность», вып. 3, Машгиз, 1958. |
для |
оценки |
||||||||||||||||
20. |
|
Б о л о т л и |
В. В., |
Применение статистических методов |
||||||||||||||
тивны'Х сопротивлений и коэффициентов качества. Материалы к теории рас
чета до |
предельному состоянию, вып. 1:1. Стройиздат, 1949. |
||||
|
45. |
Г о л ь д е н б л а т И. И. и Б ы х о в с к и й В. А., Актуальные вопро |
|||
сы сейсмостойкого строительства. Строительство в сейсмических районах. |
|||||
Стройиздат, 1957. |
В. М., |
К определению вероятности потери устойчи |
|||
46. |
Г о н ч а р е н к о |
||||
вости |
оболочкой. Известия АН |
СССР, ОТН, |
Механика и машиностроение, |
||
JMs II, |
1962. |
|
|
|
|
47. |
Г о н ч а р е и к о В. М., Об одном |
аспекте статистического метода в |
|||
теории устойчивости оболочек. Теория пластин и оболочек. Труды II Все |
|||||
союзной конференции. Изд. АН yGCP, 1962. |
|
||||
48. |
Г о н ч а р е н к о В. М., Исследование вероятности хлопка удлиненной |
||||
цилиндрической панели под действием случайного давления. Прикладная ма |
|||||
тематика и .механика, т. 27, № 4, |
1962. |
|
|||
49. |
Г у д м э н Л., Р а т т а й я И., Обзор литературы по флаттеру и влия |
||||
нию аэродинамического |
шума. Сб. «Механика», Изд. ИЛ, № 5, 1960. |
||||
50. Д и м е н т б е р г М. Ф., Вынужденные колебания пластин при на грузке, представляющей собой пространственно-временной случайный про цесс. Инженерный журнал, т. 4, № 2, 1961.
51. |
|
Д и м е н т б е р г |
М. Ф., |
Вынужденные колебания /панелей при слу |
||||
чайных нагрузках. Теория пластин и оболочек. Труды II .Всесоюзной кон |
||||||||
ференции. Изд. АН УССР, 1962. |
|
|
|
|
||||
52. |
Д и м е и т б е р г М. Ф., О нижней оценке долговечности |
при стаци |
||||||
онарных случайных напряжениях. Известия АН СССР, ОТН, Механика и |
||||||||
машиностроение, № 3, 1962. |
Ф., |
Нелинейные колебания упругих панелей |
||||||
53. |
|
Д и м е н т б е р г |
М. |
|||||
при случайных нагрузках. Известия АН СССР, ОТН, Механика и машино |
||||||||
строение, |
JSfb 5, |
1962. |
|
|
И. В. и С м и ря ов Н. В., Теория вероят |
|||
54. |
Д у н и |
и-Б а р к о в с к и й |
||||||
ностей |
и |
математическая |
статистика |
в технике. Гостехиздат, |
1955. |
|||
55. ЕкиМ'Ов *В. В., Применение методов теории вероятностей к проб лемам общей прочности корабля. Труды научно-технического общества судо строительной промышленности, т. 7, выл. 2, 1957.
56. З а х а р о в а Т. П., Сопротивление материалов /повторным нагруже ниям (обзор). Сб. «Прочность при неустановившихся режимах переменных напряжений», Изд. АН СССР, 1954.
57. К а л ь н и ц к и й А. А., К вопросу о методике определения прочност
ных свойств бетона. Строит, промытл., № 12, 1952. |
Некоторые вопросы ме |
58. К е л д ы ш В. М. и Г о л ь д е н б л ат И. И., |
|
тода предельного состояния. Материалы к теории |
расчета по предельному |
состоянию, вып. 11, Стройиздат, 1949. |
|
59. К о з л о в Л. А., Расчет и испытание на прочность при неустановив- |
|
шихся режимах переменной напряженности (обзор). Сб. «Прочность при не-
усгановившихся режимах переменных напряжений», Изд. АН СССР, |
1954. |
|
60. К о л м о г о р о в |
А. Н., Статистическая теория колебаний с |
непре |
рывным спектром. Юбилейный сборник АН СССР, т. 1, 4947. |
|
|
61. К о н то р ов а Т. А., Об одном из приложений статистической тео |
||
рии масштабного фактора. Жури. техн. физ., т. 13, № 6, 1943. |
теория |
|
62. К о и т о р о в а |
Т. А. и Ф р е н к е л ь Я. И., Статистическая |
|
хрупкой прочности реальных кристаллов. Журн. техн. физ., т. 11, № 3, 4941.
63. |
К о н |
т о - р о в а |
Т. А., Статистическая теория прочности. Журн. техн. |
физ., т. 10, № |
11, 1940. |
Т. А. и Т и м о ш е н к о О. А., Обобщение статисти |
|
64. |
Ко н то р ов а |
||
ческой теории прочности на случай неоднородного напряженного состояния. Журн. техн. физ., т. 19, № 3; 1949.
65. |
К о р ч и н е к и й И. Л., Расчет |
сооружений |
на сейсмические воздей |
||
ствия. Научн. сообщ. ЦНИПСа, вып. 14. |
Стройиздат, |
1954. |
Изд. ИЛ, 1948. |
||
66. |
К р а м е р |
Г., Математические |
методы статистики, |
||
67. |
К у л е ш о в |
П. И., Анализ влияния размера зерна |
и текстуры на |
||
предел текучести поликристаллических металлов при сложных напряженных
состояниях. Труды Донецкого индустр. ин-та, 1958. |
|
1941. |
||||
68. К у р а е в |
В. В., Строительные стали. Металлургиздат, |
|||||
69. Л а н г х а а р |
Г. Л., Обзор исследований по общей теории |
устойчи |
||||
вости упругих систем. Сб. «Механика» № 3(55), Изд. ИЛ, |
1959. |
к |
проблеме |
|||
70. Л и п п м а н |
Г., О применении статистических методов |
|||||
бафтинга. Сб. «Механика», № 5, Изд. ИЛ, 1953. |
|
стохастиче |
||||
71. Л и т в и н и ш и н |
10., Перемещение сыпучих сред как |
|||||
ский процесс. Бюлл. Польской Академии наук, т. 3, вып. 4, |
1955. |
|
|
|||
72. Л э н н и н г |
|
Д. X. и Б э т т и н Р. Г., Случайные |
процессы в задачах |
|||
автоматического управления. Изд. ИЛ, 1958. |
|
для |
анализа |
|||
73. М а к а р о в |
Б. П., Применение статистического метода |
|||||
экспериментальных |
данных |
по устойчивости оболочек. Известия |
АН СССР, |
|||
ОТН, Механика и машиностроение, № 1, 1962. |
|
для |
анализа |
|||
74. М а к а р о в |
Б. П., |
Применение статистического метода |
||||
нелинейных задач устойчивости оболочки. Теория пластин и оболочек. Труды
II Всесоюзной конференции, Изд. АН УССР, 1962. |
устойчивости |
оболо |
|||||
75. |
М а к а р о в |
Б. П., Анализ нелинейных задач |
|||||
чек при |
помощи статистического |
метода. Инженерный |
журнал, |
т. 3, |
№ 1, |
||
1963. |
МакМи л л а н Ф. Р., |
Основные принципы |
приготовления |
бетона |
|||
76. |
|||||||
(Приложение II). Стройиздат, 1935. |
|
|
и сей |
||||
77. М е д в е д е в |
С. В., Спектры действия сейсмических колебаний |
||||||
смическое районирование территории СССР. Строительство в сейсмических |
|||||||
районах. Стройиздат, |
1957. |
|
|
|
|
||
78. |
М о и с е е в |
Н. Д., О некоторых вопросах теории устойчивости. Труды |
|||||
Воен.-Воздушн. Академии РККА, вып. 45, *1939. |
|
состояния |
|||||
79. |
М у л л е р Р. |
А., Вероятность достижения предельного |
|||||
конструкции и взаимозависимость коэффициентов однородности и перегрузки. Сб. «Вопросы безопасности и прочности строительных конструкций». Строй издат, 1952.
80. |
М у л л е р |
Р. |
А., К вопросу определения коэффициентов однород |
||
ности и |
перегрузки |
по |
статистическим данным. Сб. «Вопросы |
безопасности |
|
и прочности строительных конструкций». Стройиздат, 1952. |
бетона. |
Сб. |
|||
81. |
Н и к и т и н |
Н. В., Статистическая гипотеза прочности |
|||
«Материалы к теории |
расчета конструкций по предельному состоянию» (под |
||||
ред. В. М. Келдыша),-вып. 2. Стройиздат, 1949. |
|
|
|||
82. |
Н и к о л а е н к о Н. А., Динамика и сейсмостойкость конструкций, не |
||||
сущих резервуары. Стройиздат, 1963. |
|
|
|||
83. |
О й х е р А. А., |
Иоследовяние свойств стали Ст. 3. Сборник статей по |
|||
стальным конструкциям. Стройиздат, 1950. |
|
по |
|||
84. |
П и с а р е н к о |
Г. С., К вопросу прочности хрупких материалов, |
|||
лучаемых методом порошковой металлургии. Сб. «Вопросы прочности матери алов и конструкций, Изд. АН СССР, 1959.
85.П у г а ч е в В. С., Теория случайных функций и ее применение к за дачам автоматического управления. Гостехиздат, 1957.
86.Р е ш е т ов Д. Н., Расчет деталей станков на долговечность. Сб. «По вышение прочности деталей машич» Изд АН СССР, 1949
87. Р ж а н и ц ы н |
А. Р., |
Определение запаса |
прочности |
сооружений. |
|||
Строительная промышленность, № 8, 1947. |
|
|
|
|
|||
88. |
Р ж а н и ц ы н А. Р., Статистическое обоснование расчетных коэффи |
||||||
циентов. Материалы к теории |
расчета по предельному состоянию, |
вып. |
II. |
||||
Стройиздат, 1949. |
А. Р., |
Метод определения допускаемых |
нагрузок |
на |
|||
89. Р ж а н и ц ы н |
|||||||
сооружения. Сб. «Исследовательские работы по инженерным конструкциям», |
|||||||
под ред. В. В. Бургмана, вып. 2. Стройиздат, 1949. |
|
|
|
|
|||
90. Р ж а н и ц ы н |
А. Р., Статистические методы определения напряжений |
||||||
при продольном изгибе. Научные сообщения ЦНИПСа, вып. 3. Стройиздат, |
|||||||
1951. |
|
А. Р., |
К проблеме расчетов |
сооружений на |
безопас- |
||
91. Р ж а н и ц ы н |
|||||||