книги / Статистические методы в строительной механике

шение CD' и т. д. Заметим также, что однозначность сохра­ няется в окрестности критического значения q=q*' если нагруз­ ка монотонно возрастает и никаких дополнительных возмуще­ ний нет, то при q=q* —0 осуществляется решение ЕА, а при Я — Я* + 0 — решение ЕА'.

Высказанное выше замечание сформулируем теперь следую­ щим образом: число параметров ии и2, .ит должно быть таково, чтобы при монотонном изменении нагрузки зависимость (4.3) оставалась однозначной.

Первая задача состоит в нахождении закона распределения для параметров деформации по заданному закону распределе­ ния возмущающих параметров. Решение этой задачи сводится

ным, рассмотрим случай, когда т—п= 1, а нагрузка q рассмат­

Из формулы следует, что «сгущение» плотности вероятности будет иметь место вблизи достаточно ярко выраженных макси­ мумов величины dhldv, взятой по модулю. Ее обратное значе­ ние

Q _ I dv (и\д) 1 I du I

характеризует степень реакции системы, измеряемой величиной V, на возмущение и. Чем больше G, тем, значит, менее устой­ чиво равновесие системы. Для неустойчивых форм равновесия

HmG= оо. Величина G при и -+■ 0 оказывается аналогичной и-01

1 Всегда п < т \ иначе некоторые из од были бы функционально связаны между собой.

Эта формула справедлива лишь при условии, что //ъ>0. Ес­

40. Распределение вероятностей для критических нагрузок

Для правильного истолкования и обработки результатов ис­ пытаний на устойчивость необходимо уметь находить законы распределения критических нагрузок. Эта задача разрешается легко, если известна детерминистическая связь

между критичеоким параметром нагрузки q* и параметрами возмущений. Как и в предыдущем случае, задача сводится к преобразованию плотности вероятности p(U\, U2, . н е ­

допустим, что уравнение (4.11) допускает взаимно одно­ значное решение относительно параметра U\:

Для математического ожидания M(<jr*) н дисперсии D(q(* получаем формулы:

Изложенная постановка задачи пригодна, разумеется, толь­ ко в том случае, если сохраняет смысл понятие потери устойчи­ вости и критической силы при конечных возмущениях. Таковы, например, задачи о продольном изгибе сжатого стержня за пределом пропорциональности, об устойчивости пологой упругой арки, большинство задач об устойчивости тонких упругих обо­ лочек. Во всех этих задачах при достижении нагрузкой неко­ торого критического значения происходит скачкообразное на­ растание деформаций. При этом величина критической нагруз­ ки оказывается более или менее чувствительной к классу ко­ нечных возмущений. Вообще, типичной формой потери устой­ чивости при конечных возмущениях является неустойчивость типа «скачка», а не неустойчивость типа «разветвления форм равновесия» [19].

Рассмотрим рис. 43, который можно истолковать, например, как график изменения полного прогиба v сжатого стержня с на­ чальным прогибом и. При этом предполагается, что даже при и —*■0 потеря устойчивости происходит вне упругой стадии. Кри­ тическая нагрузка, как обычно, определяется из условия dv/dq=0. Полная картина, подобная изображенной на рис. 43, может быть получена при учете упрочнения материала и-гео­ метрической нелинейности, связанной с большими перемеще­ ниями. График зависимости критического параметра q* от на­ чального прогиба и показан на рис. 44. Здесь çBl и q„t — верх­ ние значения критического параметра нагрузки, достигаемые при и-»0, <7„, и qH, — нижние значения, при которых перестает наблюдаться скачкообразное нарастание перемещений (рис. 43).

Поскольку взаимно однозначной зависимости между q* и и здесь не существует, то вместо (4.14) должна быть взята более общая формула, вытекающая из формулы (1.39):

нижним критическим нагрузкам qH, и q„t. Происхождение перенормировочного множителя в знаменателе видно из следую­ щих соображений. При испытании N образцов потеря устойчи­ вости будет обнаружена лишь у тех из них, у которых началь­ ный прогиб Их ожидаемое число будет, очевид­ но, равно

и»

N J p(u)du.

Все опыты, в которых не будет обнаружено явление «скачка», будут при обработке результатов забракованы и, следователь­ но, не отразятся на эмпирическом распределении p(qf).

Математическое ожидание и дисперсия критической силы могут быть найдены по формулам

U

H .

j <7* («)p \u ) du

«...

UH*

J [?, (“) — M(9*)|*p (в)du

j P («)du

U

H |

Формулы настоящего параграфа могут быть использованы для построения распределения вероятностей для критических сил,если известно распределение вероятностей для параметров возмущений. Представляет интерес и обратная задача: по най­ денному из опыта распределению вероятностей для критических сил определить распределение вероятностей для параметров возмущений. Некоторые приложения теории к задачам устой­ чивости тонких упругих оболочек будут даны -в конце главы.

41. Определение вероятности опасного состояния

Задача определения вероятности опасного состояния, свя­ занного с потерей устойчивости, принципиально не отличается от аналогичной задачи в расчетах по предельному состоянию (п. 17).

Допустим, что опасное состояние имеет место, если выпол­ няется условие

Отсюда для вероятности опасного состояния (независимо от того, достигается ли оно в результате потери устойчивости или каким-либо другим образом) получаем формулу

входят параметры нагрузки, а также параметры, характеризу­ ющие свойства материала, если по условиям задачи не является более целесообразным трактовать изменчивость свойств мате­ риала как возмущающий фактор. Если известны совместная

Для простейшей задачи, когда деформированное состояние мо­ жет быть охарактеризовано одним параметром о, возмущения —

и

одним параметром и, а нагрузка задана с точностью до одного параметра ф, формулы (4.18) и (4.19) принимают вид

Специфика задач, связанных с потерей устойчивости, состо­ ит в следующем. В зависимости от величины параметров возму­ щений и параметров нагрузки граница безопасной области на­ значается не только из условий прочности и жесткости, но и из соображений устойчивости и состоит, таким образом, из от­ дельных отрезков.

Два типичных случая представлены на рис. 45 и 46. Допу­ стим, что условиям прочности и жесткости удовлетворяет внут­ ренняя область, ограниченная кривой АВА' Однако физически реализуемыми (устойчивыми) будут лишь состояния, находя­ щиеся левее линии ЕСЕ' (рис. 45). Поэтому вся часть правой

сложную картину мы имеем на рис. 46. Здесь устойчивыми бу­ дут состояния, лежащие левее линии EFDCD'FE', а безопасны­

ми состояниями — те, которые лежат во внутренней области АВА'. -В обоих случаях состояния, которым соответствуют точ­ ки, расположенные в области BDCD'B, не могут быть реализо­ ваны из-за их неустойчивости. В то же время состояния, в ко­ торые они переходят в результате потери устойчивости, лежат за пределами области АВА', допустимой из-за соображений прочности и жесткости. Поэтому области неустойчивости также включаются в опасную область.

42. Применение статистических методов к нелинейным задачам устойчивости упругих оболочек

Одним из наиболее важных применений изложенной в пре­ дыдущих параграфах теории является ее применение к нели­ нейной теории тонких ynpyinx оболочек. Как известно, цент­ ральной задачей нелинейной теории упругих оболочек является задача об устойчивости при конечных перемещениях. Различа­ ют два. критических значения нагрузки для оболочек — верхнее критическое значение q0, соответствующее разветвлению форм

равновесия идеальной оболочки, и нижнее критичеокое значе­ ние q,lt равное наименьшему значению нагрузки, при котором исходный тип деформации перестает быть единственным устой­ чивым типом. Реальные критические значения <7.,, определяе­ мые из эксперимента, как правило, лежат в интервале q,<q*<qa

причем они оказываются рассеянными в нем с существенной дисперсией, зависящей от тщательности изготовления образцов и аккуратности проведения эксперимента.

•Какое значение нагрузки должно быть признано опасным и, следовательно, должно быть положено в основу инженерного расчета? Является общепризнанным, что им не можетбыть верхняя критическая нагрузка. С другой стороны, было бы не­ верным безоговорочно принимать за опасную нагрузку ниж­ нюю критическую нагрузку, так как далеко не всегда найдутся возмущения, достаточные для того, чтобы преодолеть энергети­ ческий барьер, отделяющий одно состояние от другого. Доста­ точно указать, что в некоторых задачах нагрузка q, оказы­ вается отрицательной [39]. Предложение о принятии за кри­ тическую -нагрузку так называемой «нагрузки равной энергии» [165] также игнорирует величину и характер действующих На оболочку возмущений. Расчет по верхней критической нагрузке,, найденной с учетом начальных прогибов и других неправильно­ стей [143], казалось бы, наиболее естественный, также не может быть рекомендован, так как значения этих неправильностей ни­ когда не бывают известны проектировщику с достаточной досто­ верностью.

Правильное решение вопроса об опасных нагрузках для тон­ ких упругих оболочек может быть получено лишь на основе

статистических методов. Действительно, существенный разброс экспериментальных значений для критических нагрузок объяс­ няется тем, что величина последних оказывается весьма чувстви­ тельной к случайным факторам — начальным искривлениям, де­ фектам изготовления и закрепления, неравномерностям загружения и т. п.

Статистический подход служит также основой для правиль­ ного истолкования результатов эксперимента и сопоставления результатов, принадлежащих различным авторам. Очевидно, что значительные расхождения, наблюдаемые в экспериментальных результатах [39, 40, 158], являются следствием различных усло­ вий эксперимента. Основная задача здесь состоит в следующем: зная законы распределения для случайных величин, характепизующих условия эксперимента, найти закон распределения кри­ тических нагрузок для оболочек, в частности их математическое ожидание и дисперсию.

Поставленные задачи могут быть разрешены путем привлече­ ния теории, развитой в предыдущих параграфах. Будем пола­ гать, что состояние оболочки характеризуется конечным числом параметров деформации vu v2, v В качестве таких пара­ метров могут быть взяты, например, коэффициенты разложений перемещений и функции напряжений по некоторым функциям, если соответствующие уравнения теории оболочек, выраженные через перемещения и функцию напряжений, решаются вариа­ ционным методом. Если же указанные уравнения решаются в конечных разностях с применением быстродействующих мате­ матических машин, го в качестве параметров оь v2, .. v, могут быть приняты компоненты пеоемешений и функции напряжений в конечном числе заранее выбранных точек.

Далее, примем, что деформированное состояние является

принадлежат коэффициенты разложения начальных прогибов в ряды по некоторым функциям (или значения начальных проги­ бов в заранее выбранных точках), а также параметры, характеразующие рассеяние способов опорного закрепления, рассеяние свойств материалов и т. п. Как и ранее, будем называть эти ве­ личины параметрами возмущений.

требует решения соответствующих уравнений теории оболочек. Если эта зависимость известна, то дальнейшее решение задачи основано на использовании формул типа (4.5), (4.12) и (4.19).